4.1.1正弦和余弦

锐角三角函数 第4章 小明想要测量墙的高度 把一个5m长的梯子AB放在墙上 并测得梯子与地面的夹角是70 就求出了墙的高度BC 为什么 70 5m 正弦 4 1 5m 50 5m 50 画一个直角三角形 其中一个锐角为50 量出50 角的对边长度和斜边长度 计算 与同桌和邻桌的同学交流 看看计算出的比值是否相等 精确到0 01 如下图所示 1 和 2 分别是小明 小亮画的直角三角形 其中 A A 65 C C 90 1 2 小明量出 A的对边BC 3cm 斜边AB 3 3cm 算出 小亮量出 A 的对边B C 2cm 斜边A B 2 2cm 算出 1 2 这个猜测是真的吗 若把65 角换成任意一个锐角 则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢 由此猜测 在有一个锐角为65 的所有直角三角形中 65 角的对边与斜边的比值是一个常数 它等于 如图 ABC和 DEF都是直角三角形 其中 A D C F 90 则成立吗 为什么 即 这说明 在有一个锐角等于的所有直角三角形中 角的对边与斜边的比值是一个常数 与直角三角形的大小无关 1 sina是在直角三角形中定义的 a是锐角 注意数形结合 构造直角三角形 2 sina是一个完整的符号 如 sina不是sin与a的乘积 而是一个整体 表示 a的正弦 3 sina是线段的一个比值 注意比的顺序 且0 sina 1 无单位 4 sina的大小只与 a的大小有关 而与直角三角形的边长无关 举例 例1如图所示 在直角三角形ABC中 C 90 BC 3 AB 5 1 求sinA的值 2 求sinB的值 1 求sinA的值 AC2 AB2 BC2 52 32 16 于是AC 4 2 求sinB的值 因此 1 如图 在直角三角形ABC中 C 90 BC 5 AB 13 1 求sinA的值 2 求sinB的值 答 答 在直角三角形中 小结 说一说 3 在直角三角形ABC中 若三边长都扩大二倍 则锐角A的正弦值 A 扩大2倍B 不变C 缩小2倍D 无法确定 这节课我们主要学习了哪些知识 有何体会和收获 有哪些你认为最重要 如何求sin45 的值 如图所示 构造一个Rt ABC 使 C 90 A 45 于是 B 45 从而AC BC 根据勾股定理 得AB2 AC2 BC2 BC2 BC2 2BC2 于是AB BC 因此 如何求sin60 的值 如图所示 构造一个Rt ABC 使 B 60 则 A 30 从而 根据勾股定理得AC2 AB2 BC2 AB2 于是 因此 例如求50 角的正弦值 可以在计算器上依次按键 显示结果为0 7660 至此 我们已经知道了三个特殊角 30 45 60 的正弦值 而对于一般锐角的正弦值 我们可以利用计算器来求 如果已知正弦值 我们也可以利用计算器求出它的对应锐角 1 0 6428 0 2672 31 5 3 若 0 5225 则 精确到0 1 4 若 0 8090 则 精确到0 1 利用计算器计算 2 sin sin 精确到0 0001 精确到0 0001 54 0 举例 例2 计算 1 用计算器求下列锐角的正弦值 精确到0 0001 1 35 2 65 36 3 80 54 解 解 2 已知下列正弦值 用计算器求对应的锐角 精确到0 1 1 sin 0 8071 2 sin 0 8660 3 计算 1 sin260 sin245 2 1 2sin30 sin60 2 1 2sin30 sin60 从而 因此 由此可得 在有一个锐角等于的所有直角三角形中 角的邻边与斜边的比值是一个常数 与直角三角形的大小无关 从上述探究和证明过程看出 对于任意锐角 有从而有 举例 例3求cos30 cos60 cos45 的值 解 对于一般锐角 30 45 60 除外 的余弦值 我们可用计算器来求 例如求50 角的余弦值 可在计算器上依次按键 显示结果为0 6427 如果已知余弦值 我们也可以利用计算器求出它的对应锐角 3 若 0 9659 则 精确到0 1 4 若 0 2588 则 精确到0 1 1 0 9659 0 6320 15 0 利用计算器计算 2 cos cos 精确到0 0001 精确到0 0001 75 0 举例 解 1 如图 在Rt ABC中 C 90 AC 5 AB 7 求cosA cosB的值 答 2 用计算器求下列锐角的余弦值 精确到0 0001 1 35 2 68 12 3 9 42 1 cos 0 1087 2