八年级数学变量与函数、平面直角坐标系、函数的图象华东师大版知识精讲.doc

初二数学初二数学变量与函数 平面直角坐标系 函数的图象变量与函数 平面直角坐标系 函数的图象华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 变量与函数 平面直角坐标系 函数的图象 教学目标 1 了解常量和变量 自变量和函数的意义 2 认识并会画出平面直角坐标系 3 能在给定的直角坐标系中找出点和坐标的对应关系 4 了解现实生活中类似的数形结合思想的实例 体会平面直角坐标系在函数研究中的地 位和作用 二 重点 难点 函数的概念 直角坐标系和函数图象的认识 典型例题典型例题 一 变量与函数 1 知识回顾 1 在某一变化过程中 可以取不同数值的量 叫做自变量 如 圆的面积 S 随半径 r 的变化而变化 S 与 r 都会取不同的数值 2 刻画气温变化规律的量是时间 t 和温度 T 气温 T 随时间 t 的变化而变化 T 与 t 都会取不同的数值 3 对于一个实际问题中的两个变量 x y 自身先变的量是自变量 随之而变的量 是因变量 例如 x 和 y 对于 x 的每一个值 y 都有惟一的值与之对应 则称 x 为自变量 y 是因变量 此时也称 y 是 x 的函数 通常我们把函数 y 放在等式左边 自变量 x 的代数 表达式放在右边 构成函数关系式 4 表示函数的方法通常有三种 解析法 列表法 图象法 5 在问题研究的过程中 还有一种量 它的取值始终保持不变 我们称之为常量 2 典型例题 例 1 求下列函数自变量的取值范围 1 2 yx 26y x 1 35 3 4 yx 6y x x 5 1 解 解 1 x 取任意实数 2 所以350 x x 5 3 3 所以60 xx 6 4 所以 x x 50 10 x 5 方法点拨 方法点拨 1 当函数的解析式是整式时 自变量取任意实数 2 当函数的解析式是分式时 自变量取使分母不为零的任意数 3 当函数的解析式是开平方的式子时 自变量取使被开方的式子为非负数的实数 4 需要多种情况综合考虑时 注意不要遗漏 例 2 1 会求函数值 如 当时 求的函数值 x 12yxx 253 2 解 解 yxx 253 2 2 125 123 2 32 255 23 64 255 23 42 2 2 会运用函数值的求解意义 确定函数关系式中的待定字母 如 当时 函数与函数有相同的函数值 求 k 的值 以x 2ykx 2yxk 及当时 这两个函数值 x 3 分析 分析 两个函数有相同的函数值是指将自变量 x 的取值代入两个解析式后所得结果相 同 解 解 由题意 得 222kk 解得 k 4 3 当时 x 3yx 4 3 2 4 3 326 当时 x 3yx 4 3 3 4 3 4 1 3 例 3 列函数关系式 1 学校食堂现库存粮食 21000 千克 平均每天用粮食 200 千克 求库存粮食 y 千 克 与食用的天数 x 之间的函数关系式 分析 分析 库存粮食 现存粮食 消耗粮食 解 解 0 x 105 的整数 yx 21000200 2 购买 200 元钱的柴油 求所能购买的数量 y 升 与单价 m 元 之间的函数关 系式 分析 分析 单价 数量 总价 my 200 y m m 200 0 3 某 10 层高的楼房 底层高 4 2m 以上各层高 2 8m 列出第 n 层的楼顶的高度 h m 与 n 的函数关系式 分析 分析 楼顶高度 底层高 每层高 层数 1 n 10 的正整数 hnn 422812814 二 平面直角坐标系 1 知识回顾 1 在平面上两条原点重合 互相垂直且有相同单位长度的数轴 建立一个平面直角 坐标系 其中水平的一条数轴叫做 x 轴或横轴 取向右为正方向 铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴 