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数学运算经典题解【天下息戎】制作又名：今晚打老虎1】 剪绳子问题：例一：将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后，原来的绳子被剪成了几段？ A.18段 B.49段C.42段 D.52段【息戎注：对折三次这条绳子就变成23段，有7个拐点，对折n次就有2n段，拐点有2n-1个（注意是对折，与平均折三次有本质区别）】解析：切一刀变成2n+1份，以后每多切一刀就增加2n份，所以切了6刀，就变成23*6+1=49.因此针对【对折剪绳子问题】得到公式如下：对折n次，均匀剪了m刀，共变成 2n *m+1份，其中有2n-1份【看拐点的个数】的长度是其他绳子长度的两倍。-例二：【变形题】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后，剪成两种长度的绳子，较短的绳子比较长的绳子多多少根？解析：一共剪成49短，拐点有7个，因此有7个长度是另一种长度两倍，49-7*2=35-例三：一根铁丝长厘米，剪二种规格的小段，厘米和厘米的，不能有剩余，问最少剪几次（最多剪）？【息戎解析】：200036=55.20200019=105.5我们发现：36n+19m=2000 n 和m 都是整数。 从上面两个式子我们可以得到：36乘以n小于55的数加上20是19 的倍数。因为【余数的积】等于【积的余数】17n+20是19（可以看成【19=17+2】的倍数）.n=10 符合条件的还有 29 48 【10 +19的倍数】所以：45+200019=45+20=65 . 最少要切成65段需要64刀最多：就是切成36的越少，段数越多。（36*48+20）19+(55-48)=92+7=99.所以切98刀。&2】 不定值问题：例一：小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一、二两天看的页数之和，第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和，第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么，小明第五天至少看了多少页.？解析：设小明第一天看了a页，第二天看了b页，则前五天看的页数依次为: a， b， a+b， a+2b， 2a+3b.上面各个数的和是200，得到 5a+7b=200.因为5a与200都是5的倍数，所以b是5的倍数.因为ba，所以上式只有两组解: b=20， a=12; b=25， a=5.将这两组解分别代入2a+3b，得到第五天至少看了84页.-例二：国2007-51）学校举办一次中国象棋比赛，有10名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9名同学比赛一局。比赛规则，每局棋胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分，比赛结束后，10名同学的得分各不相同，已知：（1）比赛第一名与第二名都是一局都没有输过；（2）前两名的得分总和比第三名多20分；（3）第四名的得分与最后四名的得分和相等。那么，排名第五名的同学的得分是（ ）。A.8分 B.9分 C.10分 D.11分解析10名同学单循环比赛，共需比赛C210=45场，每人比赛9场。每场比赛无论比赛结果如何，对比赛双方得分总贡献为2分（若双方打平的话，双方各得1分；若有一方获胜，则胜方得2分，负方得0分），因此所有人总得分是45290分。根据条件（1），知道前两名之间的比赛是平局，第一名的成绩最多是28+1=17分。因为他们得分各不相同，第二名的得分最多是16分；根据条件（2），第三名的得分最多是13分；那么第四名的得分最多是12分，第五名的得分最多是11分。根据条件（3），后四名（七至十名）的得分和最多是12分。若第五名得分不足11分，则第五名得分最多是10分，第六名的得分最多是9分，此时所有人的得分和17+16+13+12+10+9+12=8990分，矛盾。假设不成立，即第五名的得分恰为11分。【息戎解析】：设第三名为a，第四名为b，第五名为c第六名为d。10名同学单循环比赛就是每俩人干一场C210=45,所以45场共90分。下面就是看看这个90分的分配。2a+20+2b+c+d=902(a+b)+c+d=70a+b大于等于c+d+4所以：3(c+d)62c+d20.6666cd，c=11可以确定。因为考场上没有时间验证。只能直接去确定值。-例三：A、B、C、D、E五个人在一次满分为100分的考试中，得分都是大于91的整数。如果A、B、C的平均分为95分，B、C、D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得96分。