固体物理教案第4次课.doc

第 4 次 课教学目的：掌握晶向、晶列的基本概念；掌握密勒指数的意义及表示；掌握倒格矢的定义，掌握倒格子与正格子之间的关系；掌握倒格子与晶格的几何关系；了解具有晶格周期性的傅立叶展开。教学内容：1.3 晶向 晶面和它们的标志 1.4 倒格子重点难点：晶向、晶列及密勒指数；倒格子与正格子之间的关系；具有晶格周期性的傅立叶展开1.3 晶向 晶面和它们的标志布拉伐格子的特点 所有格点周围的情况都是一样的1 晶体的晶列在布拉伐格子中作一簇平行的直线，这些平行直线可以将所有的格点包括无遗。这些平行直线称为晶体的晶列。特点：在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等。2 晶向（1）晶向: 每一簇晶列定义了一个方向，称为晶向。（2）晶向的标志原胞是最小的晶格重复单元，格点只在原胞的顶角上。取某一原子为原点O，为原胞的三个基矢。如图XCH_001_045_2所示。 沿晶向到最近的一个的A的位矢为 , 是整数，则晶向就用来表示。 晶向指数： 图XCH_001_045_02中OA晶列的晶向指数 311。图XCH_001_045中OA晶列的晶向指数230 。 对于单胞，也有类似的晶向指数。带轴是一些特殊的晶列。（3）简单立方晶格的晶向标志 如图XCH_001_018所示，立方边OA的晶向，立方边共有6个不同的晶向： 。涉及负值，头上加一横表示。 面对角线OB的晶向110，面对角线晶向共有12个，如图XCH_001_019所示 体对角线OC的晶向111，体对角线晶向共有8个，如图XCH_001_020所示 由于立方晶格的对称性，以上3组晶向是等效的，可以表示为：,。3 晶面的标志 晶体的晶面：在布拉伐格子中作一簇平行的平面，这些相互平行、等间距的平面可以将所有的格点包括无遗，这些相互平行的平面称为晶体的晶面。如图XCH_001_042_01_02所示的是同一个格子，两组不同的晶面族。选取某一格点为原点O，原胞的三个基矢为坐标系的三个轴（这三个轴不一定相互正交）。（1）晶格中一簇的晶面不仅平行，并且等距； （2）一簇晶面必包含了所有格点而无遗漏；（3）在三个基矢末端的格点必分别落在该簇的不同晶面上。设的末端上的格点分别在离原点的距离为的晶面上，都是整数。如图XCH_001_021_14_15所示。 最靠近原点的晶面在坐标轴上的截距为: 同族的其他晶面的截距为这组最小截距的整数倍 的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距(用天然长度单位表示) 用标记这一个晶面系。称为密勒指数 以单胞的基矢（晶轴）为参考系，所得出的晶列指数和晶面密勒指数，有着重要的意义 4 立方晶格的几种主要晶面标记如对于立方晶系 (100) 、(110)、(111)。如图XCH_001_046_01_06所示。 立方晶格中与(100) 、(110)、(111)面等效的晶面数分别为：3个、6个和4个。 100:(100),(001),(010) 如图XCH_001_021_12所示 110：(110),(011),(101),(),(),() 图XCH_001_021_11所示 111：(111),(),(),() 如图XCH_001_045_13所示 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有意义, 在晶体内部这些面都是等效的1.4 倒格子 由于晶格具有周期性，一些物理量具有周期性，如势能函数： 如图XCH_001_024所示，A和A两点势能相同。 势能函数是以为周期的三维周期函数。引入倒格子，可以将三维周期性函数展开为傅里叶级数。1 倒格子的定义 根据基矢定义三个新的矢量： ; ； 倒格子基矢量 以为基矢，可以构成一个倒格子 倒格子每个格点的位置： 倒格子矢量，或倒格矢。 容易验证倒格子基矢与正格子基矢满足： 倒格子：与晶面密切相连的一类点子，这些点子在空间的规则周期性排列。 2. 关于时间周期性函数的傅里叶级数展开含义 时间周期函数令 ，可以将看作是以为宗量、周期为1的周期函数。 将展开为傅里叶级数： m为整数 傅里叶系数：由和得到：将代入傅里叶系数： 为的傅里叶展开中的各种频率 时间正格子：基矢：T，正格矢：nT 频率倒格子：基矢：，倒格矢： 满足：3. 具有晶格周期性函数傅里叶级数的展开 晶格原胞中任一点： 其中为宗量 将可以看作是以为宗量，周期为1的周期函数 傅里叶级数： 其中为整数 系数由， ，和 得到：， ， ；代入得到： ， 系数； 积分在一个原胞中进行 4 倒格子与正格子间的关系 （1）倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积 倒格子原胞体积（2）正格子中一簇晶面和正交 因为，如图XCH_001_047所示。 很容易证明：，。 即与晶面簇正交。 （3）为晶面的法线方向，晶面方程可以表示为： n取不同值代表一个一簇晶面系中，不同的晶面。如图XCH_001_050所示。 各晶面到原点的垂直距离：，面间距：=5. 倒格子与晶格的几何关系 如图XCH_001_048所示。原点O引晶面簇ABC的法线 ON，在法线上截取一段，使得；d是晶面簇ABC的面间距。对于每一簇晶面都有一点P，以OP为该方向的周期，把P平移，得出一个新的点阵。这个新格子称为原来的晶格的倒格子，而把原来的晶格称为正格子。 倒格子基矢和正格子基矢间的关系 令正格子的基矢为； 正格子的坐标面各有其对应的晶面簇，设面簇的面间距分别为。 作面，在OP上截取一段，使 同样，对于面，