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抛物线的简单几何性质 1 抛物线的几何性质 y2 2px p 0 1 范围 2 对称性 抛物线关于x轴对称 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 x 0 y R 3 抛物线的几何性质 y2 2px p 0 3 顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 4 离心率 e 1 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于y轴对称 0 0 e 1 例1 三角形的一个顶点在原点 另两个顶点A B在抛物线y2 2px p 0为常数 上 求这个正三角形的边长 O x y B A 分析 法一设点的坐标 列方程求解 法二 求曲线交点求解 焦点弦性质的探求 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F作直线交抛物线于A B两点 l为准线 设A x1 y1 B x2 y2 弦AB的中点P x0 y0 则 y F x O l P x0 y0 B A 4 AB为直径的圆与准线相切 6 A O B1三点共线 例2 已知抛物线y2 4x 过定点A 2 1 的直线l的斜率为k 下列情况下分别求k的取值范围 1 l与抛物线有且仅有一个公共点 2 l与抛物线恰有两个公共点 3 l与抛物线没有公共点 直线与抛物线的关系 归纳方法 1 联立方程组 并化为关于x或y的一元方程 2 考察二次项的系数是否为0 若为0 则直线与抛物线的对称轴平行 直线与抛物线有且仅有一个交点 若不为0 则进入下一步 3 考察判别式 0直线与抛物线相交 0直线与抛物线相切 0直线与抛物线相离 巩固提升 例3 已知抛物线 y2 4x 直线l 2x y 4 0 求抛物线上的点P到直线l的最短距离 法1 利用点到直线距离公式 法2
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