则D的得分是：（ ）A.96分 B.98分 C.97分 D.99分【息戎解析】：95*3-94*3可以得到，A-D=3 可以排除B和D项。如果D等于96那么B或C就是第二名，第5名就小于91.只能选C-例四：五个人的体重之和是428斤,他们的体重都是整数,并且各不相同.则体重最轻的人,最重可能是( )斤A.80 B.82C.83D.84解析：4235=84.3 抛开3，先看中间值是84的连续五个数82、83、84、85、86，最轻的提高一斤，就需要5斤来提高整体.3可以忽略掉。-例五：现有鲜花21朵分给5人，若每个人分得的鲜花数目各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。 A7B.8C、9D.10 解析：215=41，展开23456 看最高的，余数只能加到6上。&3】 余数、倍数、约数问题：例一：有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是：（ ）A.216 B.108 C.314 D.348【息戎解析】：先确定A的值，A是5、6、7的公倍数，其中最小公倍数是210，因为他们的和不超过400只有210符合。B:5X+5=210C:6x+6=210D:7X+7=210解出来加和便得到，210+41+34+29=314-例二：已知三个连续自然数依次是11、9、7的倍数，并且都在500-1500之间，那么这三个数的和是？ A 3129 B 3132 C 3135 D 3140 【息戎解析】：三个数的和一定9的倍数，“弃九法”各位数字加和看是否是9的倍数。-例三：一个自然数,被7除余2,被8除余3,被9除余1,1000以内一共有多少个这样的自然数有多少个？ A2B3C4D5【息戎解析】：7n-5与8n-5的最小公倍数是56n-5 可以化成 56n+51 ，这个数与9n+1的最小公倍数可以写成：504n+X ,在1000内只有n=0、1符合。所以有两个。【这里面X是一个大于51小于504的一个正整数，我们没有必要求出这个数来】-例四：一个自然数.被2 3 4 5 6整除. 被7除余6. 被8除余4. 被9除余3.这个数最少为多少？【息戎解析】：此题考查的是中国剩余定理。先找，7、8的最小公倍数，被9除余3；7、9的最小公倍数，被8整出余4；8、9的最小公倍数，被7整出余6的。569=6.2 ，2*6=12 除以9余3,56*6符合同理可以找到：能被7，8整除，被9除余3的数为566=336能被8，9整除，被7除余6的数为723=216能被7，9整除，被8除余4的数为634=252804-504=300公式就是:504n+300 最小值是300.2 3 4 5 6 的最小公倍数是60 N=05 10 15符合&4】浓度问题例一：甲杯中有浓度为17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的溶液600克。现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。问现在两倍溶液的浓度是多少( )A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4%解析：两杯混合后溶液是1000，通过尾数法直接选B。-【转载天字一号】盐水交换问题例二：有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重克，乙杯盐水重克现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中这样两杯新盐水的含盐率相同从每杯中倒出的盐水是多少克？公式：交换量=mn/(m+n)通过公式可以直接得到-例三：某容器中装有盐水。老师让小李再倒入5%的盐水800克，以配成20%的盐水。但小李却错误地倒入了800克水。老师发现后说，不要紧，你再将第三种盐水400克倒入容器，就可以得到20%的盐水了。那么第三种盐水的浓度时多少？（） A20% B、30% C、40% D、50%【息戎解析】：拆补法解题。因为800清水与400克溶液混合，再把它们分成800克5%的溶液和400克20%的溶液。800*5%+400*20%=120 120400 *100%=30%例四：有浓度为30%的溶液若干，加了一定数量的水后稀释为24%的溶液，如果再加入同样多的水后，浓度将变为多少?【息戎解析】：设中间量24%为100克。所以溶质为24克原有溶液：2430%=80克，所以加了20克水，再加20克水溶液变成120克。例五【十字交叉法】：容器中有某种浓度的酒精，加入一杯水后，容器中的纯酒精含量为25%，再加入一杯纯酒精，容器中的纯酒精含量为40%。问原来容器中有几杯酒精，浓度是多少？【息戎解析】： 100 15 1 40 =25 60 m得到：m=4， 4-1=3 有三杯， X 25 3 25 = 0 X-25 1可以解出X的值&4】 排列组合例一：用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺序排列：1，2，3，4，5，12，54321。