勾股定理（第1 课时）教案 (2).doc

勾股定理（第1课时）教学设计一、教学内容勾股定理（第1课时）二、教材分析勾股定理是中学数学几个重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为几何图形与数量关系之间搭建桥梁发挥了重要作用。教材从2002年北京国际数学家大会会徽（赵爽弦图）引入本章内容，会徽的图案反映了我国古代对勾股定理的研究成果，既是证明勾股定理的巧妙的构图，同时具有美和谐协调美，在中国数学发展的历史中有重要影响，对学生进行数学文化熏陶和爱国主义教育的优秀材料。本节课安排了对勾股定理的观察、计算、猜想及证明过程，首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说，并让学生也去观察同样的图案，通过研究等腰直角三角形这种特殊直角三角形的面积关系，发现它的三边之间的数量关系，到网格中直角三角形，再到一般的直角三角形来探究得出直角三角形的三边关系，又让学生对一般直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，进而得到这些直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，然后，对更一般的结论提出了猜想。并用赵爽证法加以证明，这是一个典型的从特殊到一般的思想方法，这样安排有利于学生认识结论研究的探究过程（观察、想象、计算、猜想、证明），激发学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯。由于直角图形的普遍性，勾股定理在实际应用中及其重要。三、学情分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会，更希望教师满足他们的创造愿望。四、教学目标1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。初步会用它进行有关的计算。2、学生在经历“观察猜想归纳验证”勾股定理的过程中，发展合情推理能力，渗透从特殊到一般的思想方法，同时增强逻辑思维能力。3、通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情；通过对勾股定理的探索，发展学生对数学问题孜孜以求的探究精神和科学态度。五、教学重、难点1、重点：探索和证明勾股定理。2、难点：用面积法（拼图法）证明勾股定理。六、教具准备PPT课件、几何画板软件、彩纸、剪刀等。七、教学过程图1（一）情境引入毕达哥拉斯发现勾股定理：相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客，发现朋友家用地砖铺成的地面（如图1）反映了直角三角形三边的某种数量关系.问题：图1中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？（二）合作探究活动1：探究网格中直角三角形三边的关系师生活动：学生独立观察图形，分析、思考其中隐藏的规律。通过网格中的直角三角形的边长为正方形的边的正方形A、B、C的关系：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积。这时，引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 问题1：怎样图中正方形C的面积？与同伴交流。（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定。）学生独立完成另一图中正方形C的面积。问题2：正方形A、B、C的面积有怎样的关系？问题3：直角三角形三边的关系是什么？问题4：通过直角三角形三边关系的探究，你能对直角三角形三边关系提出一个合理的猜想吗？ 学生利用表格有条理地呈现数据，师生共同讨论、交流、逐步完善，猜想归纳得到：正方形A、B的面积之和等于正方形C的面积。命题:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c ，那么 。【设计意图】网格中的直角三角形也是直角三角形一种特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数，通过研究进一步渗透探究一般直角三角形的三边关系的方法。探究活动意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质。由于正方形C的面积计算是一个难点，正方形C的面积问题的解决为割补法做铺垫，为解决无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，为此设计了一个交流环节。适时让学生提出猜想，进而在一般直角三角形中加以论证，使学生经历 “观察、实验-猜想-论证” 定理的形成过程.（三）推理验证 活动2：推理验证是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形三边关系的命题进行证明。1、赵爽证法：用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的.每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实，大正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图。2、拼图活动（1）拿出准备好的四个全等的直角三角形（设两条直角边分别为a，b，斜边为c）；（2）小组合作用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看；（3）能否就拼出的图说明a2+b2=c2？ 学生分组交流，一起动手拼图，教师参与小组活动，指导、倾听学生交流。学生活动：每组派代表展示自己的成果，在教师的引导下，慢慢发现直角三角形三条边之间的关系，并用自己的语言叙述出来；鼓励学生代表作示范演示，展示拼图，板书推理证明的过程，并作讲解。方案1为赵爽弦图，学生讲解论证过程，再现古代数学家的探索方法。方案2为学生自己探索的结果，论证之巧较方案1有异曲同工之妙。整个探索过程，让学生经历由表面到本质，由合情推理到演绎推理的发掘过程，体会数学的严谨性。对比“古”、“今”两种证法，让学生体会“吹尽黄沙始到金”的喜悦，感受到“青出于蓝而胜于蓝”的自豪感。教师作补充说明：左边图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”。【设计意图】通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，建立初步的空间概念，发展学生形象思维；通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想。通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学文化，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，进一步体会我国古代数学人的智慧，增强名族自豪感.（四）认识定理，正确描述课件出示定理内容，同时板书。文字表述：勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。符号表述：在RtABC中，如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么问题1：勾股定理成立条件： 在直角三角形中；问题2：公式变形:问题3：勾股定理作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长.注意事项(1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用，其他的不适用。(2)注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错.【设计意图】理解掌握勾股定理（五）、感受数学文化活动3：引入我国古代“勾”、“股”的由来图9【资料介绍】我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理. （在西方称为毕达哥拉斯定理）中国是最早发现研究勾股定理的国家之一，周髀算经记载,公元前1120年，周朝数学家商高就提出了：勾三，股四，弦五由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”。毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。 【设计意图】通过对勾股定理的由来，又名“商高定理”。了解我国古代数学文化，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，进一步体会我国古代数学人的智慧，增强名族自豪感，激发学生热爱祖国，热爱悠久文化的思想，激发学生的学习热情，激励学生发奋学习。也利于学生记忆“勾”、“股”定理（六）勾股定理的应用活动7：学以致用1、图中已知数据表示面积，求表示边的未知数x、y的值 2、已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 , 求S5 、S6 、S7的值.（欣赏美丽的勾股树）S33.在RtABC中,C=90.(1)若a=3，b=4,则c=；(2)若b=6，c=10,则a= ；(3)若a=5，c=13,则b= ；(4)若a=8，b=15,则c=。（七）教学反思：本节课你学到了什么？1、本节课我们学到了什么？2、学了本节课后我们有什么感想？3、勾股定理的内容是什么？它有什么作用？4、在使用勾股定理的过程中，要注意什么？【设计意图】让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习的过程中感受到中国文化及数学美，感悟数形结合的数学思想，引发学生更深层次的思考