高中数学第二章概率4二项分布课件北师大版选修2_31

4二项分布 第二章概率 学习目标1 理解n次独立重复试验的模型 2 掌握二项分布公式 3 能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点二项分布 若把每一次投篮看成做了一次试验 则每次试验有几个可能的结果 答案 在体育课上 某同学做投篮训练 他连续投篮3次 每次投篮的命中率都是0 8 用X表示3次投篮投中的次数 答案有2种结果 投中 成功 与未投中 失败 思考2 X 2表示何意义 求P X 2 答案 每种情况发生的可能性为0 82 0 2 二项分布进行n次试验 如果满足以下条件 1 每次试验只有的结果 可以分别称为 成功 和 失败 2 每次试验 成功 的概率均为p 失败 的概率均为 3 各次试验是的 用X表示这n次试验中成功的次数 则P X k 若一个随机变量X的分布列如上所述 称X服从参数为n p的二项分布 简记为 梳理 两个相互对立 1 p 相互独立 X B n p 题型探究 例1在人寿保险事业中 很重视某一年龄段的投保人的死亡率 假如每个投保人能活到70岁的概率为0 6 试问3个投保人中 1 全部活到70岁的概率 类型一利用二项分布求概率 解答 解设3个投保人中活到70岁的人数为X 则X B 3 0 6 故P X k 0 6k 1 0 6 3 k k 0 1 2 3 即全部活到70岁的概率为0 216 2 有2个活到70岁的概率 解答 3 有1个活到70岁的概率 即有2个活到70岁的概率为0 432 即有1个活到70岁的概率为0 288 要判断n次独立重复试验中A发生的次数X是否服从二项分布 关键是看试验是否为独立重复试验 独立重复试验的特点为 1 每次试验是在相同的条件下进行的 2 每次试验的结果不会受其他试验的影响 即每次试验是相互独立的 3 基本事件的概率可知 且每次试验保持不变 4 每次试验只有两种结果 要么发生 要么不发生 反思与感悟 跟踪训练1甲 乙两人各进行3次射击 甲每次击中目标的概率为 乙每次击中目标的概率为 求 1 甲恰好击中目标2次的概率 2 乙至少击中目标2次的概率 解答 3 乙恰好比甲多击中目标2次的概率 解答 解设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A 乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1 乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2 则A B1 B2 B1 B2为互斥事件 P A P B1 P B2 例2现有10道题 其中6道甲类题 4道乙类题 张同学从中任取3道题解答 1 求张同学至少取到1道乙类题的概率 类型二求二项分布的分布列 解答 解设事件A 张同学所取的3道题至少有1道乙类题 则有 张同学所取的3道题都是甲类题 解答 2 已知所取的3道题中有2道甲类题 1道乙类题 设张同学答对每道甲类题的概率是 答对每道乙类题的概率是 且各题答对与否相互独立 用X表示张同学答对题的个数 求X的分布列 解X所有可能的取值为0 1 2 3 所以X的分布列为 求二项分布的分布列的一般步骤 1 判断所述问题是否是相互独立试验 2 建立二项分布模型 3 求出相应概率 4 写出分布列 反思与感悟 跟踪训练2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 A和B 系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p 1 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 求p的值 解答 解设 至少有一个系统不发生故障 为事件C 2 设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 求 的分布列 解答 解由题意 的可能取值为0 1 2 3 所以随机变量 的分布列为 类型三二项分布的综合应用 例3一名学生每天骑自行车上学 从家到学校的途中有5个交通岗 假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 并且概率都是 1 求这名学生在途中遇到红灯的次数 的分布列 解答 故 的分布列为 2 求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数 的分布列 解答 故 的分布列为 3 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 解答 解所求概率为P 1 1 P 0 对于概率问题的综合题 首先 要准确地确定事件的性质 把问题化归为古典概型 互斥事件 独立事件 独立重复试验四类事件中的某一种 其次 要判断事件是A B还是AB 确定事件至少有一个发生 还是同时发生 分别应用相加或相乘事件公式 最后 选用相应的求古典概型 互斥事件 条件概率 独立事件 n次独立重复试验的概率公式求解 反思与感悟 解答 跟踪训练3一个口袋内有n n 3 个大小相同的球 其中3个红球和 n 3 个白球 已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p 若6p N 有放回地从口袋中连续4次取球 每次只取1个球 在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于 求p与n的值 又 6p N 6p 3 当堂训练 2 3 4 5 1 1 下列随机变量X不服从二项分布的是A 投掷一枚骰子5次 X表示点数为6出现的次数B 某射手射中目标的概率为p 设每次射击是相互独立的 X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C 实力相等的甲 乙两选手进行了5局乒乓球比赛 X表示甲获胜的次数D 某星期内 每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0 3 X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数 答案 解析 2 3 4 5 1 解析选项A 试验出现的结果只有两种可能 点数为6和点数不为6 且点数为6的概率在每一次试验中都为 每一次试验都是独立的 故随机变量X服从二项分布 选项B 虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种可能 且每一次试验中各事件相互独立且概率不发生变化 但随机变量的取值不确定 故随机变量X不服从二项分布 选项C 甲 乙的胜率相等 进行5局比赛 相当于5次独立重复试验 故X服从二项分布 选项D 由二项分布的定义 可知被感染次数X B n 0 3 2 3 4 5 1 2 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次 出现 3个正面 1个反面 的概率是 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 4 在4次独立重复试验中 随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率 则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是A 0 4 1 B 0 0 4 C 0 0 6 D 0 6 1 解析 解析由题意知p 1 p 3 p2 1 p 2 解得p 0 4 又 0 p 1 故选A 答案 5 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18 19 20层停靠 若该电梯在底层载有5位乘客 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数