其中，第206个数是A. 313 B. 12345 C. 325 D. 371解析：p5 1+P52 +P5 3+P54=205所以选B-例二【变形题】：用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的自然数，从小到大顺序排列：1，2，3，4，5，12，54321。其中，第226数字是A. 1 B. 2 C.3 D.5解析：p5 1+P52*2 +P5 3*3 =225第226一定是1.-例三：五个人站成一排,甲乙站在一起最后的站法共有( )种.【息戎解析】:甲乙站到一起P2 2，然后全排P44 -捆绑法例四：五个人站成一排,甲乙不站在一起最后的站法共有( )种：【息戎解析】：三个人全排p3 3有四个空，p4 2-插孔法例四：三边长均为整数，且最大边长为100的三角形的个数为（ ） (A)2500个 (B)2550个 (C)2600个 (D)2650个 【息戎解析】：100以内共有100个数可以选择，以后每选择一边递减2，行程等差数列。（100+2）*502=2550例五：将14封信投入23个邮筒，有多少种不同的投法？【息戎解析】：每个封信有23中选择，共14封。所以是14个23相乘2314例六：8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？【息戎解析】：首先，C8 3然后p3 3【转载自天字一号】P33 ，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。【变形题】8本不同的书，任选3本分给3个同学，有多少种不同的分法？【息戎解析】：C8 3，然后33。-例七：从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） (A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种解析：C9 3- C43 -C53=70错位排列：D1=0 D2=1 D3=2 D4=9 D5=44 例八：五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则贴错的可能情况有几种？息戎解析：C5 3 *2-例九：2名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有_ C(4,12)C(4,8)C(4,4) _种 【转自天字一号】【解析】每个路口都按次序考虑 第一个路口是C12取4 第二个路口是C8取4 第三个路口是C4取4 则结果是C12取4C8取4C4取4 可能到了这里有人会说 三条不同的路不是需要P33吗 其实不是这样的 在我们从12人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。 如果再P33 则是重复考虑了 如果这里不考虑路口的不同 即都是相同路口 则情况又不一样 因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况 所以在上述结果的情况下要P33 -例十：在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？【转自天字一号】先用一个节目去插9个空位，有P(9,1)种方法；再用另一个节目去插10个空位，有P(10,1)种方法；用最后一个节目去插11个空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为P(9,1)P(10,1)P(11,1)=990种例十一：从10双不同颜色的手套中任取3只，颜色各不相同，问有多少种取法？【息戎解析】：C10 3 *23=120*8=960 先取出、例十二：从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有_。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60【息戎解析】：先取颜色六种颜色先去一种，这种就是一双，在从剩下五种颜色中取出两种来，再从这两种颜色中各取一只与完整的一双来搭配。C61*C52*22=240【变形题】从6不同颜色各2双的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有_。 六种颜色选一种，这一种颜色有两种选择，C61 *C21再选两种颜色C52 *4212*10*16=1920例十三：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A24个 B30个 C40个 D60个【息戎解析】：此题我们先做出全部没有重复数字的来，减去奇数的就是偶数的。