偏微分和全微分.ppt

3 2偏微分與全微分 若考慮含有n個自變數x1 xn的函數則當x2 xn固定不變時 f可視為x1的函數 因此依照前面的定義 可得導數此稱為y對於x1的偏導數 partialderivative 以符號 fx1或f1表之 1 1 例題3 7 試求z 3x2 6xy2 ln x2 y2 1 的偏導數函數 及在點 1 1 之偏導數 解 6x 6y2 12xy 6 1 6 1 2 12 1 1 12 X2 y2 1 2x X2 y2 1 2y 1 1 1 1 12 1 2 1 2 1 12 1 2 1 2 1 例題3 8 設某汽車工廠生產小客車與卡車的成本函數為C 0 12x2 0 04y2 0 04xy 320 x 80y 30其中C代表成本 以百萬元為單位 x y分別代表卡車與小客車的生產數量 以千輛元為單位 若目前的生產數量為x 500 y 1000 試求卡車與小客車的邊際成本 marginalcost 並解釋其意義 解 0 24x 0 04y 320 0 24 500 0 04 1000 320 480當生產小客車數量維持不變 每多生產一輛卡車 總成本增加480000元 0 08y 0 04x 80 0 08 1000 0 04 500 80 180當生產卡車數量維持不變 每多生產一輛小客車 總成本增加180000元 X 500Y 1000 X 500Y 1000 X 500Y 1000 X 500Y 1000 在第3 1節中 導數所表示的是一個極限值 而不是兩個數量dy dx的商 然而 若將符號看成dy被dx除時 卻能解釋許多的現象 因此我們先定義dx及dy的意義如下 由於f x lim所以當增量 x非常小時 y f x x若以dy dx代替 y x 則得下面的定義 設y f x 為一函數 1 自變數x的微分 differential dx是x的增量 即dx x 2 因變數y的微分dy為dy f x dx由上述定義可知 y的微分dy為x與dx的函數 又由於已知 f x 所以我們可將看成兩個微分dy dx的商 再者 dy可當作 y的近似值 也就是說 當x變動時 dy可視為因變數y的改變量 3 1 例題3 9 設y x3 當x 2 x 0 01時 y的真實變動值為 y f x x f x 2 01 3 23 8 120601 8 0 120601若以微分dy來估計 y 則在x 2 dx 0 01 dy f x dx 3x2dx 3 2 2 0 01 0 12其誤差為0 120601 0 12 0 000601以上微分dy的概念可推廣至n個自變數的函數 設y f x1 xn 則我們稱dy為因變數y的全微分 totaldifferential 3 2 全微分dy所表示的是當所有自變數x1 xn一起變動而使得因變數y改變的量 因此當我們令dx1 x1 dx2 x2 dxn xn且 x1 x2 xn皆非常小時 y的增量 y大約等於dy 即 y 例題3 10 設長方形兩鄰邊的長度分別為x 10及y 15 但測量不甚精確 所測得之x y分別為10 1及15 2 試求長方形面積誤差的近似值 解 面積A xydA 15 0 1 10 0 2 1 5 2 3 5若直接以x y值代入求A 則 A 10 1 15 2 10 15 153 52 150 3 52因此dA可視為 A的近似值 例題3 11 假設某產品的產出量與投入x1 x2的關係式則第一種投入的邊際生產力 marginalproductivity 為若投入量分別為x1 120 x2 30 則產出量q 120 1 2 30 1 2 3600 1 2 602 1 2 60又 120 1 2 30 1 2 即當x2 30維持不變時 每增加投入x1一單位 大約可增加產出量0 25單位 q x11 2x21 2 x1 1 2x21 2 1 2 1 2 若將兩種投入同時增加一單位 則因 120 1 2 30 1 2 1即兩種投入同時增加一單位 則產出可增加1 25單位 若x1投入減少一單位 但希望產出水準維持不變 q 60 即由得知dx2 0 25 即x2的投入量須增加至30 25單位 x11 2x2 1 2 1 2 1 2 設含有兩個自變數的函數為若自變數x與y亦為變數t的函數則z亦可視為t的函數 此時 可利用z的全微分除以dt 而求得一般而言 若函數為且 此即多變數函數微分的連鎖法則 又若x1 x2 xn是另外兩個變數r s的函數 即則 例題3 12 若z x2y3 且x y 3t3則由連鎖法則 2xy3 t 3x2y2 9t2 2 t2 3t3 3 t 3 t2 2 3t3 2 9t2 27t12 t12 t12又 若將x y 3t3代入z x2y3中 則得z t2 2 3t3 3 t13 2 2 12 12 例題3 13 若 且時 例題3 14 ABC公司生產兩種產品 相機及軟片 其生產x個相機及y個軟片的成本函數為z 30 x 0 15xy y 900假設相機及軟片的需求函數分別為y 2000 r 400s其中r 相機價格 s 軟片價格 試求r 50 s 2時解 30 0 15y 0 15x 1 1 當r 50 s 2時 代入得 2 設函數f的導函數為f 若f 的導數亦存在 以f 表之 則稱f 為f的二階導函數 secondorderderivative 若以符節表示一階導數時 則第二階導數以表之 一般而言 若n為大於2的正整數 n 2 函數f第n階導數可定義為f的第n 1階導數之導數 通常使用下列符節表示 d2y dx2 dy n dxn f n x 或Dnf x 例題3 15 若 則 2 2 2 2 2 d2y dx2 2 6 2 3 2 3x 3 2 32 2 2 3x 3 d3y dx3 2 2 3 2 2 33 3 2 3x 4 dny dxn dn 1y dxn 1 2 3n n 2 3x n 1 若f為n個自變數的函數 n 2 我們亦可定義二階偏導數 secondorderpartialderivative 例如一階偏導數二階偏導數可定義為和稱為混合偏導數 mixedorcrosspartialderivative 若以上兩種混合偏導數皆為