系统频域分析课件

1 主要内容 第六章系统的频域分析 连续系统频率响应系统零状态响应的频域求解方法连续周期信号响应的频域分析方法无失真传输系统和理想滤波器信号的抽样定理离散系统的频域分析 基于Matalab软件的系统频域分析的基本方法 当输入为虚指数信号时 系统的零状态响应y t 为 本章假设 所考虑的系统是非因果的 即 且系统的冲激响应是绝对可积 即 设连续LTI系统的冲激响应为 当输入信号为时 系统的零状态响应为 6 1连续非周期信号通过系统响应的频域分析 一 连续系统的频率响应 为系统的频率响应 系统的频率响应等于系统冲激响应的Fourier变换 定义 系统的零状态响应y t 为 6 5 的意义 当虚指数信号作用于LTI系统时 系统的零状态响应仍为同频率的虚指数信号 其幅度和相位由系统的频率响应确定 因此 反映了连续LTI系统对不同频率信号的响应特性 若信号f t 的Fourier变换存在 则 记表示系统响应y t 的频谱函数 根据Fourier反变换的定义 有 因此 信号f t 作用于系统的零状态响应y t 为 则f t 作用于系统的零状态响应的频谱等于激励信号的频谱乘以系统的频率响应 也可用Fourier变换的时域卷积定理直接得到 6 1连续非周期信号通过系统响应的频域分析 称为系统的幅度响应 为系统的相位响应 当h t 为实信号时 由Fourier变换性质知 是的偶函数 是的奇函数 求系统的频率响应 6 1连续非周期信号通过系统响应的频域分析 系统的频率响应通常是复值函数 可用幅度和相位表示为 例6 1已知连续LTI系统的冲激响应为 解 根据单边指数信号的频谱函数 得 求系统的频率响应和冲激响应 例6 2已知连续LTI系统的输入信号为 输出信号为 解 见图6 2 可以看成是幅度为 宽度为的方波和幅度为 宽度为的三角波 以及幅度为 宽度为的三角波的叠加 即 例6 3已知信号f t 的频谱和系统的频率响应如图6 1所示 求信号f t 经过该系统的响应y t 6 1连续非周期信号通过系统响应的频域分析 解 系统响应y t 的频谱为 其中表示宽度为 幅度为1的三角波信号 由第五章表5 1知 所以 图6 1例6 3图 图6 2例6 3系统响应的频谱 a b 由 6 8 和 6 11 得系统的频率响应为 6 1连续非周期信号通过系统响应的频域分析 其中f t 为系统的输入激励 y t 为系统的输出响应 线性时不变系统的数学模型为 二 微分方程描述的LTI系统响应 其中 因此 Fourier变换将系统的微分方程变换为系统的代数方程 这将简化了系统的分析和求解 对上式两边进行Fourier变换 利用Fourier变换的时域微分特性 得 图6 4例6 6RC电路系统的幅度响应 根据电路基本元件电阻 电感 电容的时域特性 可得 6 1连续非周期信号通过系统响应的频域分析 电路系统的频率响应有两种分析方法 根据基尔霍夫定律建立系统的微分方程 然后利用Fourier变换求出系统的频率响应 对电路中的基本元件建立频域模型 得出基本元件的广义阻抗 然后利用电路的基本原理求出电路系统的频率响应 三 电路系统响应 解 图6 3的基本元件的频域模型如图6 5所示 由电路基本原理有 图6 5RC电路的频域模型 6 1连续非周期信号通过系统响应的频域分析 其中ZR ZL ZC分别表示电阻 电感 电容频域的广义阻抗 例6 7利用R C的频域模型 计算图6 3所示电路的频率响应 11 6 2连续周期信号通过系统响应的频域分析 一 正弦信号通过系统的响应 设LTI系统的输入激励信号为 由Euler公式得 由 6 5 得系统的零状态响应为 当h t 是实函数时 由Fourier变换的对称性 得 则 6 18 可写为 其中和分别为系统的幅度响应和相位响应 同理可得余弦信号通过LTI系统的响应为 对 6 21 的每个分量 求其通过系统的响应 然后叠加 即可得到f t 通过系统的响应 设系统频率响应为 则系统的响应为 试求系统输入信号为时系统的稳态响应y t 6 2连续周期信号通过系统响应的频域分析 因此 正 余弦信号通过LTI系统的零状态响应y t 仍为同频率的信号 其幅度由系统的幅度响应确定 其相位相对于输入信号偏移了 即输出信号相对输入信号延迟了 解 由 6 20 可得 例6 8已知LTI系统的频率响应 二 任意周期信号通过系统的响应 设f t 是周期为T0的周期信号 其Fourier级数为 利用上两式 可得 若f t h t 为实函数 则有 6 2连续周期信号通过系统响应的频域分析 解 周期矩形脉冲的Fourier系数为 例6 8求图6 