数学实验报告(样例)(数值积分).doc

数学与物理系实验报告（2011级）课程名称：数值分析实验题目：数值积分专业：2011数学与应用数学班级：姓名： 学号：任课教师：成绩评定：填写日期：年月日合肥学院数学与物理系制数学实验报告实验序号：日期：20年月日班级姓名学号实验名称数值积分问题背景描述：利用牛顿莱布尼茨公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形。如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法。在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是条实验记录曲线或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分。实验目的：本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：复化（梯形、抛物线、牛顿柯特斯）算法，在不同精度要求下，看等分点数与运行时间，从而提出一些想法。同时也研究一下外推法。实验原理与数学模型：这里还应把牛顿柯特斯公式打上。实验所用软件及版本：Matlab 7.0主要内容（要点）：对三种数值积分，采用不同的精度要求，计算对分点数与耗时，采用拟合曲线的方法，去推想更高精度要求时所花时间。改进的方法有外推法。从60年代开始，中国计算科学家们为中国原子弹的研制成功、氢弹原理的突破和发展作出了巨大的贡献。中国当年在核武器研制上达到与美、苏基本相抗衡的水平时，前后只进行过338次核试验。而两个超级大国则分别进行了936次和716次。这其中的奥密从某种程度上讲就是由于我国的研制人员在经费和物质条件的限制下，更多地依靠了数值模拟实验手段：试想一想，这为国家节省了多少试验物资和经费。 邓稼先在学海茫茫的大千世界中，终于找到了天体物理中的托马斯费米理论。这个理论过去是用到中子星球上的，拿原子弹和中子星相比，温度大致差不多，都有极高的温度，但密度却没有中子星那么高。所以必须修正托马斯费米理论来推导出原子弹所需的高温高压下的状态方程，他们创造性地利用外推法，求出了极高温高压下的核材料的状态方程，并巧妙地与低压状态方程连接，得出了相当大区域内完整的状态方程，满足了理论设计要求。（这里写上是进行爱国主义教育。正式报告可以不写）也用了误差估计的方法推导出所需要的对分点数。实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：% fhtxgs_symbol.mclear all;format long g;syms f x wc n a b s s1 s2;f=input(f=);a=input(a=);b=input(b=);jieguo=;for wc=1:9 tic;n=1;s1=(subs(f,x,a)+subs(f,x,b)*(b-a)/n/2;n=2;s2=(subs(f,x,a)+subs(f,x,b)*(b-a)/n/2+subs(f,x,a+(b-a)/n)*(b-a)/n;while abs(s2-s1)0.5*10(-wc) s1=s2; n=n*2; s=0; h=(b-a)/n; for i=1:n-1 s=s+subs(f,x,a+i*h); end; s=h*s+(subs(f,x,a)+subs(f,x,b)*h/2; s2=s;end;jieguo= jieguo;vpa(toc,10) vpa(0.5*10(-wc),wc) n vpa(s2,wc) vpa(pi,wc+1) vpa(int(4/(1+x*x),0,1)-s,20);end;jieguo% fxspsgs_symbol.mclear all;format long;syms f x a b n s1 s2 s wc h i ;f=input(f=);a=input(a=);b=input(b=);jieguo=;for wc=1:9 % wc=15?tic;n=1;s1=(subs(f,x,a)+4*subs(f,x,(a+b)/2)+subs(f,x,b)*(b-a)/n/6;n=2;s2=s1+1;while abs(s2-s1)0.5*10(-wc) s1=s2; n=n*2; s=0; h=(b-a)/n; for i=1:n s=s+4*subs(f,x,a+(i-1/2)*(h); end; for i=1:n-1 s=s+2*subs(f,x,a+i*h); end; s=(subs(f,x,a)+subs(f,x,b)+s)*h/6; s2=s; s2-s1;end;jieguo= jieguo;vpa(toc,10) vpa(0.5*10(-wc),wc) n vpa(s2,wc) vpa(pi,wc+2) vpa(vpa(int(4/(1+x*x),0,1),wc)-s,wc+2);end;jieguo% newton_cotes_symbol.mclear all;clc;syms x;f=input(f=);a=0;b=1;jieguo=;for wc=1:9tic;n=1;h=(b-a)/n;s1=0;for i=1:n