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3 2 4二面角及其度量 1 知识与技能掌握二面角的有关概念 能够求二面角的大小 2 过程与方法通过二面角的平面角的空间模型 培养空间想象能力 3 情感态度与价值观建立学习空间向量的自信心 培养学习数学的兴趣 例1 如图 ABCD是正方形 V是平面ABCD外一点 且VA VB VC AB 求二面角A VB C的大小 说明 1 所谓定义法 就是在二面角的棱上取一适当点作出平面角 然后解三角形即可 或者作 找 一个与棱垂直的平面 与两面的交线构成的角 2 求二面角的步骤 作 找 出二面角的平面角 写出 或证明 所作平面角即为所求二面角的平面角 利用解三角形的知识求解 如图所示 甲站在水库底面上的点A 乙站在水坝斜面上的点B 从A B到直线l 库底与水坝CD的交线 的距离AC和BD分别是a和b CD长度为c 甲乙之间拉紧的绳长为d 求库底水坝所成二面角的余弦值 1 向量都指向二面角外或内方向 2 法向量一个指向内一个指向外 例2 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 底面ABCD为边长是1的正方形 PA 1 求平面PCD与平面PAB夹角的大小 分析 解答本题可首先求出平面PCD和平面PAB的法向量 再求其夹角大小 然后转化为平面PCD与平面PAB夹角的大小 在本例中求二面角A PB D的大小 3用公式cos S S 其中S 为射影面积 S为原图形面积 例 解析 SAB SAC 90 SA 面ABC AC为SC在底面ABC上的射影 又 ACB 90 SC BC SCA为二面角S BC A的平面角 一 选择题1 设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为b 若a b 0 则 A l B l C l D l 或l 答案 D 解析 因为a b 0 所以a b 故选D 2 正方形ABCD所在平面外一点P PA 平面ABCD 若PA AB 则平面PAB与平面PCD所成的角的度数为 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 B 解析 DPA为二面角平面角 而在Rt PAD内 APD 45 故选B 3 如图正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1和DD1的中点 则平面ECF与平面ABCD的夹角的余弦值为 答案 B 二 填空题4 正方体AC1中平面ABCD与平面A1BCD1的夹角为 答案 45 解析 A1BA为平面角 5正三角形ABC的边长为4 CD是AB边上的高 E F分别是AC和BC边的中点 现将 ABC沿CD翻折成直二面角A DC B 如图 在图 中求平面ABD与平面EFD所成二
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