北师大版初一数学(下)期末复习一.pdf

初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 1 页 初一下数学期末复习讲义 一 初一下数学期末复习讲义 一 第一章 整式的乘除第一章 整式的乘除 知识点再现 知识点再现 1 同底数幂的乘法法则 2 幂的乘方运算法则 3 积的乘方运算法则 4 同底数幂的除法运算法则 5 零指数幂及负指数幂的运算规律 6 乘法公式及其变形 常见乘法公式及其变形有 1 平方差公式 22 ab abab 2 完全平方公式 222 2abaabb 22 4ababab 22 4ababab 3 立方和公式 2233 ab aabbab 4 立方差公式 2233 ab aabbab 5 2 xa xbxab xab 6 33223 33abaa babb 7 33223 33abaa babb 8 333222222 1 3 3 2 abcabc abcabbccaabcabcabbccaabc 9 222 2ababab 222 2ababab 222222 22 abababab ab 10 2222 22ababab 11 22 4ababab 222 2 ababab 12 2222 222abcabcabacbc 2222 2 abcabcabbcac 222 222 2 abbcac abcabbcac 222 222 2 abbcac abcabbcac 7 整式的乘法运算法则 8 整式的除法运算法则 初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 2 页 典型题型 典型题型 例 例 1 计算 200920122011 1 2 3 3 2 的结果是 x2 3 x x2 2 若 2a 3b 3 则 9a 27b的值为 计算 m2 3 m4 3 m m2 2 m12 0 252008 4 2009 x3n 4 xn 12 2 xn 22022 11 2 2 22 3 22 36222 xxxxx 333 3 1 3 2 9 已知 5m 2 5n 4 求 52m n 和 25m n的值 例 例 2 已知16 2 ba 4 2 ba 求 ab的值 已知 7 25 22 yxyx且yx 求 yx 的值 已知1 2 xyxy 求 22 yx 的值 已知2 7 2 abba 求ba 2的值 已知4 1 a a 求 2 2 1 a a 和 4 4 1 a a 的值 1 3m m 则 2 2 1 m m 1 m m 2 2 1 m m 例 例 3 已知 244753 mm 求 2 2 4753 mm的值 若n满足 22 2004 2005 1nn 则 2005 2004 n n 已知 2000 1998 1999aa 那么 22 2000 1998 aa 例 例 4 已知 111 20 19 21 202020 axbxcx 则代数式 222 abcabacca 如果2312abc 且 222 abcabbcca 则 23 abb 已知 222 3 1 5 abbcabc 则abbcac 初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 3 页 例 例 5 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 9 1 2 1 10 24832 2 1212121211 2222222 1949195019511952199719981999 计算 22 200420042004200420042005220042005 例 例 6 已知 2 78 1 1515 PmQmm m为任意实数 则 P Q的大小关系是 A PQ B PQ C PQ D 不能确定 已知 a b满足等式 22 20 4 2 xabyba 则 x y的大小关系是 A xy B xy C xy 例 例 7 已知3 5axbyaybx 则 2222 abxy 的值为 已知 a b c均不为0 且0abc 那么 111111 abc bccaab 的值为 例 例 8 若3a 25b 则 20072006 ab 的个位数字是 A 3 B 5 C 8 D 9 例 例 9 当2x 时 代数式 3 1axbx 的值等于17 那么当1x 时 代数式 3 1235axbx 的 值 例 例 10 2004 1 4 1 3 1 2 1 2005 1 3 1 2 1 1 2005 1 4 1 3 1 2 1 2004 1 3 1 2 1 1LLLL 已知 a 123456789 987654321 b 123456788 987654322 则下列各式正确的是 A a b B a b C a b D 不能确定 例 例 11 已知 122 62 32 cba 则下列各式正确的是 A 