val=miniarea(inline(f),a+(i-1)*h,a+i*h); s1=s1+val;end;n=2;h=(b-a)/n;s2=0;for i=1:n val=miniarea(inline(f),a+(i-1)*h,a+i*h); s2=s2+val;end;while abs(s2-s1)0.5*10(-wc) s1=s2; n=n*2;h=(b-a)/n;s=0; for i=1:n val=miniarea(inline(f),a+(i-1)*h,a+i*h); s=s+val; end; s2=s;endjieguo=jieguo;toc n s2;end;jieguofunction val=miniarea(f,a,b)syms x;h=(b-a)/4;for i=1:5 fd(i)=a+(i-1)*(b-a)/4;end;val=(7*subs(f,x,fd(1)+32*subs(f,x,fd(2)+12*subs(f,x,fd(3)+32*subs(f,x,fd(4)+7*subs(f,x,fd(5)*(b-a)/90;% romberg.mclear all;clc;format long g;syms f x wc n a b s s1 s2;f=input(f=);a=input(a=);b=input(b=);jieguo=;n=1;while n=256 s=0; h=(b-a)/n; for i=1:n-1 s=s+subs(f,x,a+i*h); end; s=h*s+(subs(f,x,a)+subs(f,x,b)*h/2; jieguo=jieguo;n s; n=2*n;end;jieguo=jieguofor row=3:9 for col=row-1:9 jieguo(row,col)=(4(row-2)*jieguo(row-1,col)/(4(row-2)-1)-jieguo(row-1,col-1)/(4(row-2)-1); end end jieguo=jieguo对复化梯形误差达到的精度所花时间进行拟合：clear all;clc;syms t;x=1:9y=.5124469741e-1 .4784430568e-1 .8870833678e-1 .3228000466 1.2816159282.543667972 10.23569556 40.58468960 81.11779701subplot(2,2,1);plot(x,y,Or);lny=log(y);subplot(2,2,2);plot(x,lny,*b);g=vpa(polyfit(x,lny,1),6);b=g(1);a=exp(g(2);f=a*exp(b*t);fit_y=subs(f,t,x);subplot(2,2,3);plot(x,y,Or,x,fit_y,*b);jd=input(jd=);disp(年季月天时分秒)subs(f,t,jd)/(365*24*60*60) subs(f,t,jd)/(90*24*60*60) subs(f,t,jd)/(30*24*60*60) subs(f,t,jd)/(24*60*60) subs(f,t,jd)/(60*60) subs(f,t,jd)/60 subs(f,t,jd) 实验结果报告与实验总结：误差精度等分点数（复化梯形）等分点数（复化辛普森）等分点数（复化Newton_Cotes）运行时间（秒）（复化梯形）运行时间（秒）（复化辛普森）运行时间（秒）（复化Newton_Cotes）0.5e-1482.5124469741e-1.7695537252e-10.193225355448460.5e-21682.4784430568e-1.3470745709e-10.026705066127320.5e-33284.8870833678e-1.3283379448e-10.065748629709550.5e-412884.3228000466.3290503079e-10.061883215163800.5e-5512841.281615928.3288988805e-10.064833403508240.5e-61024882.543667972.3253165766e-10.133492575243800.5e-7409616810.23569556.7441038037e-10.133822561484500.5e-816384161640.58468960.7152216901e-10.282703509748050.5e-932768321681.1177970127377041526004若要使误差达到0.5e-15，则所花时间如下：经过计算，需要对【0，1】等分数为：1.825741858350554e+007（即至少1千8佰万等分）才能达到精度要求。思考与深入：通过实验知道，用数值积分计算时，为了达到同一精度要求，不同的算法对分的次数是不一样的，所花费的运行时间也是不一样的。也说明了，对同一等分，各分点的函数值前配上不同的系数，对精度的提高也有显著差别。从实验还知道，Romberg算法确实是好，从精度不高的1、2、4、8、32、64等分（最高5为有效数字）经过适当的线性组合（实为外推方法），可以显著