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2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题A学校： 姓名： 营员证号：_ 一.在中，a+c=3b,内心为I，内切圆在AB，BC边上的切点分别为D，E。设K是D关于点I的对称点，L是E关于点I的对称点.求证：A，C，K，L四点共圆。二.设，且对任意都有证明：三求函数满足： 以及，四.设！，能否把1到的正整数摆在一个圆周上，使得我们沿着顺时针方向移动时，每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17，或者加上28，如果必要的话，它可以减去？2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题A解答 学校： 姓名： 营员证号：_ 一. 在中，a+c=3b,内心为I，内切圆在AB，BC边上的切点分别为D，E, 设K是D关于点I的对称点，L是E关于点I的对称点.求证：A，C，K，L四点共圆.证：设直线BI交的外接圆点P，易知P是的中点。记AC的中为M，则PMAC。设P在直线DI的射影为N由于则半周长，则又所以，且相似比为2熟知；。又，所以，即N是IK的中点进而，所以都在以P为圆心的同一个圆周上二. 设，且对任意都有证明：证：假设，则取素数，又取由费马小定理，从而进而，即但，矛盾三求函数满足： 以及，解：取得时，可改写为：特别地，对任意，及，有：则从而令，得即四. 设！，能否把1到的正整数摆在一个圆周上，使得我们沿着顺时针方向移动时，每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17，或者加上28，如果必要的话，它可以减去？解：不能！假设存在合乎要求的摆法。将按题述“运算”变为，筒记为：题中运算是指取模的最小正剩余。若，则不可能有：否则圆周出现重复的数，故必有；进而若，类上知必有这表明：当时，对，作同一种运算。由于在任何12个相连放在圆周上的数中，必有两个数模11同余，设，从到作了s次运算，由前所述易知所作运算以s为周期取一个周期
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