弹力第章_薄板弯曲ppt课件.ppt

第13章薄板弯曲问题 13 1基本概念与基本假定 在弹性力学中 由两个平行面和垂直于它们的柱面或棱柱面所围成的物体称为平板 简称为板 如图13 1所示 两个平行的表面间垂直距离t称为板的板厚 而平分厚度t的平面称为板的中面 当板的厚度t远小于中面的最小尺寸b 如小于b 8至b 5 这个板称为 否则称为中厚板 薄板的小挠度弯曲理论 普遍采用以下三个基本假定 Kirchhoff假设 1 变形前垂直于中面的任一直线线段 变形后仍为直线 并垂直于变形后的弹性曲面 且长度不变 这就是Kirchhoff的直法线假设 2 垂直于板中面方向的应力分量 z zx zy较小 它们引起的形变可以略去不计 但它们本身却是维持平衡所必须的 不能不计 3 薄板发生弯曲变形时 中面内各点只有垂直位移w 而无x和y方向的位移 即没有面内位移 以上三项假定的核心是基尔霍夫直法线假设 如图13 1所示 作用在板上的荷载垂直于板面时 薄板发生弯曲变形 当薄板弯曲时 中面所弯成的曲面 称为弹性曲面 而中面内各点在垂直于中面方向的位移 称为挠度w 薄板弯曲问题采用位移法求解 基本思路是确定位移函数的形式 使其满足位移表示的平衡方程 然后再满足位移分量表示的应力边界条件即得问题解答 基于以上基本假设 可由空间问题的微分方程推导出薄板弯曲问题的基本方程 13 2薄板弯曲的基本方程 1 位移函数 根据直法线假设 1 并结合几何方程有 仍根据假设 1 薄板弯曲后 板的法线与弹性曲面在x方向和y方向的切线保持相互垂直 没有剪应变 即 由上式可知 上式对z积分 注意到w与z无关 得 根据假设 3 薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移 13 1 可见 薄板小挠度弯曲被简化为中面的弯曲问题 只要中面挠度w确定 任何点的位移都确定 几何方程与应变分量 薄板内不等于零的应变分量有如下三个 13 2 分别表示了薄板弹性曲面在x方向和y方向的曲率 3 本构关系与主要应力 由假设 2 即在本构关系中不考虑次要应力 即薄板弯曲问题的本构方程与平面应力问题的完全相同 13 3 4 平衡方程与次要应力 次要应力即 是平衡所必须的 且可根据平衡条件来确定 13 4 将式 13 3 代入上式得 上式对z进行积分 注意到如下边界条件 可得 其中 D称为板的抗弯刚度 其表达式为 13 5 13 6 最后 次要应力分量 Z 可根据z方向的平衡方程求得 将式 13 5 代入上式得 积分上式得 a 在薄板的下面 有边界条件 b 将式 a 代入式 b 求出 后再代入式 a 得 13 7 5 薄板的挠曲微分方程 在薄板的上边界有 c 将式 13 7 代入式 c 得 13 8a 即 13 8b 方程 13 8 称为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲微分方程 它是薄板弯曲问题的基本方程 从薄板中取出微元体进行平衡分析 同样可推导出该方程式 纵上所述 薄板弯曲问题归结为 在给定的薄板侧面的边界条件下求解挠曲微分方程 求得挠度w后 然后就可以按公式 13 3 13 5 和 13 7 求应力分量 13 3薄板横截面上的内力和边界条件 13 3 1薄板内力 在绝大多数的情况下 都很难使得应力分量在薄板的侧面边界上精确地满足应力边界条件 而只能应用圣维南原理 即由这些应力分量组成的内力整体地满足边界条件 因此 首先来考察这些应力分量和组成内力的关系 在x为常数的横截面上 在y为常数的横截面上 将式 13 3 和 13 5 代入式 13 9 13 10 得 13 11 13 9 13 10 13 12 将式 13 3 和 13 5 与 13 11 进行比较 可以得到用内力矩表示的薄板应力 在计算薄板的内力时 主要是计算弯矩和扭矩 横向剪力一般都无须计算 因此 一般工程手册中 只是给出弯矩和扭矩的计算公式或图表 而目前在钢筋混凝土楼板的设计中 大都按照双向的弯矩来配置双向钢筋 而不考虑扭矩的作用 13 3 2 边界条件 现以图13 3所示的矩形薄板为例 说明各种边界的边界条件 假定该板的OA边固定 OC边简支 AB边和BC边自由 1 固定边 几何边界条件 13 13 2 简支边 混合边界条件 