2a b c B 2b a c C 2c a b D a b c 例 例 12 若 2005 2 x ax5 bx4 cx3 dx2 ex f 则 f a b c d e f a b c d e f a c e b d f 初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 4 页 例 例 13 若代数式 22 26 2351 xaxybxxy 的值与字母x的取值无关 求代数式 2 3 4 a 222 1 2 3 4 bab 的值 例 例 14 已知 2 5xxm 能被2x 整除 求m的值 已知 432 511xxxmxn 能被 2 21xx 整除 求 m n的值及商式 第二章 相交线与平行线第二章 相交线与平行线 1 熟悉几种角的定义 补角 邻补角 对顶角 余角 同位角 内错角 同旁内角 2 两直线的位置关系 3 平行公里 经过直线外一点 一条直线与已知直线平行 推论 如果两条直线均与第三条直线平行 那么 4 直线垂直的定义 两直线相交所成的四个角中 如果有一个角是直角 那么就称这两条直线相互 其中一条直线是另一条直线的垂线 垂线的性质 过一点 一条直线与已知直线垂直 连接直线外一点与直线上各点的所在线段中 5 点到直线的距离 6 平行线的判定定理 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 简单说成 初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 5 页 两条直线被第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直线平行 简单说成 两条直线被第三条直线所截 如果同旁内角互补 那么这两条直线平行 简单说成 7 平行线的性质 两条平行直线被第三条直线所截 同位角相等 简单说成 两条平行直线被第三条直线所截 内错角相等 简单说成 两条平行直线被第三条直线所截 同旁内角互补 简单说成 8 在同一平面内 如果两条直线都垂直于同一条直线 那么这两条直线 9 尺规作图 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图 尺规作图是起源于古希腊的数学课题 只使用圆规和直 尺 并且只准许使用有限次 来解决不同的平面几何作图题 直尺必须没有刻度 无限长 且只能使用直尺的固定一侧 只可以用它来将两个点连在一起 不 可以在上画刻度 圆规可以开至无限宽 但上面亦不能有刻度 它只可以拉开成之前构造过的长度 尺规作图几种基本作法 尺规作图几种基本作法 1 作一条线段等于已知线段 作一条线段等于已知线段 已知 线段 AB 求作 线段 A B 使得 A B AB 已知 线段 AB CD EF 求作 线段 A F 使得 A F AB CD EF 2 作一个角等于已知角 作一个角等于已知角 已知 AOB 求作 A O B 使 A O B AOB 已知 1 2 3 求作 a AOB 使 AOB 1 2 b POQ 使 POQ 1 2 3 c MON 使 MON 2 1 2 A oB 1 初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 6 页 已知 求作 a AOB 使 AOB b POQ 使 POQ c 求作一个角 使它等于 2 已知 ABC 求作 直线 MN 使 MN 经过点 A 且 MN BC A B C 3 作已知线段的垂直平分线 4 作已知角的角平分线 5 过一点作已知直线的垂线 6 已知一角一边作等腰三角形 7 已知两角一边作三角形 8 已知一角两边作三角形 9 已知三边作三角形 初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 7 页 典型例题 典型例题 例 例 1 如图已知 AB CD AF CF分别是EAB ECD 的角平分线 F是两条角平分线的交 点 求证 1 2 FAEC 例 例 2 已知 AB CD 此时A AEF EFC 和C 的关系又如何 你能找出其中的规律吗 A B E F C D 例 例 3 将 例 2 题变为如下图 AB CD A B E F DC 此时A AEF EFD 和D 的关系又如何 你能找出其中的规律吗 例 例 4 如图 AB CD 那么AECCA 与 有什么关系 A B C D E A B C D E A B C D E AB D C E 例 例 5 如图 把一个长方形纸片沿 EF 折叠后 点 D C 分别落在 D C 的位置 若 EFB 55 则 AED 的度数为 例 例 6 如图 2 将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上 130250 则 B 的度数等于 E D B C F C