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课题 椭圆及其标准方程 生活中的椭圆 罐车的横截面 一 数学实验 1 取一条细绳 2 把它的两端固定在板上的两点F1 F2 3 用铅笔尖 M 把细绳拉紧 在板上慢慢移动看看画出的图形 F1 F2 M 观察做图过程 1 绳长应当大于F1 F2之间的距离 2 由于绳长固定 所以M到两个定点的距离和也固定 定义 平面内与两个定点F1 F2的距离的和等于常数2a的点的轨迹 1 焦点 定点F1 F2 二 椭圆的定义 当2a F1F2 时 当2a F1F2 时 3 a c 2a F1F2 F1 F2 M 取过焦点F1 F2的直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 设M x y 是椭圆上任一点 椭圆的焦距为2c c 0 M与F1 F2的距离的和等于2a 则F1 c 0 F2 c 0 由定义知 将方程移项后平方得 两边再平方得 由椭圆定义知 两边同除以得 这个方程叫做椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x轴上 如果椭圆的焦点在y轴上 用类似的方法 可得出它的方程为 它也是椭圆的标准方程 2 焦点在Y轴上的椭圆的标准方程 1 焦点在X轴上的椭圆的标准方程 a b 0 a b 0 4 由椭圆的标准方程 判断焦点位置的方法是 若含x2项的分母大于含y2项的分母 则焦点在X轴上 反之 则在Y轴上 三 椭圆的标准方程 O X Y F1 c 0 F2 c 0 注意 1 在两种方程中 总有 2 有关系式 3 在的分母下 焦点在x轴上 在的分母下 焦点在y轴上 例1判定下列椭圆的焦点在 轴 并指明a2 b2 写出焦点坐标 答 在X轴 3 0 和 3 0 答 在y轴 0 5 和 0 5 答 在y轴 0 1 和 0 1 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 四例题讲解 例2 平面内两个定点的距离是8 写出到这两个定点的距离和是10的点的轨迹的方程 解 所求的轨迹是椭圆 两个定点是焦点 用F1 F2表示 则2a 10 2c 8 因为b2 a2 c2 9 故所求的轨迹方程为 另一种情况是 注意 只有一解 五 课堂练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a 4 b 1 焦点在x轴上 2 a 4 c 焦点在y轴上 3 a b 10 c 2 已知F1 F2是椭圆的两个焦点 AB是过F1的弦 则三角形ABF2的周长是 20 六 课堂总结 1 椭圆的定义 2 椭圆的标准方程 平面内点M与两个定点F1 F2的距离的和等于常数 记 MF1 MF2 2a 的点M的轨迹是 1 当 MF1 MF2 F1F2 时点M的轨迹是为 2 当 MF1 MF2 F1
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