沿着简支边OC 薄板的挠度等于零 如果有分布弯矩作用 则 注意到式 13 11 有 在整个边界上 故上式成为 如果外加弯矩 13 14b 3 自由边 静力边界条件 然而 根据微分方程理论 弹性曲面的四阶偏微分方程 在每条边界上只可能满足两个边界条件 Kirchhoff通过将扭矩和横向剪力合成为一个边界条件 使问题得到解决 如图13 4所示 边界上的扭矩可以变换为等效的横向剪力 与原来的横向剪力归并为一个条件 即 这样 自由边的边界条件为 注意到式 13 11 上式成为 此外 用等效剪力代替扭矩后 在两个自由边的交点B处将出现未抵消的集中剪力 即 13 16 注意 1 当自由边与简支边或固定边相邻时 集中力将被反力所吸收 不需要列条件 2 如果在B点有支座阻止挠度发生 则上述条件应改为 13 17 13 4薄板弯曲应用举例 13 4 1周边固定的椭圆板 设周边固定的椭圆板 图13 6 受均布荷载q作用 其边界方程为 试取挠度为 13 18 显然 上式满足挠度为零的边界条件 此外 在边界上 挠度的法线导数也应为零 现验证如下 在边界上有 在注意到 在边界上 将式 13 18 代入式 13 8 得 解得m并代入式 13 18 得 13 4 2矩形薄板的重三角级数解 设四边简支矩形薄板 图13 7 受横向荷载q作用 其边界条件为 13 19 Navier取挠度表达式为重三角级数 13 20 其中m和n是正整数 代入式 13 19 可见全部边界条件都能满足 因而问题归结为确定其中的系数Amn 为此 将式 13 20 代入挠曲微分方程 13 8 得 13 21 现将横向荷载展成重三角级数 13 22 为了求Cmn 将式 13 22 的两边都乘以 然后对x从0到a积分 并注意到 将上式中的任意正整数i j换写成m n 并从中解出Cmn代回式 13 22 得 代回式 12 21 比较系数得 当薄板受均布荷载时上式中的积分成为 13 23 于是由式 13 23 得到 或 代入式 13 22 即得挠度的表达式 13 24 由此可以用公式 13 11 求得内力的表达式 当薄板在任意一点受集中力P时 式 13 23 成为 代入式 13 21 即得挠度的表达式 13 25 以上所述的纳维叶解法 由于解答中的重三角级数收敛的较慢 这些缺点使得纳维叶解法在实用上受到很大的限制 13 5矩形薄板的单三角级数解 莱维解法 设图13 8所示矩形薄板具有两简支边x 0及x a 承受均布荷载 因此 所论问题归结为按上述边界条件求解薄板平衡微分方程 13 27 以下介绍一个基本的 广泛应用的分离变量法 即 莱维 L vy M 1899提出的单三角级数解 因此 剩下的问题是选择函数 将式 13 28 代入式 13 27 得 再将式 13 29 右边的展为的级数 得 13 29 13 28 与式 13 29 对比 可见有 13 30 这一常微分方程的解答可以写成 齐次解 特解 其中是任意一个特解 可按照式 12 30 右边积分以后的结果来选择 将上式代入式 13 28 即得挠度w的表达式 设图13 6中的矩形薄板是二边简支的 受有均布荷载 这时 微分方程 13 30 的右边成为 注意到挠度w应当是y的偶函数 因而有 应用边界条件 及 其中 或者得出 将求出的系数代入式 f 得挠度w的最后表达式 从而可以求出内力的表达式 最大挠度发生在薄板的中心 这个表达式中的级数收敛很快 对于正方型薄板 b a 利用本节所述的莱维解法 还可以得出四边简支的矩形板在受各种横向荷载时的解答 还可以得出这种薄板在某一边界上受分布弯矩或发生挠度 沉陷 时的解答 以及角点发生沉陷时的解答 解 1 平衡方程为 2 边界条件 a b 3 假定位移函数为 c 所设级数的每一项均应满足边界条件 x 0及x a处的边界条件自然满足 按照上节所述 Ym应取成下列形式 4 求系数 此时荷载为对称 故Ym一定是y的偶函数 因此 上式中的 由此考虑到边界条件 b 中的第2式 可得 其中Bm可根据边界条件 b 确定 在处 即 将M0也展成下列级数形式 d 5 将Bm代入式 d 得 在对称轴上y 0的挠度为 例13 2 试求图示13 10四边简支的方板的最大挠度 解 采用莱维解法 1 平衡微分方程 a 2 边界条件 b c 3 设微分方程的通解为 齐次解 d 解得