初等变换与初等矩阵

第2 2节初等变换与初等矩阵 定义与性质 几个矩阵分解式 矩阵的等价标准形分解 矩阵的初等变换起源于解线性方程组的3类同解变形 利用初等变换将矩阵A化成形状 简单 的 的矩阵B 以通过B探讨或解决与A有关的问题 或某些性质 定义1由单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算 它可通过初等矩阵来实现 且应用广泛 初等矩阵的概念 定义2对单位阵施以一次行 列 初等变换后所得到的矩阵称为相应的行 列 初等矩阵 1 2 3类行列初等矩阵为Rij Ri Rij k 或Cij Ci Cij k 分别记第 有 行初等矩阵与列初等矩阵统称为初等 矩 阵 定义对m n矩阵A做有限次初等变换后得矩阵B 则称矩阵B与A是等价 或相抵 矩阵 equivalentmatrix 记作B A 下面 考察初等变换与初等矩阵的内在联系 B 所得的矩阵B 定理1对m n矩阵A 列 初等矩阵左 右 乘A 做一次行 列 初等变换 等于以一个相应的m阶行 n阶 定理2初等矩阵都是可逆阵 且其逆阵亦为同类型的初等矩阵 类似地有 2 19 有 定理2初等矩阵都是可逆阵 且其逆阵亦为同类型的初等矩阵 类似地有 2 19 有 定理2初等矩阵都是可逆阵 且其逆阵亦为同类型的初等矩阵 类似地有 2 19 有 定理2初等矩阵都是可逆阵 且其逆阵亦为同类型的初等矩阵 类似地有 2 19 有 定理3非退化阵经过初等变换后仍为非退化阵 而退化阵经过初等变换后仍为退化阵 二几个矩阵分解式 引理 任一m n非零矩阵A 必可通过有限次行初等变换 变成梯矩阵 推论1 任一m n非零矩阵A 必可通过有限次行初等变换 变成简化梯矩阵 推论2 n阶可逆矩阵A 必可通过有限次行初等变换 变成单位阵I 定理5 任一n阶可逆矩阵 必可写成行初等矩阵之积 例1 试将矩阵A写成三角分解式A LU 其中L U分别为下和上三角矩阵 三角分解的意义 对解方程Ax b设计算法 可参考 数值方法 三角分解法 三矩阵的等价标准形分解 利用初等变换可容易证得下面的定理 定理6对任一m n矩阵A 必可经过有限次初等变换 化成如下形式的m n矩阵 即 对任一m n矩阵A必可找到初等矩阵R1 R2 Rs及C1 C2 Cl 使 等价标准形 其中r是个随A而定的不超过min m n 的非负整数 并约定当r 0时 I0为零矩阵 2 21 若记中的m n矩阵为N 称N为A的等价标准形 则说明每个 m n矩阵都有唯一确定的等价标准形 定理8对任一m n矩阵A 必可找到m阶可逆阵R n阶可逆阵C 其中r是随A而定的不超过min m n 的非负整数 2 21 使 又因R C皆为可逆阵 故存在R 1及C 1 使 A R 1NC 1 若分别记可逆阵R 1 C 1为P Q 则有以下结论 必可找到可逆阵P Q 使 A PNQ 对任一m n矩阵A 上式为矩阵A的 等价 标准形分解式 成立 作业 P188练习11P1895 四再论可逆阵 将矩阵等价标准形分解的一般结论用于非退化阵 还可得出一些有用的结论 定理11设A B为阶方阵 若AB I 或BA I 则称A B均为非退化阵 且他们互为逆矩阵 即 BA I 或AB I 将矩阵标准形分解的一般结论用于非退化阵 可导出计算其逆阵的有效方法 定理12n阶矩阵A为非退化阵的充分必要条件是A可表示为有限个初等阵的乘积 定理13n阶矩阵A为非退化阵的充分必要条件是可通过对A作有限次行 列 初等变换后化成单位阵 定理2方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵 证 即 定理2方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵 利用初等变换求逆阵的方法 解 例1 即 初等行变换 例 解 定理充分性的证明可演化为用行初等变换计算非退化阵之逆阵的一种方法 对给定的n阶矩阵A 其为非退化的充分必要 这是因为 此时有行初等阵之积 使成立 2 22 由于I RA 故知R A 1 这时必有B A 1 即有B R A 1 例证明方阵 是非退化阵 并算出其逆阵 解 例17试对矩阵 解 建立式 对所示的A 从那里已建立的分 解式 可容易地看出其等价标准形分解A PNQ有 四n n线性代数方程组的唯一解 已经知道 对n n线性代数方程组 x A 1b Ax b 2 23 当系数矩阵A为非退化阵时 2 24 据此