D A D B C A F E A 1 2 B C 初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 8 页 c b a C B A 例 例 7 如图 1 已知矩形ABCD 将BCD 沿对角线BD折叠 记点C的对应点为C 若 ADC 20 则 DBC 的度数为 例 例 8 如图 在 Rt ABC 中 C 90 A 20 按图中所示方法将 BCD 沿 BD 折叠 使点 C 落在 边 AB 上的点 C 处 则 BDC 例 例 9 如图 正方形纸片 ABCD 的边长为 8 将其沿EF 折叠 则图中 四个三角形的周长之和 为 第三章 三角形第三章 三角形 一 认识三角形一 认识三角形 1 三角形的定义 三角形的定义 在同一平面内 由不在同一条直线上的三条线段首尾相连组成的封闭 图形叫做三角形 三角形有三条边 如图 a b c 和三个角 如图 ABC 三角形一般用符号 及表示它的三个顶点的字母来表示 如右图三角形 可表示为ABC 2 三角形的分类 三角形的分类 1 按角分 按角分 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 锐角三角形 锐角三角形 三角形的每个内角都小于 90 直角三角形 直角三角形 三角形的三个内角中有一个角为 90 直角三角形可简写为Rt 直角三角形的两个锐角互余 钝角三角形 钝角三角形 三角形的三个内角中有一个角大于 90 2 按边分 按边分 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 不等边三角形 不等边三角形 三角形的三条边互不相等 等腰三角形 等腰三角形 三角形三边中有且仅有两边相等 等边三角形 等边三角形 三角形三边均相等 A B C D C C A D C B 20 初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 9 页 c b a C B A 判断三角形形状的方法判断三角形形状的方法 ABC 为直角三角形 222 abc 或 222 bac 或 222 cab ABC 为锐角三角形 222 abc 且 222 bca 且 222 cab ABC 为钝角三角形 222 abc 或 222 bca 或 222 cab 任意两边之差小于第三边任意两边之差小于第三边 acb bca abc 以上两个结论都可以用来判定三边是否能构成三角形 实际上 在判定三边能否构成三角形的时候 只需要比较两较小的线段与只需要比较两较小的线段与 较长的线段之间的关系较长的线段之间的关系即可即可 只要两条较小的线段之和大于较长的边 则能够 构成三角形 否则不能构成三角形 根据以上结论 有以下关系式 另外另外两边之差两边之差 三角形的一边三角形的一边 另外 另外两边之和两边之和 根据此结论可以解决 已知两边 已知两边 求求第三边的第三边的取值范围取值范围 问题 三角形的最长边与周长的关系 L为三角形周长 a为三角形的最长边 1 1 32 LaL 思考如何证明此结论 思考如何证明此结论 2 构成三角形的边和角中 大边大边对对大角 小边大角 小边对对小角 等边小角 等边对对等角等角 3 三角形的三角形的内内角和角和为为 180 思考如何证明 4 三角形具有稳定性 拓展拓展 凸多边形的内角和 注 凸多边形就是每个内角都小于 180 度的多边形 求解凸 n 变形内角和的关键是将多边形分割成若干个三角形 分别求出以上图形的内角和可以得到 凸 n 边形的内角和计算公式 2 180n 4 三角形的 三角形的外外角角 如图 由 ABC 的一条边 BC 延长线和另一条相邻的边 AC 组成的角 ACD 叫做该三角形的外角 结论结论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 5 三角形的角平分线 三角形的角平分线 中中线 线 高高 1 三角形的角平分线 三角形的角平分线 三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交 这个角的顶点和对边交点之 间的线段叫做三角形中这个角的角平分线角平分线 简称三角形的角平分线三角形的角平分线 如右图线段 BD为三角形内角ABC 的角平分线 12 如果将三角形的三个内角平分线都做出来 我们会发现 如下图所示 无论 三角形为何种形状 所有三条内角平分线都在三角形内部 并且始终相交于一点 这个点叫做三角形的内心内心 了解 2 1 D C B A 初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 10 页 N M P D C B A 钝角三角形钝角三角形 直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角形 