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文档简介

1 3向量组的秩 一 最大线性无关向量组 二 向量组秩 2 n维向量组 假如 这说明B组可由A组线性表示 一 最大线性无关向量组 3 若B中每个向量 都可由 A中的向量线性表示 则称B可由A线性表示 若A与B可互相线性表示 则称A与B等价 註 等价关系式 1 反身性 A与A等价 2 对称性 若A与B等价 则B与A等价 定义8 3 传递性 若A与B等价 B与C等价 则A与C等价 4 定义9 设向量组 若 1 向量组A线性无关 且 则称A为T的一个最大无关组 例1 向量组 试求T 的一个最大无关组 其中 5 解 6 注意 1 一般来说 一个向量组T的最大无关组不是唯一的 2 向量组T的最大无关组A与T本身等价 事实上 若 为T的一个最大无关组 按定义9 T可 由A线性表示 7 反之 因A是T的一部分 A当然可由A线性表示 即 例2 全体n维向量所构成的向量组记为 证明 均有 8 证明 个数 维数 证毕 例3 由定理二 9 定理五 若 1 A线性无关 且 2 A可由B线性表示 证明 反证法 若r s 1 式的系数构成r个s维向量 10 即有不全为零的数 即 2 将 2 式代入 3 式 得 11 把 1 式代入 5 式 整理得 12 13 矛盾 证毕 推论1 证明 B均线性无关 A可由B线性表示 B可由A线性表示 证毕 14 推论2 在同一个向量组中 它的任意两个最大无关组所包含向量的个数相同 证明 设有向量组T 个数 r 个数 s 证毕 15 注意 仅有m个向量 向量组A线性无关 A的最大无关组是A本身 A的秩 m A线性相关 A的秩 A组向量的个数m 定义10 向量组的最大无关组所含向量的个数r称为该向量组的秩 二 向量组的秩 16 推论3 等价的向量组的秩相等 证明 A与B
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