取向上为正方向 两数轴的交点 O 叫做坐标原点 2 点坐标 x y 中 x 代表横坐标 y 代表纵坐标 3 各象限内点的坐标符号 4 点 P x y 关于 x 轴对称点的坐标 xy 关于 y 轴对称点的坐标 xy 关于原点对称点的坐标 xy 5 点 P x y 到 x 轴的距离是y 到 y 轴的距离是x 6 x 轴上点坐标表示为 x 0 或 a 0 等 y 轴上点坐标表示为 0 y 或 0 b 等 7 x 轴上两点 a 0 b 0 之间的距离是或ab ba y 轴上两点 之间的距离是或0 m0 nmn nm 2 典型例题 例 1 填空 1 当是任意实数时 点 A x y 在 上 xy 0 答案 答案 y 轴 2 已知点 P 在 y 轴上 那么 P 点坐标是 aa 12 答案 答案 0 3 分析 分析 aaa 10123 3 已知点 P在第四象限 那么 k 的取值范围是 3223kk 答案 答案 2 3 3 2 k 分析 分析 由第四象限点坐标特征知 即 320 230 2 3 3 2 k k k k 所以 2 3 3 2 k 4 在直角坐标系中 点 M 到 x 轴距离为 28 到 y 轴距离为 6 则 M 点坐标是 答案 答案 6 28 6 28 6 28 6 28 分析 分析 设 M 点坐标为 x y 则xy 628 xy 628 所以 M 点坐标是 6 28 6 28 6 28 6 28 5 在平面直角坐标系中 点 P m 3 关于原点对称点的坐标是 2 n 求 的值 mn 答案 答案 1 分析 分析 点 P m 3 关于原点对称点的坐标是 m 3 而已知此点坐标为 2 n 所以 mn23 得 mn 23 mn 1 例 2 求 A B 两点的距离 1 A 2 0 B 3 0 2 A 0 6 B 0 3 3 A 2 5 B 2 7 4 A 2 3 B 3 3 解 解 1 AB 235 2 AB 639 3 AB 5712 4 AB 235 三 函数的图象 1 知识回顾 1 函数图象的作图方法 描点法 首先准确的求出函数值 把每一个自变量的值和与其对应的函数值相结合构成一个点 的坐标 借助这个点的坐标就可以描出一个点 以相同的方式继续取值 可以得到足够的 点的坐标 把这些点依次描出后 再把它们从左到右顺次连接就可得到利用描点法作出的 函数图象 2 作图注意问题 先列表取点 点取得足够多 连接时一定要从左到右依次连接 用平滑曲线连接各点 根据自变量取值范围来确定函数图象的取值范围 若自变量取值范围是全体实数 则函数图象一定可以向两边无限延长 3 函数图象上的点与满足函数关系式的对应值是一一对应的 2 典型例题 例 1 已知点 P 在函数的图象上 求 a 的值 aa 11 y x 2 解析 解析 点 P 在函数图象上 则点坐标满足解析式 y x 2 y x 2 a a aa a a a 1 2 1 112 12 3 3 2 2 例 2 已知 如图所示 求 ABC ADC 的面积 y 4 C 4 4 A D B O 2 4 6 x 分析 分析 ABADDB 624 高 4 解 解 S ABC 1 2 6412 S ADC 1 2 244 例 3 2003 河北省 小亮家最近购买了一套住房 准备在装修时用木质地板铺设居室 用瓷砖铺设客厅 经市场调查得知 用这两种材料铺设地面的工钱不一样 小亮根据地面的面积 对铺设居 室和客厅的费用 购买材料费和工钱 分别做了预算 通过列表 并用表示铺设地x m 2 面的面积 用 y 元 表示铺设费用 制成图 如图所示 请你根据图中所提供的信息 解答下列问题 y 元 4050 2750 O 25 30 x m2 表示居室 表示客厅 1 预算中铺设居室的费用为 元 铺设客厅的费用为 元 m2m2 2 表示铺设居室的费用 y 元 与面积之间的函数关系式为x m 2 