高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_8 圆锥曲线的综合问题 第1课时 直线与圆锥曲线课件 文 北师大版

9 8圆锥曲线的综合问题 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立 消去一个变量得到关于x 或y 的一元方程 ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 1 若a 0 可考虑一元二次方程的判别式 有 0 直线与圆锥曲线 0 直线与圆锥曲线 0 直线与圆锥曲线 知识梳理 相交 相切 相离 2 若a 0 b 0 即得到一个一元一次方程 则直线l与圆锥曲线E相交 且只有一个交点 若E为双曲线 则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 若E为抛物线 则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 平行 平行或重合 2 圆锥曲线的弦长 设斜率为k k 0 的直线l与圆锥曲线C相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 1 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切 过椭圆内一点的直线与椭圆相交 2 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点 一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点 一条与对称轴平行或重合的直线 3 过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点 两条切线和两条与渐近线平行的直线 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点 一条切线和两条与渐近线平行的直线 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点 两条与渐近线平行的直线 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线l与抛物线y2 2px只有一个公共点 则l与抛物线相切 2 直线y kx k 0 与双曲线x2 y2 1一定相交 3 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点 4 直线与椭圆只有一个交点 直线与椭圆相切 5 过点 2 4 的直线与椭圆 y2 1只有一条切线 6 满足 直线y ax 2与双曲线x2 y2 4只有一个公共点 的a的值有4个 1 过点 0 1 作直线 使它与抛物线y2 4x仅有一个公共点 这样的直线有 答案 解析 考点自测 A 1条B 2条C 3条D 4条 结合图形 图略 分析可知 满足题意的直线共有3条 直线x 0 过点 0 1 且平行于x轴的直线以及过点 0 1 且与抛物线相切的直线 非直线x 0 2 2016 青岛模拟 直线y kx k 1与椭圆的位置关系为A 相交B 相切C 相离D 不确定 答案 解析 3 若直线y kx与双曲线相交 则k的取值范围是 答案 解析 4 已知倾斜角为60 的直线l通过抛物线x2 4y的焦点 且与抛物线相交于A B两点 则弦 AB 答案 解析 16 5 教材改编 已知与向量v 1 0 平行的直线l与双曲线 y2 1相交于A B两点 则 AB 的最小值为 解析 答案 4 题型分类深度剖析 第1课时直线与圆锥曲线 题型一直线与圆锥曲线的位置关系 例1 2016 烟台模拟 已知直线l y 2x m 椭圆C 1 试问当m取何值时 直线l与椭圆C 1 有两个不重合的公共点 2 有且只有一个公共点 3 没有公共点 解答 几何画板展示 1 判断直线与圆锥曲线的交点个数时 可直接求解相应方程组得到交点坐标 也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定 需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0 2 依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时 联立方程并消元 得到一元方程 此时注意观察方程的二次项系数是否为0 若为0 则方程为一次方程 若不为0 则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解 思维升华 跟踪训练1 2016 全国乙卷 在直角坐标系xOy中 直线l y t t 0 交y轴于点M 交抛物线C y2 2px p 0 于点P M关于点P的对称点为N 连接ON并延长交C于点H 解答 几何画板展示 2 除H以外 直线MH与C是否有其他公共点 说明理由 解答 几何画板展示 题型二弦长问题 解答 1 当 AM AN 时 求 AMN的面积 几何画板展示 设M x1 y1 则由题意知y1 0 由 AM AN 及椭圆的对称性知 直线AM的倾斜角为 证明 几何画板展示 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中 应熟练的利用根与系数的关系 设而不求法计算弦长 涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系 设而不求法简化运算 涉及过焦点的弦的问题 可考虑用圆锥曲线的定义求解 思维升华 跟踪训练2设F1 F2分别是椭圆E 1 a b 0 的左 右焦点 过F1且斜率为1的直线l与E相交于A B两点 且 AF2 AB BF2 成等差数列 解答 1 求E的离心率 因为直线AB的斜率为1 2 设点P 0 1 满足 PA PB 求E的方程 解答 题型三中点弦问题 命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程例3 1 已知椭圆E 1 a b 0 的右焦点为F 3 0 过点F的直线交E于A B两点 若AB的中点坐标为 1 1 则E的方程为 答案 解析 因为直线AB过点F 3 0 和点 1 1 2 已知 4 2 是直线l被椭圆 1所截得的线段的中点 则l的方程是 答案 解析 设直线l与椭圆相交于A x1 y1 B x2 y2 又x1 x2 8 y1 y2 4 即x 