G F E D C B A G F E D B A C G F E D C B A 结论结论 一个三角形共有三条内角平分线 它们都在三角形内部 并且交于一点 补充补充 角平分线的 角平分线的性质性质 角平分线上的点到角的两边距离相等 如图所示 BD 为 ABC 的平分线 点 P 是 BD 上任意一点 过 P 作 PM AB 于 M PN BC 于 N 则 PM PN 为角平分线上的点到角两边的距 离 则有 PM PN 2 三角形的 三角形的中中线线 连结三角形一个顶点和它对边中点的线段 叫做三角形这个边上的中中线线 简称三角形的三角形的中中线线 如图 D E F 分为 ABC 各边中点 AD CE BF 都是 ABC 的中线 如果做出三角形的各条中线可以发现 无论三角形为何种形状 三角形的三条中线均在三角形的内 部 并且交于一点 这个交点 G 称为三角形的重心重心 了解 重心即三角形三条中线的交点 重心 G 是三角形各条中线的三等分点 如图所示 111 2 2 2 333 GDAD GECE GFBF AGGD BGGF CGGE G F E D C B A 钝角三角形钝角三角形 直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角形 结论结论 一个三角形有三条中线 它们都在三角形内部 并且相交于一点 3 三角形的 三角形的高高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高高线 线 简称 三角形的三角形的高高 D F E DG CB A B A C G E F D C B A 钝角三角形钝角三角形 直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角形 结论结论 锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点 直角三角形的三条高交于直角顶点处 钝角三角形的三条高所在直线交于一点 此点在三角形的外部 注 三角形三条高线的交点称之为三角形的垂心垂心 了解 三角形的三角形的五心五心 了解 内心 三角形内角平分线的交点 重心 三角形中线的交点 垂心 三角形高线的交点 外心 三角形三条边的垂直平分线的交点 旁心 三角形外角平分线的交点 典型题型 典型题型 例 例 1 下列每组数分别是三根小木棒的长度 用它们能摆成三角形吗 为什么 单位 cm 初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 11 页 1 1 3 3 2 3 4 7 3 5 9 13 4 11 12 22 5 14 15 30 例 例 2 已知一个三角形的两边长分别是 3cm 和 4cm 则第三边长 X 的取值范围是 若 X 是奇数 则 X 的值是 这样的三角形有 个 若 X 是偶数 则 X 的值 是 这样的三角形又有 个 例 例 3 一个等腰三角形的一边是 2cm 另一边是 9cm 则这个三角形的周长是 cm 一个等腰三角形的一边是 5cm 另一边是 7cm 则这个三角形的周长是 cm 例 例 4 已知 ABC 中 A B C 135 求 A B 和 C 的度数 它是什么三角形 例 例 5 周长为p的三角形最长边 m 的取值范围为 A 1 1 32 pmp B 1 1 32 pmp C 1 1 32 pmp D 1 1 32 pmp 应用应用 已知 ABC 的周长是 12 三边为 a b c 若 b 是最大边 则 b 的取值范围是 例 例 6 在等腰 ABC 中 AB AC 其周长为 20cm 则 AB 边的取值范围是 A 14cmABcm B 5 10cmABcm C 4 8cmABcm D 4 10cmABcm 例 例 7 已知三角形的两边分别为 5 和 7 则第三边 x 的范围是 A 大于 2 B 小于 12 C 大于 2 小于 12 D 不能确定 例 例 8 已知ABC 中 60A o ABC ACB 的平分线交于点O 则BOC 的度数 为 例 例 9 某机器零件的横截面如图所示 按要求线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格 一工人测 得23A o 31D o 143AED o 请你帮他判断该零件是否合格 填 合格 或 不合格 例 例 10 若等腰三角形的一个外角为70o 则它的底角为 度 例 例 11 三角形边角的几个 三角形边角的几个重重要基本图形 要基本图形 熟悉以下基本图形及结论 并证明 1 l 2 3 4 2 若 BD CO 分别为 ABC ACB 的平分线 则 BOC 90 2 1 A 3 若 BO CO 分别为 DBC ECB 的平分线 则 BOC 90 2 1 A 4 若 BE CE 分别为 ABC ACD 的平分线 