计算机图形学二维图形变换与裁剪

跨入计算机殿堂的入门篇 计算机图形学施智平shizhiping 图形变换 2 观察与思考 零件三视图 3 观察与思考 三视图投影示意图 4 图形变换 从不同角度观察物体 会看到不同的形状形状的变化可以通过图形变换来实现图形变换是计算机图形学的基础内容之一通过图形变换可由简单图形生成复杂图形可用二维图形表示三维形体可对静态图形经过快速变换而获得图形的动态显示效果 5 第3章二维变换和裁剪 基本几何变换与基本概念图形几何变换的数学基础二维图形几何变换的计算复合变换变换的性质 6 变换的分类 投影变换 二维表示三维 正投影 三视图 轴测投影透视投影 9 图形与矢量 点的表示 二维图形中的点可以用坐标 x y 来表示 也可以用矢量 x y 来表示 二维行矢量 xy 三维行矢量 xyz 二维列矢量三维列矢量图形的表示用nx2或nx3矩阵来表示二维或三维图形上所有n个点 二维空间上三维空间上的所有点的所有点 10 数学基础1 设有两个矢量矢量和 11 数学基础 2 矢量的数乘矢量的点积性质 12 数学基础 3 矩阵单位矩阵矩阵的加法矩阵的数乘 13 数学基础 4 矩阵的乘法性质 A B C A B C 14 点坐标的变换 点坐标 新坐标 变换 矩阵表示 变换矩阵 注意 x 项中有x和y分量 y 项中也有x和y分量 这意味着x y共同对新矩阵P 产生作用 15 P xy 单位矩阵 单位矩阵 由上式可见变换前后的坐标不变 因此图形也不变 这是恒等变换 图形变换子程序中有 T 当T改变时 则变换的结果也发生改变 绘图软件中常把变换矩阵的初始值设为单位矩阵 16 基本几何变换 平移变换 平移将P点从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程 17 图平移变换 基本几何变换 平移变换 推导 18 Tx Ty称为平移矢量 矩阵形式 基本几何变换 比例变换 比例变换是指对P点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍 沿y方向放缩Sy倍 其中Sx和Sy称为比例系数 19 比例变换 Sx 2 Sy 3 以坐标原点为缩放参照点不仅改变了物体的大小和形状 也改变了位置 离原点的距离 20 基本几何变换 比例变换 图比例变换 原图 原图 基本几何变换 比例变换 推导 21 矩阵形式 基本几何变换 旋转变换 二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度 逆时针为正 顺时针为负 得到新的点p 的重定位过程 22 图旋转变换 基本几何变换 旋转变换 推导 极坐标 逆时针旋转 角x rcos rcos cos rsin sin xcos ysin 23 矩阵 y rsin rcos sin rsin cos xsin ycos 24 矩阵表示的问题 发现问题 平移变换 的运算为加法 比例变换 的运算为乘法 旋转变换 的运算为乘法 复合变换 T T1 T2 T3 T4 T5的运算为乘法 分析问题 不同的变换使用乘法和加法等不同算法 不利于程序的统一调用如果能够将多种算法统一成一种算法 则编程变得方便解决问题 采用齐次坐标技术可以使所有变换全都使用乘法 25 齐次坐标技术 齐次坐标表示法由n 1维向量表示一个n维向量采用齐次坐标技术 图形变换转换为矩阵相乘这一单一问题从而可以借助计算机高速计算功能 快速得到变换后的图形 为高度动态的计算机图形显示提供了可能性 齐次坐标表示法的优点便于变换合成便于硬件实现 26 齐次坐标表示就是用n 1维向量表示一个n维向量 不同的h值对应二维坐标上相同的点只有h 1时 点的齐次坐标x y才与二维坐标的x y值相等规范化齐次坐标表示就是h 1的齐次坐标表示 规范化齐次坐标 27 齐次坐标表示的实现 给二维点增加一维 给变换矩阵增加一列变换后的点也增加一列结果 平移变换也可使用矩阵乘法来进行计算 28 平移 规范化齐次坐标 平移变换矩阵 29 比例 规范化齐次坐标 比例变换矩阵 30 整体比例变换 规范化齐次坐标 整体比例变换 31 旋转变换 规范化齐次坐标 旋转变换矩阵 32 基本几何变换 二维变换矩阵 33 对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像 基本几何变换 对称变换 34 基本几何变换 对称变换 35 1 关于x轴对称 基本几何变换 对称变换 图关于x轴对称 36 2 关于y轴对称 基本几何变换 对称变换 37 3 关于原点对称 基本几何变换 对称变换 38 4 关于y x轴对称 基本几何变换 对称变换 39 5 关于y x轴对称 基本几何变换 对称变换 40 错切变换 也称为剪切 错位变换 用于产生弹性物体的变形处理 基本几何变换 错切变换 图错切变换 41 基本几何变换 错切变换 推导 1 x方向错切 b 0 c 0 分析 1 图形各点的y坐标不变 高度不变 2 x 为x和y的函数 3 c 0 则图形沿 x方向错切 c 0 则图形沿 x方向错切 42 基本几何变换 错切变换 2 y方向错切 b 0 c 0 分析 1 图形各点的x坐标不变 宽度不变 2 y 为x和y的函数 3 b 0 则图形沿 y方向错切 b 0 则图形沿 y方向错切 43 基本几何变换 错切变换 3 x y方向错切 b 0 c 0 分析 1 图形同时向x y两个方向错切 2 x 为x和y的函数 y 为x和y的函数 3 b与c均不为0 44 基本几何变换 错切变换 45 二维图形几何变换的计算 齐次坐标下 几何变换均可表示成P P T1 点的变换 46 2 直线的变换 二维图形几何变换的计算 47 3 多边形的变换 二维图形几何变换的计算 48 复合变换 任何复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式 图形作多次几何变换 复合变换结果是每次变换矩阵的乘积 复合变换具有形式 49 复合变换 二维复合平移 50 复合变换 二维复合比例 51 复合变换 二维复合旋转 52 复合变换 相对任一参考点的变换 关于任意参照点的旋转变换 T T1 T2 T3 位移 旋转 位移 53 相对某个参考点 xF yF 作二维几何变换 其变换过程为 1 平移 2 针对原点进行二维几何变换 3 反平移 复合变换 相对任一参考点的变换 54 例1 相对点 xF yF 的旋转变换 复合变换 相对任一参考点的变换 55 复合变换 相对任意方向的变换 相对任意方向作二维几何变换 其变换的过程是 1 旋转变换 2 针对坐标轴进行二维几何变换 3 反向旋转 56 例3 将正方形ABCO各点沿下图所示的 0 0 1 1 方向进行拉伸 结果如图所示 写出其变换矩阵和变换过程 复合变换 相对任意方向的变换 可能发生的变换 沿 0 0 到 1 1 的比例变换 沿固定方向拉伸 任意方向的二维变换 二维变换小结 abcd对图形作缩放 旋转 对称 错切变换 lm对图形作平移变换 qp对图形作投影变换 s对图形作整体变换 acl对x 起作用 bdm对y 起作用 qps对整体起作用 58 59 变换的性质 平移 比例 旋转 错切和反射等变换均是二维仿射变换的特例反过来 任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种变换的复合 二维仿射变换是具有如下形式的坐标变换 60 仅包含旋转 平移和对称的仿射变换维持角度和长度的不变性 比例变换可改变图形的大小和形状 错切变换引起图