中央财经大学王义东2004-2005(上)概率统计教案9.ppt

第二章第三节连续型随机变量 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间 对这种类型的随机变量 不能象离散型随机变量那样 以指定它取每个值概率的方式 去给出其概率分布 而是通过给出所谓 概率密度函数 的方式 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法 第二章第三节连续型随机变量 请看演示 怎样画直方图 直方图与概率密度 I 直方图 一 概率密度函数 II 连续型r v 及其概率密度函数的定义 1o 2o 这两条性质是判定一个函数f x 是否为某r vX的概率密度函数的充要条件 故X的密度f x 在x这一点的值 恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限 这里 如果把概率理解为质量 f x 相当于线密度 3 对f x 的进一步理解 要注意的是 密度函数f x 在某点处a的高度 并不反映X取值的概率 但是 这个高度越大 则X取a附近的值的概率就越大 也可以说 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度 若不计高阶无穷小 有 它表示随机变量X取值于的概率近似等于 4 连续型r v取任一指定值的概率为0 即 a为任一指定值 这是因为 由此得 1 对连续型r vX 有 2 由P X a 0可推知 而 X a 并非不可能事件 可见 由P A 0 不能推出 并非必然事件 由P B 1 不能推出B 二 随机变量的分布函数 设X 是一个随机变量 称函数F x P X x x 为随机变量X的分布函数 分布函数的性质 1 a b 总有F a F b 单调非减性 2 F x 是一个右连续的函数 3 x R1 总有0 F x 1 有界性 且 定义 证明 仅证 1 aa X b X a 而 X a X b P a X b P X b P X a F b F a 又 P a X b 0 F a F b 上述证明中我们得到一个重要公式 P a X b F b F a 它表明随机变量落在区间 a b 上的概率可以通过它的分布函数来计算 注意 设离散型随机变量X的分布律为pk P X xk k 1 2 X的分布函数 离散型随机变量的分布函数 分布函数F x 是一个右连续的函数 在x xk k 1 2 处有跳跃值pk P X xk 如下图 图2 2 1 所示 P29 例2 2 1X的分布函数 F x 0 x 00 040 X 10 361 X 212 X 连续型r v 的分布函数 即分布函数是密度函数的可变上限的定积分 由上式可得 在f x 的连续点 下面我们来求一个连续型r v的分布函数 F x P Xx 解 对x 1 F x 0 对 对x 1 F x 1 即 三 常见的连续型随机变量 正态分布 均匀分布 指数分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 正态分布在十九世纪前叶由高斯 Gauss 加以推广 所以通常称为高斯分布 德莫佛 德莫佛 DeMoivre 最早发现了二项分布的一个近似公式 这一公式被认为是正态分布的首次露面 一 正态分布 你们是否见过街头的一种赌博游戏 用一个钉板作赌具 下面我们在计算机上模拟这个游戏 街头赌博 高尔顿钉板试验 高尔顿钉板试验 这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线 I 正态分布的定义 若r v X的概率密度为 记作 f x 所确定的曲线叫作正态曲线 其中和都是常数 任意 0 则称X服从参数为和的正态分布 Normal II 正态分布的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线 特点是 两头小 中间大 左右对称 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 正态分布的图形特点 故f x 以 为对称轴 并在x 处达到最大值 令x c x c c 0 分别代入f x 可得 f c f c 且f c f f c f 这说明曲线f x 向左右伸展时 越来越贴近x轴 即f x 以x轴为渐近线 当x 时 f x 0 用求导的方法可以证明 为f x 的两个拐点的横坐标 x 这是高等数学的内容 如果忘记了 课下再复习一下 实例年降雨量问题 我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图 从直方图 我们可以初步看出 年降雨量近似服从正态分布 下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图 红线是拟合的正态密度曲线 可见 某大学大学生的身高应服从正态分布 人的身高高低不等 但中等身材的占大多数 特高和特矮的只是少数 而且较高和较矮的人数大致相近 这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点 除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外 在正常条件下各种产品的质量指标 如零件的尺寸 纤维的强度和张力 农作物的产量 小麦的穗长 株高 测量误差 射击目标的水平或垂直偏差 信号噪声等等 都服从或近似服从正态分布 IV 标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布 其密度函数和分布函数常用和表示 它的依据是下面的定理 标准正态分布的重要性在于 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 根据定理1 只要将标准正态分布的分布函数制成表 就可以解决一般正态分布的概率计算问题 定理1 书末附有标准正态分布函数数值表 有了它 可以解决一般正态分布的概率计算查表 V 正态分布表 表中给的是x 0时 x 的值 当 x 0时 若 N 0 1 若X N 0 1 由标准正态分布的查表计算可以求得 这说明 X的取值几乎全部集中在 3 3 区间内 超出这个范围的可能性仅占不到0 3 当X N 0 1 时 P X 1 2 1 1 0 6826 P X 2 2 2 1 0 9544 P X 3 2 3 1 0 9974 VI 3准则 将上述结论推广到一般的正态分布 时 这在统计学上称作 3准则 三倍标准差原则 例1 1 假设某地区成年男性的身高 单位 cm X N 170 7 692 求该地区成年男性的身高超过175cm的概率 解 1 根据假设X N 170 7 692 则 故事件 X 175 的概率为 P X 175 0 2578 解 2 设车门高度为hcm 按设计要求 P X h 0 01 或P X h 0 99 下面我们来求满足上式的最小的h 2 公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0 01以下来设计的 问车门高度应如何确定 因为X N 170 7 692 故P X h 0 99 查表得 2 33 0 9901 0 99 所以 2 33 即h 170 17 92188 设计车门高度为188厘米时 可使男子与车门碰头机会不超过0 01 若r v X的概率密度为 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 记作 X U a b 二 均匀分布 Uniform 注 X U a b 均匀分布常见于下列情形 如在数值计算中 由于四舍五入 小数点后某一位小数引入的误差 例如对小数点后第一位进行四舍五入时 那么一般认为误差服从 0 5 0 5 上的均匀分布 则称X服从参数为的指数分布 指数分布常用于可靠性统计研究中 如元件的寿命 三 指数分