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文档简介

一 向量组线性关系的判定 求一个向量组的秩 可以把它转化为矩阵的秩来求 这个矩阵是由这组向量为行 列 向量所排成的 若矩阵A经过初等行 列 变换化为矩阵B 则A和B中任何对应的列 行 向量组都有相同的线性相关性 如果向量组的向量以列 行 向量的形式给出 把向量作为矩阵的列 行 对矩阵作初等行 列 变换 这样 不仅可以求出向量组的秩 而且可以求出最大线性无关组 二 求向量组的秩 判断向量的集合是否构成向量空间 需看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭 若封闭 则构成向量空间 否则 不构成向量空间 三 向量空间的判定 例6 证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系 分析要证明某一向量组是方程组的基础解系 需要证明三个结论 1 该组向量都是方程组的解 2 该组向量线性无关 3 方程组的任一解均可由该向量组线性表示 四 基础解系的证法 五 解向量的证法 注意 1 本例是对非齐次线性方程组的解的结构作进一步的分析和讨论 即非齐次线性方程组一定存在着个线性无关的解 题中 2 的证明表明了它的存在性 2 对齐次线性方程组 当时 有无穷多组解 其中任一解可由其基础解系线性表示 3 对非齐次线性方程组 有时也把如题中所给的个解称为的基础解系 所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为1时 才是方程组的解 1 若n元线性方程组有解 且其系数矩阵的秩为r 则当r n时 方程组有唯一解 当r n时 方程组有无穷多解 2 齐次线性方程组 只有
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