则 E 2 1 A l 43 2 A O CB A D O CB E A DCB E 例 例 12 锐角三角形 ABC 中 C 2B 则 B 的范围是 A 1020 B B 2030 B C 3045 B D 4560 B 例 例 13 在 ABC 中 三个内角的度数均为整数 且 A B C 4C 7A 则 B 的度数为 A B C D E 初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 12 页 例 例 14 以 1995 的质因数为边长的三角形共有 A 4 个 B 7 个 C 13 个 D 60 个 二 图形的全等二 图形的全等 1 图形全等的定义 图形全等的定义 两个能够重合的图形称为全等图形 用 符号来表示两个图形全等 2 图形全等的性质 图形全等的性质 全等图形的大小和形状都相同 如果两个图形全等 则它们的大小和形状都是相同的 全等不等于相等 如 由同一张底片冲印出来的两张 5 寸照片是全等图形 而由同一张底片冲印出来的一张 5 寸照片 和一张 7 寸照片不是全等图形 3 全等三角形的定义及性质 全等三角形的定义及性质 全等三角形是指能够完全重合的两个三角形或形状相同 大小相等的两个三角形 如果两个三角形全等 则对应边 对应角 对应边上的高 对应边上的中线 对应角平分线 面积等都相等 两个三角形全等用 符号来表示 如ABCDEF 对应顶点要写在对应的位置上 若ABCDEF 则必有 对应边相等 ABDE ACDF BCEF 对应角相等 ABCDEFACBDFEBACEDF 三 探索三角形全等的条件三 探索三角形全等的条件 1 判定和性质 判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边 SAS 角边角 ASA 角角边 AAS 边边边 SSS 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等 HL 性质 对应边相等 对应角相等 对应中线相等 对应高相等 对应角平分线相等 注 注 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等 全等三角形面积相等 2 证题的思路 证题的思路 找任意一边 找两角的夹边 已知两角 找夹已知边的另一角 找已知边的对角 找已知角的另一边 边为角的邻边 任意角 若边为角的对边 则找 已知一边一角 找第三边 找直角 找夹角 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 3 常见全等模型 典型题型 典型题型 本内容只涉及基本概念的应用本内容只涉及基本概念的应用 例 例 1 两个三角形如果具有下列条件 三条边对应相等 两条边和夹角对应相等 两条边和其中一边的对角对应相等 两个角和一 条边对应相等 三个角对应相等 那么 一定能判定两个三角形全等的是 初一数学 下册 讲义初一数学 下册 讲义 第 13 页 例 例 2 如图 给出下列四组条件 ABDEBCEFACDF ABDEBEBCEF BEBCEFCF ABDEACDFBE 其中 能使ABCDEF 的条件共有 A 1 组 B 2 组 C 3 组 D 4 组 例 例 3 下列说法错误的是 A 全等三角形的对应高 对应中线 对应角平分线相等 B 有两个角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等 C 有两条边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等 D 有两条边和其中一条边上的高对应相等的两个三角形全等 例 例 4 如图所示 AB AC 要说明 ADCAEB 需添加的条件不能是 A B C B AD AE C ADC AEB D DC BE 例 例 5 考查下列命题 全等三角形的对应边上的中线 高 角平分线对应相等 两边和其中一边上 的中线 或第三边上的中线 对应相等的两个三角形全等 两角和其中一角的角平分线 或第三角的角平 分线 对应相等的两个三角形全等 两边和其中一边上的高 或第三边上的高 对应相等的两个三角形全 等 其中正确命题的个数有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 四 用三角形全等测距四 用三角形全等测距 想一想 想一想 如图 A B 两点分别位于一个池塘的两端 小明想用绳子测量 A B 间的距离 但绳子不够长 一个叔 叔帮他出了这样一个主意 先在地上取一个可以直接到达 A 点和 B 点的 C 点 连接 AC 并延长到 D 使 CD AC 连接 BC 并延长到 E 使 CE BC 连接 DE 并测量出它的长度 DE 的长度就是 A B 间的距 离 练一练 练一练 1 如图要测量河两岸相对的两点