高中数学 第二单元 平面向量 2_2_2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件 新人教b版必修4

2 2 2向量的正交分解与向量的直角坐标运算 第二章 2 2向量的分解与向量的坐标运算 学习目标1 了解平面向量的正交分解 掌握向量的坐标表示 2 掌握两个向量和 差及数乘向量的坐标运算法则 3 正确理解向量坐标的概念 要把点的坐标与向量的坐标区分开来 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一平面向量的正交分解 思考 如果向量a与b的基线互相垂直 则称向量a与b垂直 记作a b 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底 答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底 答案 梳理 如果基底的两个基向量e1 e2互相垂直 则称这个基底为 在正交基底下分解向量叫做 正交基底 正交分解 思考1 知识点二平面向量的坐标表示 如图 向量i j是两个互相垂直的单位向量 向量a与i的夹角是30 且 a 4 以向量i j为基底 如何表示向量a 答案 思考2 答案 在平面直角坐标系内 给定点A的坐标为A 1 1 则A点位置确定了吗 给定向量a的坐标为a 1 1 则向量a的位置确定了吗 答案对于A点 若给定坐标为A 1 1 则A点位置确定 对于向量a 给定a的坐标为a 1 1 此时给出了a的方向和大小 但因为向量的位置由起点和终点确定 且向量可以任意平移 因此a的位置还与其起点有关 所以不确定 1 基底 在直角坐标系xOy内 分别取与x轴和y轴方向的两个 e1 e2 这时 我们就在坐标平面内建立了一个 e1 e2 这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底 2 坐标分量 在坐标平面xOy内 任作一向量a 用有向线段表示 由平面向量基本定理可知 存在唯一的有序实数对 a1 a2 使得a a1 a2 就是向量a在基底 e1 e2 下的坐标 即a 其中a1叫做向量a在上的坐标分量 a2叫做a在上的坐标分量 3 若 xe1 ye2 x y 则的坐标 x y 点A的坐标 x y 梳理 相同 单位 向量 正交基底 a1e1 a2e2 a1 a2 x轴 y轴 知识点三平面向量的坐标运算 思考 答案 设i j是分别与x轴 y轴同向的两个单位向量 若设a x1 y1 b x2 y2 则a x1i y1j b x2i y2j 根据向量的线性运算性质 向量a b a b a R 如何分别用基底i j表示 答案a b x1 x2 i y1 y2 j a b x1 x2 i y1 y2 j a x1i y1j 1 若a a1 a2 b b1 b2 则a b a b a a1 a2 即两个向量的和与差的坐标等于两个向量 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量 2 若A x1 y1 B x2 y2 则 即一个向量的坐标等于向量终点的坐标 3 在直角坐标系xOy中 已知点A x1 y1 点B x2 y2 则线段AB中点的坐标为 梳理 a1 b1 a2 b2 a1 b1 a2 b2 a1 a2 相应坐标的和与差 相应坐标 的积 x2 x1 y2 y1 减去始点的坐标 题型探究 类型一平面向量的坐标表示 解答 例1如图 在平面直角坐标系xOy中 OA 4 AB 3 AOx 45 OAB 105 四边形OABC为平行四边形 1 求向量a b的坐标 解作AM x轴于点M AOC 180 105 75 AOy 45 COy 30 又 OC AB 3 解答 3 求点B的坐标 反思与感悟 在表示点 向量的坐标时 可利用向量的相等 加减法运算等求坐标 也可以利用向量 点的坐标的定义求坐标 一般利用不等式思想求解 即把问题条件转化为关于参数的不等式 组 再解不等式 组 就可以求得参数的取值范围 解答 跟踪训练1已知边长为2的正三角形ABC 顶点A在坐标原点 AB边在x轴上 点C在第一象限 D为AC的中点 分别求向量的坐标 解如图 正三角形ABC的边长为2 则顶点A 0 0 B 2 0 C 2cos60 2sin60 类型二平面向量的坐标运算 解答 解由已知 得a 5 5 b 6 3 c 1 8 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 例2已知A 2 4 B 3 1 C 3 4 1 求3a b 3c 解答 2 求满足a mb nc的实数m n的值 解 mb nc 6m n 3m 8n a 5 5 反思与感悟 向量坐标运算的方法 1 若已知向量的坐标 则直接应用两个向量和 差及向量数乘的运算法则进行 2 若已知有向线段两端点的坐标 则可先求出向量的坐标 然后再进行向量的坐标运算 3 向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行 解答 跟踪训练2已知a 1 2 b 2 1 求 1 2a 3b 解2a 3b 2 1 2 3 2 1 2 4 6 3 4 7 2 a 3b 解a 3b 1 2 3 2 1 1 2 6 3 7 1 解答 类型三平面向量坐标运算的应用 解答 例3已知点A 2 3 B 5 4 C 7 10 若 R 试求当 为何值时 1 点P在第一 三象限的角平分线上 解设点P的坐标为 x y 3 1 5 7 3 5 1 7 若点P在第一 三象限的角平分线上 解答 2 点P在第三象限内 当 1 时 点P在第三象限内 反思与感悟 1 待定系数法是最基本的数学方法之一 实质是先将未知量设出来 建立方程 组 求出未知数的值 是待定系数法的基本形式 也是方程思想的一种基本应用 2 坐标形式下向量相等的条件 相等向量的对应坐标相等 对应坐标相等的向量是相等向量 由此可建立相等关系求某些参数的值 跟踪训练3已知向量a 2 1 b 1 2 若ma nb 9 8 m n R 则m n的值为 3 解析 a 2 1 b 1 2 ma nb 2m n m 2n 9 8 答案 解析 故m n 2 5 3 当堂训练 答案 2 3 4 5 1 1 设平面向量a 3 5 b 2 1 则a 2b等于A 7 3 B 7 7 C 1 7 D 1 3 2 3 4 5 1 答案 解析 答案 解析 2 3 4 5 1 解析设D点坐标为 x y 2 3 4 5 1 答案 解析 A 7 4 B 7 4 C 1 4 D 1 4 答案 解析 5 如图 在6 6的方格纸中 若起点和终点均在格点的向量a b c满足c xa yb x y R 则x y 解析建立如图所示的平面直角坐标系 设小方格的边长为1 则可得a 1 2 b 2 3 c 3 4 2 3 4 5 1 1 向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量 是向量坐标表示的理论依据 向量的坐标表示 沟通了向量 数 与 形 的特征 使向量运算完全代数化 2 要区分向量终点的坐标与向量的坐标 由于向量的