6所示周期矩形脉冲信号通过系统时的响应 图6 6周期矩形脉冲 K是一个正常数 是输入信号通过系统后的延迟时间 对上式作Fourier变换 得 故无失真传输系统后的频率响应为 其幅度响应和相位响应分别为 无失真系统 当信号通过传输系统时 信号无任何失真 称这类系统为无失真传输系统 无失真传输是指 输出信号与输入信号相比 输出信号只在幅度因子上和出现时间上与输入信号有变化 而两者的波形上无任何变化 即 6 3无失真传输系统与理想滤波器 一 无失真传输系统 一个无失真传输系统只是理论上的定义 实际无法实现 如果系统在信号带宽范围内具有较平坦的幅度响应和正比于的相位响应 则将该系统近似看为无失真传输系统 图6 7无失真传输系统的幅度和相位响应 6 3无失真传输系统与理想滤波器 无失真传输系统的两个条件 系统的幅度响应在整个频率范围内为常数K 系统的相位响应在整个频率范围内与成正比 见图6 7 事实上 实际物理系统的幅度响应不可能在整个频率范围内为常数 系统的相位响应也不是的线性函数 如果系统幅度响应不为常数 信号通过时产生失真称为幅度失真 如果系统相位响应不是的线性函数 信号通过时的失真称为相位失真 1 求系统幅度响应和相位响应 判断系统是否为无失真传输系统 2 当输入为时 求系统的稳态响应 由于系统的幅度响应对所有频率都为常数 这类系统称为全通系统 系统的相位响应不是的线性函数 因而系统不是无失真传输系统 6 3无失真传输系统与理想滤波器 例6 10已知某LTI系统的频率响应为 解 1 由于系统的频率响应的分子和分母互为共轭 故 则 系统的幅度响应和相位响应分别为 2 由 6 19 有 图6 8的实线表示系统输入信号 虚线为系统输出信号 可见产生了失真 输出信号的失真是由于非线性相位引起的 图6 8系统的输入和输出信号 6 3无失真传输系统与理想滤波器 滤波器可使信号中一部分频率分量通过 而使另一部分频率分量很少通过 信号通过系统时 其频率分量也会有所改变 在此意义下 任何系统都可看为滤波器 按照容许通过的频率成分划分 滤波器分为 低通 高通 带通和带阻等 它们的系统幅度响应见图6 9所示 其中是低通 高通的截频 和是带通和带阻的截频 本节重点介绍理想低通滤波器 二 理想滤波器 图6 9理想滤波器的幅度响应 a 低通 b 高通 c 带通 d 带阻 理想低通滤波器的幅度响应在 截止角频率 恒为1 在通带之外为0 相位响应在通带内与成线性关系 其频率响应为 见图6 10 理想滤波器的通频带不是无穷大而是有限值 故也称带限系统 信号通过带限系统时 将产生失真 失真大小取决于带限系统的通带宽度和输入信号的频带宽度 即信号与系统的频率匹配情况 当系统的通带宽度大于所要传输的信号带宽时 可认为系统的频带宽度足够宽 因而信号通过时就近似认为是无失真传输 下面分析冲激信号和阶跃信号通过理想低通滤波器时的响应 6 3无失真传输系统与理想滤波器 图6 10线性相位理想低通滤波器频率响应 19 由图6 11 a 可见 系统的截止频率的大小与信号失真大小呈现反比关系 冲激响应滞后冲激输入td时刻 且在t 0也有响应 说明理想低通滤波器是非因果系统 物理不可实现 1冲激响应 系统的冲激响应h t 和系统函数是一对Fourier变换对 因而有 理想低通滤波器的冲激响应h t 的波形见图6 11 a 由图可见 冲激响应的波形是一个抽样函数 不同于输入冲激信号的波形 产生了很大失真 原因是理想低通滤波器是带限系统 而冲激信号的频谱为1 其频带宽度为无穷大 6 3无失真传输系统与理想滤波器 图6 11理想低通滤波器的响应 a b 20 另外 其波形见图6 11 b 所示 由图可见 有以下特点 6 3无失真传输系统与理想滤波器 2阶跃响应 当单位阶跃信号u t 通过理想低通滤波器时 系统的输出为阶跃响应g t 它是单位冲激响应的积分 即 因此 理想低通滤波器的阶跃响应为 阶跃响应比输入阶跃信号延迟一段时间 当t td时 g t 0 5 阶跃响应的波形不像阶跃信号波形那样垂直上升 而需要一段时间建立 阶跃响应出现过冲与震荡 原因是理想低通滤波器是带限系统 在t td时 阶跃响应波形的斜率最大 21 阶跃响应从最小值上升到最大值所需时间称为阶跃响应的上升时间tr 上升时间与冲激响应的主瓣宽度一样 都是 阶跃响应的上升时间tr与理想低通滤波器的通带宽度成反比 7 阶跃信号通过理想低通滤波器后 在其间断点的前后出现了震荡 震荡的最大峰值约为阶跃突变值的9 左右 8 如果增加滤波器的带宽 峰值的位置将趋于间断点 震荡起伏增多 衰减随之加快 但峰值却变化不大 