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1 第2章数字信号的最佳接收 问题提出 以二元码为例 2 发送端 二元通信发送两种波形以表达两种信息 接收端 试图从受噪声干扰的波形中识别出发送信息 观察到r t 后 接收机该怎么做才是最佳的 最佳的含义 误码率最小信噪比最大 模拟通信 3 在数字通信系统中 信道的传输特性和传输过程中噪声的存在是影响通信性能的两个主要因素 本章将要讨论的最佳接收 就是研究在噪声干扰中如何有效地检测出信号 所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳 最佳标准也称最佳准则 因此 最佳接收是一个相对的概念 在某种准则下的最佳系统 在另外一种准则下就不一定是最佳的 在数字通信中 最常采用的最佳准则是输出信噪比最大准则和差错概率最小准则 4 贝叶斯接收机 数字信号接收的统计模型 MAP准则 MAP接收机 确知信号的相关接收机 MAP接收机的工程实现 匹配滤波器 二元确知信号最佳接收机的性能 最佳基带传输系统 主要内容 5 2 1数字信号接收的统计模型 在数字通信中 人们更关心判决输出的数据正确率 因此 使输出总误码率最小的最小差错概率准则 更适合于作为数字信号接收的准则 为了便于讨论最小差错概率最佳接收机 我们需首先建立数字信号接收的统计模型 6 2 2确知信号的最佳接收机 一 贝叶斯接收机 数字通信系统的任务是传输数字信号 数字信号负载着各种媒体所表达的信息 7 先验概率 aprioriprobability 事件未发生就预先知道的发生概率 接收机的主要功能是作出判决 唯一的依据只是接收信号 是一个随机过程 8 当某一已发出时 就具有条件概率密度函数 接收机的任务就在于 在内 观察按一定的方法 准则 判断究竟是哪一个包含在中 所有确知波形是事先约定的 接收端是已知的 或已存储于接收机中的 即判断哪一个被发送 并把对应的消息送给接收者 这一过程对应于统计数学中的 统计假设检验 问题 StatisticalHypothesisTest 9 这里选择的判决要达到的目标 错误概率极小化 称为这种最优化的 代价 cost 他体现了最优化所追求的目标 target 或者说体现了这种最优化的价值取向 不同的代价下 优化的结果是不同的 按以上命题的要求 可以在前面的数字通信系统 物理 模型基础上 建立接收过程的统计假设检验数学模型 令M 2 再推广到任意M 为噪声函数 假设 对应于信源发出 即包含在中假设 对应于信源发出 即包含在中 10 概率转换机构 主要指噪声的引入 使信源发出消息的先验分布转换为接收信号的条件密度函数 观察空间 接收信号的抽样空间 由所有对的抽样的可能值的全体构成的实数空间 11 12 实现代价的方法不是唯一的 不管采用哪一种方法 判决都不可能是绝对无误的 而绝不可能为0 判决可能出现的错误有两种 信源发出消息 却选取了成立 称为第 类错误或称 虚报 错误 falsealarm 信源发出消息 却选取了成立 称为 第 类错误 或 漏报 错误 falsedismiss 即发送为0 接收却判决为1的错误 即发送为1 接收却判决为0的错误 13 不同的应用 两类错误的重要性不同 在通信中是同等看待两类错误 两种消息具有同等重要性 总错误概率 平均错误概率Min假定在期间 消息被发出 但接收信号的观察取样r却落入子空间 从而产生第 类错误 这一事件发生的概率 同理 第 类错误产生的概率 14 不管信源发出哪一种消息 接收判决的平均错误概率 上式中 是先验概率为已知 在r已到达后是客观存在 可以获得的 上式取极小化的唯一办法就是适当划分抽样空间 15 代入表达式 并化简 得 从子空间 可以写出类似的表达式 上式中 为固定值 且直观地 所以上式取极小化的必要条件是 选择门限 划分观察空间S使 16 上式中 所有概率表示都只能 0 因此 只能有 17 或 如果信源发出的消息是先验等概 则使判决错误概率的必要条件就是 这就是说 要选择一种划分观察空间的 