高中数学 第二章 解三角形 1_2 余弦定理(一)课件 北师大版必修5

第二章解三角形 1 2余弦定理 一 1 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 2 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一余弦定理的推导 当a b c时 C 60 a2 b2 2abcosC c2 c2 2c ccos60 c2 即 式仍成立 据此猜想 对一般 ABC 都有c2 a2 b2 2abcosC 根据勾股定理 若 ABC中 C 90 则c2 a2 b2 a2 b2 2abcosC 试验证 式对等边三角形还成立吗 你有什么猜想 答案 在c2 a2 b2 2abcosC中 abcosC能解释为哪两个向量的数量积 你能由此证明思考1的猜想吗 思考2 答案 a2 b2 2abcosC 梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要 因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件 所以能把第三边用基底表示进而求出模 另外 也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理 知识点二余弦定理的呈现形式 1 a2 b2 c2 2 cos cos cos b2 c2 2bccosA c2 a2 2cacosB a2 b2 2abcosC A B C 知识点三适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题 思考1 每个公式右边都涉及三个量 两边及其夹角 故如果已知三角形的两边及其夹角 可用余弦定理解三角形 观察知识点二第1条中的公式结构 其中等号右边涉及几个量 你认为可用来解哪类三角形 答案 思考2 每个公式右边都涉及三个量 即三角形的三条边 故如果已知三角形的三边 也可用余弦定理解三角形 观察知识点二第2条中的公式结构 其中等号右边涉及几个量 你认为可用来解哪类三角形 答案 梳理 余弦定理适合解决的问题 1 已知两边及其夹角 解三角形 2 已知三边 解三角形 题型探究 类型一余弦定理的证明 例1已知 ABC BC a AC b和角C 求解c 解答 则 c 2 c c a b a b a a b b 2a b a2 b2 2 a b cosC 所以c2 a2 b2 2abcosC 反思与感悟 所谓证明 就是在新旧知识间架起一座桥梁 桥梁架在哪儿 要勘探地形 证明一个公式 要考察公式两边的结构特征 联系已经学过的知识 看有没有相似的地方 如图 以A为原点 边AB所在直线为x轴建立直角坐标系 则A 0 0 B c 0 C bcosA bsinA BC2 b2cos2A 2bccosA c2 b2sin2A 即a2 b2 c2 2bccosA 同理可证b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 跟踪训练1例1涉及线段长度 能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题 解答 类型二用余弦定理解三角形 命题角度1已知两边及其夹角例2在 ABC中 已知b 60cm c 34cm A 41 解三角形 角度精确到1 边长精确到1cm 解答 根据余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA 602 342 2 60 34 cos41 1676 78 所以a 41 cm 因为c不是三角形中最大的边 所以C为锐角 利用计算器可得C 33 所以B 180 A C 180 41 33 106 反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时 应先从余弦定理入手求出第三边 再利用正弦定理求其余的角 跟踪训练2在 ABC中 已知a 2 b C 15 求A 解答 由余弦定理 得c2 a2 b2 2abcos 因为b a 所以B A 所以A为锐角 所以A 30 命题角度2已知三边例3在 ABC中 已知a 134 6cm b 87 8cm c 161 7cm 解三角形 角度精确到1 解答 B 32 53 C 180 A B 180 56 20 32 53 90 47 反思与感悟 已知三边求三角 可利用余弦定理的变形cosA cosB cosC 求一个角 求其余角时 可用余弦定理也可用正弦定理 跟踪训练3在 ABC中 sinA sinB sinC 2 4 5 判断三角形的形状 解答 因为a b c sinA sinB sinC 2 4 5 所以可令a 2k b 4k c 5k k 0 所以C为钝角 从而三角形为钝角三角形 当堂训练 1 一个三角形的两边长分别为5和3 它们夹角的余弦值是 则三角形的另一边长为A 52B C 16D 4 答案 解析 1 2 3 4 2 在 ABC中 a 7 b c 则 ABC的最小角为 1 2 3 4 a b c C为最小角且C为锐角 答案 解析 设顶角为C 角A B C所对的角分别为a b c 周长为l 因为l 5c 所以a b 2c 3 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍 那么它的顶角的余弦值为 1 2 3 4 答案 解析 1 2 3 4 4 在 ABC中 a b c分别为角A B C的对边 如果a b c成等差数列 B 30 ABC的面积为 那么b等于 答案 解析 1 2 3 4 ac 6 b2 a2 c2 2accosB a c 2 2accosB 2ac 又 2b a c 规律与方法 1 利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 1 已知两边和夹角 解三角形 2 已知三边求三角形的任意一角 2 余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广 勾股定理可以看作是余弦定理的特例