C41*C41*C31-C21*C31*C31=30.首先，全部：百位只能安排2345，先安排一个，十位安排剩下的四个，个位安排剩下的三个。 奇数：先安排个位，3和5，剩下4个，在安排百位，百位上不能安排0.所以只能安排3个，剩下3个，取一个安排到十位上。-例十四：八位同学出去野营，晚上他们在沙滩上玩游戏，游戏需要这八个同学围成两个四人的圆圈，请问一共有多少种方法？A720B900C1080D1260【息戎解析】：此题考查分组问题，分成两组就是C84A22 ,再就是圆圈全排列，A33A33，答案选D例十五：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_种【息戎解析】：C42，把其中俩球捆到一起，放到4个盒子里面P43，C42*P43=6*4*3*2=144-例十六：8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为111的盒子里面，每个盒子至少放1个，有多少种方法？【息戎解析】：方法一：先挑出8个空来安排八块奶糖，C11 8，剩下三个全排列P3 3.方法二：直接安排3种奶糖，剩下的8个自然放到剩下的盒子里。就是P11 3两种方法都得990.例十七：某人去A BCDE五个城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市。如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另一个城市，那么他一共有多少种旅游行程安排？A204 B205 C819 D820【息戎解析】：首先确定，从第一天开始到第七天，有6次转移，因为5个城市，因此，底数是5-1，所以是46=4096,40965=819.2,在这里我们想到“公务员精神”第一选择给别人，题目去的不是A城市，最接近819，因此选C，如果回到A城市就选820。【变形题】：某人去A BCDE五个城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市。那么他一共有多少种旅游行程安排？A204 B3125 C819 D820解析：此题从底数入手，第二天有5种选择，所以不需要减1【变形题】：某人去A BCDE五个城市旅游。如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另一个城市，共旅游七天。那么他一共有多少种旅游行程安排？【息戎解析】：答案是：5*4096。先设定其中一个城市，共有46种选择。共有5个城市。要乘以5.【变形题】：某人去A BCDE五个城市旅游，第一天去A城市，第二天到只能去CDE城市,第三天去A城市，第七天回到A城市。如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另一个城市，那么他一共有多少种旅游行程安排？【息戎解析】：3*1*4*4*4*4=256*3，从A城市出发的，7685=153.6第一接近给别人154不给A, 153给A.&5】 行程问题例一：甲乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲到达B地后立即往回走，回到A地后，又立即向B地走去；已到达A地后立即往回走，回到B地后，又立即向A地走去。如此往复，行走的速度不变，若两人第二次迎面相遇，地点距A地500米，第四次迎面相遇地点距B地700米，则A、B两地的距离是多少？【息戎解析】：这是典型的两岸型相遇问题。如果这个题是第一次是距A地500米，第二次距B地700米我们可以用两岸型公式得出500*3-700=800，但是这里问的是 第二次和第四次，这个公式就不实用了。需要我们继续推导。*条件：甲、乙两车分别同时从A、B两地出发，各自到头即返回。假设其m小于n，第m次相遇距A点是a千米，第n次相遇距B点式b千米，全程为s则甲乙两车两次分别共走了2m-1和2n-1个全程，甲走了(m-1)s +a,乙走了ms-a,同样甲走了ns-b,乙走了(n-1)s+b，由于分别走的时间相同可以根据等量列等式： (m-1)s +a ms-a = ns -b(n-1)s+b化简可以得到：S= (2n-1)a +（2m-1）b m+n-1同样我们来推导单岸型。条件：甲、乙两车分别同时从A、B两地出发，各自到头即返回假设其m小于n，第m次相遇距A点是a千米，第n次相遇距A点式b千米，全程为s则甲乙两车两次分别共走了2m-1和2n-1个全程，第一次甲走了(m-1)s +a,乙走了ms-a,同样甲走了(n-1)s+b,乙走了ns-b，由于分别走的时间相同（m-1）s+a ms-a =(n-1)s+b ns-b化简得到：s=(2n-1)a ( 2m-1)b n-m因此此题我们代入已经推导出来的公式：7*500+3*700 2+4-1=1120 通过推导出来的公式我们还可以发现：(2n-1)a (2m-1)b 中2n-1 、2m-1为全程的个数。