2y 8 0 命题点2由中点弦解决对称问题例4 2015 浙江 已知椭圆 y2 1上两个不同的点A B关于直线y mx 对称 解答 1 求实数m的取值范围 2 求 AOB面积的最大值 O为坐标原点 解答 处理中点弦问题常用的求解方法 1 点差法 即设出弦的两端点坐标后 代入圆锥曲线方程 并将两式相减 式中含有x1 x2 y1 y2 三个未知量 这样就直接联系了中点和直线的斜率 借用中点公式即可求得斜率 2 根与系数的关系 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组 化为一元二次方程后 由根与系数的关系求解 3 解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外 还要注意 如果点A B关于直线l对称 则l垂直直线AB且A B的中点在直线l上的应用 思维升华 0或 8 答案 解析 设M x1 y1 N x2 y2 MN的中点P x0 y0 M N关于直线y x m对称 kMN 1 y0 3x0 解得m 0或 8 经检验都符合 课时作业 1 2016 泰安模拟 斜率为的直线与双曲线 1恒有两个公共点 则双曲线离心率的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A 2 B 2 C 1 D 要使直线与双曲线恒有两个公共点 即e 2 故选B 2 直线4kx 4y k 0与抛物线y2 x交于A B两点 若 AB 4 则弦AB的中点到直线x 0的距离等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 青岛模拟 已知抛物线y2 2px p 0 与直线ax y 4 0相交于A B两点 其中A点的坐标是 1 2 如果抛物线的焦点为F 那么 FA FB 等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 把点A的坐标 1 2 分别代入抛物线y2 2px与直线方程ax y 4 0 得p 2 a 2 则xA xB 5 由抛物线定义得 FA FB xA xB p 7 故选D 4 2017 天津质检 直线y x 3与双曲线 1的交点个数是A 1B 2C 1或2D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 所以它与双曲线只有1个交点 故选A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 过抛物线y2 4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A B两点 它们到直线x 2的距离之和等于5 则这样的直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A 有且仅有一条B 有且仅有两条C 有无穷多条D 不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 准线方程为x 1 设A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则A B到直线x 1的距离之和为x1 x2 2 设直线方程为x my 1 代入抛物线y2 4x 则y2 4 my 1 即y2 4my 4 0 x1 x2 m y1 y2 2 4m2 2 x1 x2 2 4m2 4 4 A B到直线x 2的距离之和为x1 x2 2 2 6 5 满足题意的直线不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 使得 AB 的直线l恰有三条 根据对称性 其中有一条直线与实轴垂直 双曲线的两个顶点之间的距离是2 小于4 过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4 综上可知 AB 4时 有三条直线满足题意 4 8 已知抛物线y2 4x的弦AB的中点的横坐标为2 则 AB 的最大值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 4 那么 AF BF x1 x2 2 又 AF BF AB AB 6 当AB过焦点F时取得最大值6 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3x 4y 13 0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设直线与椭圆交于A x1 y1 B x2 y2 两点 由于A B两点均在椭圆上 两式相减得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又 P是A B的中点 x1 x2 6 y1 y2 2 即3x 4y 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 10 已知F是抛物线C y2 4x的焦点 直线l y k x 1 与抛物线C交于A B两点 记直线FA FB的斜率分别为k1 k2 则k1 k2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由y2 4x 得抛物线焦点F 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切 求直线l的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由 1 得到椭圆的左 右焦点分别是F1 2 0 所以F2在C内 故过F2没有圆C的切线 设l的方程为y k x 2 即kx y 2k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 解得a2 8 b2 4 2 直线l不过原点O且不平行于坐标轴 l与C有两个交点A B 线段AB的中点为M 证明 直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2k2 1 x2 4kbx 2b2 8 0 设直线l y kx b k 0 b 0 A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 点P是圆O x2 y2 1上的点 解答 2 过点C m 0 作圆O的切线l 交 1 中曲线E于A B两点 求 AOB面积的最