称这种现象为Gibbs现象 只要理想低通滤波器的带宽有限 其阶跃响应就会出现震荡 且震荡的幅度不变 理想低通滤波器的输出响应有以下主要结论 1 输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器相位响应的斜率 2 理想低通滤波器的输出响应在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的波形 上升或下降时间与理想低通滤波器的通频带宽成反比 3 理想低通滤波器的通带宽度与输入信号的带宽不相匹配时 输出就会失真 系统的通带宽度大于信号的带宽 则失真较小 反之也然 6 3无失真传输系统与理想滤波器 注 实际系统与理想低通滤波器有相似的响应特性 例如RC积分电路 RLC串联电路等组成的物理可实现的低通滤波器 22 例6 11求带通信号通过线性相位理想低通滤波器的响应 解 由表5 1得 利用Fourier变换的频移特性 得输入信号的频谱为 理想低通滤波器的幅度响应和带通信号频谱见图6 12 系统输出频谱为 6 3无失真传输系统与理想滤波器 1 当时 输入信号的所有频率分量都能通过系统 即 系统可认为是无失真传输系统 2 当时 输入信号的所有频率分量都不能通过系统 即 此时 系统的输出为 系统的输出响应为 23 输出信号发生失真 系统不是无失真传输系统 6 3无失真传输系统与理想滤波器 3 当时 只有从1到范围内的频率分量能通过系统 故 因为 系统的输出响应为 图6 12例6 11图 a 系统的幅度响应 b 输入信号的频谱 24 抽样后的离散序列可用连续信号表示为 图6 13理想抽样信号 6 4时域抽样与抽样定理 将连续信号等间隔抽样的方法在通讯 控制和信号处理领域有广泛的应用 时域抽样可表示为 抽样后的离散序列能否包含原连续信号的全部信息 抽样定理解决了该问题 下面首先分析抽样信号的频谱 一 信号的时域抽样 如图6 13所示 其中T为抽样间隔 fs 1 T为抽样频率 抽样角频率 根据冲激信号的性质 有 6 35 表示的过程称为理想抽样 fs t 为理想抽样信号 见图6 14 周期冲激串信号的Fourier变换为 25 设实信号f t 是带限的 即在时信号频谱为零 称为信号最高角频率 记 当降低抽样角频率时 相邻之间的间隔将会减小 这就可能使得相邻的非零值部分发生重叠 导致抽样信号的失真 这种由非零值重叠相加而引起的失真称为混叠 6 36 揭示了连续信号频谱与理想抽样信号频谱之间的基本关系 理想抽样信号的频谱是周期的 其周期为 图6 14理想抽样模型 6 4时域抽样与抽样定理 由Fourier变换的频域卷积定理 抽样信号fs t 的频谱为 由冲激信号的卷积特性 有 图6 15分别给出了抽样角频率时 理想抽样信号的频谱 分析这三种情况下抽样信号与原信号之间的关系 可以得到它们分别对应着过抽样 临界抽样和欠抽样 26 6 4时域抽样与抽样定理 图6 15抽样信号的频谱 a 原始信号的频谱 d 抽样信号的频谱 b 抽样信号的频谱 c 抽样信号的频谱 27 上述条件中 是使抽样信号频谱不混叠时可取的最小抽样频率 称为Nyquist频率 是使抽样信号频谱不混叠时可取的最大抽样间隔 称为Nyquist间隔 6 4时域抽样与抽样定理 时域抽样定理 设带限实信号f t 的最高角频率为 则信号f t 可以用等间隔的抽样值惟一表示 其中抽样间隔必须不超过1 2fm 或最低抽样频率为2fm 二 时域抽样定理 因而 从抽样信号fs t 中恢复原信号f t 需满足两个条件 信号f t 是带限的 其频谱函数在各处为零 抽样频率不能过低 抽样频率不小于2fm 或抽样间隔不大于1 2fm 28 图6 16例6 12信号的频谱 6 4时域抽样与抽样定理 a 复信号的频谱 b 抽样信号的频谱 其频谱如图6 16 b 所示 例6 12一复信号的频谱如图6 16 a 所示 试画出以抽样角频率抽样后信号的频谱 解 抽样信号频谱与原信号频谱的关系为 虽然抽样频率不满足抽样定理 但抽样信号的频谱仍保留了原信号的全部信息 注意 抽样定理假设了信号是实的 而实信号的幅度频谱具有偶对称性 故不混叠的最低抽样频率是信号最高频率的两倍 而本例复信号是单边的 所以不混叠的最低抽样频率等于信号的最高频率 29 6 4时域抽样与抽样定理 例5 13设一实带通信号的频谱如图6 17 a 所示 试画出以抽样角频率抽样后信号的频谱 解 图6 17 b 和图6 17 c 分别画出了原信号频谱右移和左移后的波形 抽样信号频谱与原信号频谱的关系为 抽样信号的频谱见图6 17 d 图6 17