追击问题：例二：一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？ A 10 B 8 C 6 D 4解析：这到题的本质不是人与骑车人的相遇问题,而是公交车与人,公交车与骑车人的追赶问题. 因为发车间隔相同,公交车车速一样,所以两辆公交车的间距也一样.我们不妨设两公交车的间距是S,人的速度是V1,骑车人的速度是3V1,公交车的速度是V. 假设第一辆公交车超过人,那么据题意第二辆公交车超过人是10分钟后,而此时人与第二辆距离就是S,所以的得到S=10(V-V1),同理依据骑车人与公交车的关系可得S=20(V-3V1),两个方程得V=5V1, 间隔时间即T=S/V=40V1/5V1=8分钟 例三：某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面而来.2个起点站的发车间隔相同,那么这个间隔是多少?【息戎解析】：此题直接套公式。时间间隔t=2*t1*t2 t1+t2 2*12*412+4 =6我们来推导下这个公式：根据路程差=速度差*时间条件：每t1分钟有一辆电车从后面追上,每t2分钟有一辆电车迎面而来 ，路程间隔为S设速度电车为V1 人的速度为V2，S=t1(v1-v2)S=t2(v1+v2)两式合并得到：得到V1=（t1+t2）v2 (t1-t2) V2= (t1-t2)V1 （t1+t2）时间间隔T=Sv=t1(v1-v2)v1 代入化简得到T=2t1t2t1+t2例四：从甲、乙两车站相对同时开出公车，此后两站每隔8分钟再开出一辆，依次类推，已知每辆车的车速相同且匀速，每辆车到达对方站都需45分钟，现 有一乘客坐甲站开出的第一辆车去乙站，问他在路上会遇到几辆从乙站开出的公共汽车？【息戎解析】：这个题我们要从总体上去考虑，假设路上有车则每4分钟遇到一辆，454=111共遇到11两，但是因为乘客坐的是第一辆，所以要减去路程中的车。458=55,途中有5辆，11-5=6例五：100名学生要到离校33千米处的少年宫活动只有一辆能载25人的汽车，为了使全体学生尽快地到达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的办法已知学生步行速度为每小时5千米，汽车速度为每小时55千米要保证全体学生都尽快到达目的地，所需时间最少是?【息戎解析】：把100名学生分成4组，每组25人，每组步行3份路程，汽车代步一份。将第一批人放到离终点3分路程，在离起点1份路程处接到第二那批人。此时汽车共行走11份路程（555=11）,(11-1)2=5 总路程为1+5+3=9分路程。33/9=11/3(千米）(11/3)*6/55=0.4(小时)(11/3)*3/5=2.2(小时)0.4+2.2=2.6（小时）总结：（汽车：人）-1 2 就是汽车占路程的分数。【变形题】：甲乙两个班从A地到B地，A、B两地相距100千米，甲班乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，全部人员同时到达。已知甲班速度为8千米/小时，乙班速度为5，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达,B地需要多少时间？ 【息戎解析】：首先，甲_a_/_/ /./ /b乙 设甲班步行为a，乙班步行为b，当接甲班时，汽车走的路程为408=5 故为5a，同理为8b。所以4a=7b, a=7b4,所以甲班：汽车(空车)：乙班=7b4:7b2:b=7:14:4 此时我们总结出公式：甲班占路程份数=（汽车速度乙班 -1）*2乙班占路程份数=（汽车速度甲班 -1）*2空车占路程份数=（汽车速度甲班 -1）*（汽车速度乙班 -1）总路程为：25份 ， 100*725*8 =3.5 ; 18*10025*40=1.83.5+1.8=5.3 【变形题】：甲乙丙三个班从A地到B地，A、B两地相距100千米，甲班乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，全部人员同时到达。已知甲班速度为8千米/小时，乙班速度为5，丙班速度为10，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达,B地需要多少时间？A3.86 B 4.43 C4.55 D5【息戎解析】：我们先推导下。分别设甲乙丙分别走了a b c段距离，接甲乙丙空车汽车走的路程是S1 S2 S3已知量：速度是v1 v2 v3,， 汽车的速度为V，总路程为S，可以求出汽车与他们的速度比：n1 n2 n3所以：当甲班走a时，汽车就走n1 *a，S1 空车路程就是：(n1-1)a2同理得出，乙班、丙班的S2 S3空车路程为，（n2-1）b2 和(n3-1)c2我们知道:总路程S=a+b+c+空车所以：S1=S2=S3(n1-1)a2=（n2-1）b2=(n3-1)c2此时我们