门限 方法 使接收取样一旦落入子空间就一定满足以上条件 那么 这时所作出的选取成立的判决结果就一定能达到平均判决错误概率 18 这一点 从图可以清楚看见 在内所有曲线都在曲线之下 反过来 能使的条件 就是判决时选取成立的条件 即 同时 从子空间S1出发 在积分过程中用S1置换S0可以得到选取H1成立的条件为 19 从代价出发 接收机作出判决的依据 准则 是 这实际上是通过比较条件分布的大小来作出判决 如果信源发出的消息并非先验等概 即 那么判决条件将变为 这时判决空间的划分就不是均匀的 不在中点 而是向先验概率小的一边移动 20 称为似然比 LikelihoodRatio 是讨论统计检测问题的一个重要参量 它表示了在接收到的中或出现的可能性的相对大小 或与或的相对接近程度 有时也采用对数的形式 以似然比作判决准则的接收机统称贝叶斯 Bayes 接收机 21 二 MAP准则 MAP接收机 MAP 最大后验概率 Maximumaposterioriprobability aposteriori 拉丁文后验的意思 先验概率 aprioriprobability 未获任何观察的情况下 预先知道的 发送s1 t 或s2 t 的概率 写成概率的形式为 22 利用概率论中的Bayes公式 代入Bayes判决准则 得 表示接收波形的观察取样已经得到时 信源实际发出的 包含在中 的条件概率值 它表示结果已知时 引起此结果的原因的统计状况 由结果去推测原因的概率 称为后验概率或逆概率 上述判决准则即为极大后验概率 MAP 准则 以此建立的接收机称为MAP接收机 它是目前所有各种数字通信中接收机建立的基础 MAP准则不保证判断结果一定正确 但保证 如果这样判断的话 判断正确的概率是最大的 也即误码率最小 23 推广到M进制 MAP接收机的结构图 24 三 MAP接收机的实现 确知信号的相关接收机 MAP判法的立足点 同时计算M个后验概率 立足于M种可能性的比较 直接计算后验概率是困难的 可以找到与后验概率对应 而又可以实际计算的当量作为比较的依据 接收端能得到的只是接收波形 接收机的一切行为只能立足于对的处理 其中为噪声函数 都是能量有限的实函数 能量信号 可以在由正交基函数构成的N维线性空间展开 1 最小距离判决准则 25 为均方收敛 正交基函数满足正交性 系数是在方向的投影 即方向的分量 正交展开的意义 当时 均方误差 MeanSquareError MSE 26 因为是随机过程 代表统计误差的统计平均值 误差的平均功率 这时 系数集合就唯一地在均方收敛意义下代表了这一过程 27 28 同理有 是AWGN平稳高斯过程 在作正交展开时 积分是线性运算 所以它的各个分量都是高斯随机变量 且有 均值 相关函数 显然有 29 的各个分量 可以看作 0 T 内各个取样值 的联合密度函数 的概率密度函数为 30 当已发出时 的统计特征与的统计特征一致 而不是与相同 定义 在MAP接收机中 就可以用对M个 的比较来代替对于 的比较 而且 是容易计算的 于是MAP判决准则变换为 假设先验等概 31 更简单地 两边取对数 单调函数 代表了在线性N维空间中与的欧氏距离 在解析几何中 2D平面上两点的距离为 32 于是 MAP准则进一步变换为 这一判决准则称为最小距离判决准则 及都是在 0 T 内能量有限的实波形 其欧氏距离可按下式计算 是确知波形 是发收端事先约定的 可以预先存储在接收机中 接收机结构如下 33 例 4相PSK的判决 只要落在阴影区内 的判决区域内 一定是最小的 软判决的概念 34 由上例可以看出 的距离越大 对噪声的容忍度越高 判决的可靠性也越高 但是单纯提高距离要增大发送功率是不可取的 需要优化星座结构 以上过程可以在DSP中通过预先编程来实现 以实现系统的日益软件化 35 2 最小均方误差判决准则 再进一步简化接收机的运算和结构 当一个过程用正交基表示时 有 36 在最小距离判决准则表达式中 对和都按上式代换 于是有 这一准则称为最小均方误差 MMSE 准则 它表示 在均方误差最小的意义下 选取与随机