表示铺设客厅的费用 y 元 与面积之间的函数关系式为x m 2 3 已知在小亮的预算中 铺设的瓷砖比铺设木质地板的工钱多 5 元 购1 2 m1 2 m 买的瓷砖是购买木质地板费用的 那么 铺设每平方米木质地板 资砖的工1 2 m1 2 m 3 4 钱各是多少元 购买每平方米的木质地板 瓷砖的费用各是多少元 分析 分析 由图可知铺设居室 30的费用为 4050 元 铺设客厅 25的费用为 2750 元 m2m2 可计算出单价 3 中设铺木质地板的工钱为每平方米 x 元 购买木质地板单价为每平方 米 y 元 列方程组即可求解 解 解 1 预算中铺设居室的费用为 4050 30 135 元 m2 铺设客厅的费用为元 275025110 m2 2 铺设居室的费用 y 元 与面积之间的函数关系式为x m 2 yx 135 铺设客厅的费用 y 元 与面积之间的函数关系式为x m 2 yx 110 3 设铺设木质地板的工钱为每平方米 x 元 购买木质地板每平方米的费用为 y 元 则铺设瓷砖的工钱为每平方米元 购买瓷砖每平方米的费用为元 x 5 3 4 y 根据题意 得 xy xy 135 5 3 4 110 解得 x y 15 120 由此得 xy 520 3 4 90 答 答 铺木质地板和瓷砖每平方米的工钱分别为 15 元和 20 元 购买木质地板和瓷砖每 平方米的费用分别为 120 元和 90 元 技巧点 分析图像所反映的问题实质 注意理解横轴和纵轴所表示的实际意义 这 类图像信息题是中考热点 模拟试题模拟试题 一 填空题 1 函数中 自变量 x 的取值范围是 yx 52 2 若汽车以 50 千米 时的速度行驶 则行驶的路程 S 千米 与行驶的时间 t 时 之间 的函数关系式是 3 若点 P m n 在第二象限 则点 Q在 象限 mn 4 若点 P在 y 轴上 则点 P 的坐标为 23xx 5 如果点在第二象限的角平分线上 则 A m 1 3 1 m 6 若点与点关于 x 轴对称 则 M xy N 23 xy 7 若点与 y 轴的距离是 2 则 P a 7a 二 选择题 1 在函数的图象上的点是 yx 31 A 2 3 B 4 10 C 3 5 D 2 7 2 如果点 P与点 Q关于 y 轴对称 那么 a b 的值分别是 a 3 2 b A 2 与 3B 2 与 3C 2 与 3D 2 与 3 3 若点的坐标满足 则点 P 在 P xy xy 0 A 原点上B x 轴上C y 轴上D 坐标轴上 4 已知点 P 的坐标是 且 则点 P 在 a 5a 3 A 第一象限B 第二象限 C 第一或第二象限D 第一或第三象限 5 平行于 x 轴的直线上任意两点之间的坐标之间的关系是 A 横坐标相等B 纵坐标相等 C 横坐标的绝对值相等D 纵坐标的绝对值相等 三 解答题 1 已知点 A与点 B关于 y 轴对称 求的值 xy 4 12 yx y x 2 平面直角坐标系内 已知点在第三象限 且 k 为整数 求 k 的值 Akk122 3 已知函数 求当时的函数值 y yxx 359 2 x 3 4 x 取什么值时 函数与的值相等 yx 23y x x 2 2 2 5 拖拉机的油箱最多可装油 56 千克 犁地时平均每小时耗油 6 千克 现装满油后去犁 地 1 写出油箱中剩油 Q 千克 与犁地时间 t 时 之间的函数关系 2 求函数自变量的取值范围 3 求拖拉机工作 4 小时 30 分钟后 油箱中剩多少千克油 6 如果点 A 2 7 在函数的图象上 且当时 yaxb 2 x 3y 5 1 求 a b 的值 2 如果点与点也在此图象上 求 m n 的值 Bm 1 2 C n 7 试题答案试题答案 一 填空题 1 2 x 2 5 St t 500 3 第四4 0 3 5 36 17 2 二 选择题 1 D2 D3 D4 C5 B 三 解答题 1 由题意 xy