数学解题的“三化”与“四策”.ppt

数学解题的 三化 与 四策 几乎每一位高三教师都有个共同的无奈 复习后期每天除了考试与讲评 别无良策 似乎每一位高三学生有个相同的感受 做了那么多的习题试卷 会的早就会了 不会的还是不会 有学生高考后对老师直言不讳 做那么多的习题试卷 有用吗 的确 高考中的绝大多数题目如选择 填空及大部分解答题是不需要搞 题海战术 就能顺利解答的 而有些试题如把关题 即使是搞了 题海战术 也是无法奏效的 这不能不引起我们思考 数学需要解题 但我们该如何开心 快乐 有效地解题呢 特殊化 极限化 坐标化 数学选择填空题的巧解三策 为了提高作答速度 一般说来 解答选择题能够估算的地方 就不必精确计算 能够取特例或极端化处理的地方 就不必作一般性推演 能够借助直觉判断的地方 就不必追求推理过程 能够通过思考解决问题的地方 就不必运算 对填空题也是如此 因为填空题也不用说明理由 无须书写过程 具有选择题的某些特征 因而解选择题的一些策略也适合填空题 比如特例法 图解法等 这些策略 是对考试来说的 训练时应该兼而用之 特殊化 特殊化是重要的数学思想之一 它是通过选取特殊元素 依据问题在一般情况下真则在特殊情况下亦真 反之 在特殊情况下不真则在一般情况下亦不真的原理 肯定某一结论或否定其余结论的过程 特殊化思想在解决某些数学选择题与填空题上有重要的作用 可以帮助我们快捷地得到问题的答案 对于本题 不少同学联立直线方程 求出交点坐标 进而求出三角形三边长 再利用勾股定理得出a b c的关系式 进而求得离心率 一个选择填空题 需要如此 大动干戈 吗 有不少人说可观察出右式各项的系数和为1 这是合情推理中的归纳推理 其实 当角特殊化为0时 右式各项的系数和不就为1了吗 极限化 极限化思想是用无限逼近的方式从有限中认识无限 从近似中认识精确 从量变中认识质变的思想 有限与无限相比 有限显得具体 无限显得抽象 对有限的研究往往先于对无限的研究 反之 当积累了解决无限问题的经验之后 可以将有限问题转化成无限问题来解决 这种无限化有限 有限化无限的解决数学问题的方法就是极限化方法 本题直接求解难度很大 但若用极限思想将直线PAB极限化为切线 然后绕点P旋转 则PA慢慢变小 而AB慢慢变大 则必有某一时刻 使得PA AB 故选A 坐标化 坐标化思想是用代数方法研究几何问题的本质思想 对于给定的问题 若能巧妙运用坐标化思想 则能大大减少运算量 有效简化求解过程 本题求解可将平行四边形特殊化为边长为2的正方形 进而运用坐标化原则建系可轻松求解 2012年厦门市高三质检考理科14题 转换 猜想 控制 构造 数学压轴试题的破解 四策 对于数学高考解题 许多考生对常规问题的解答可谓潇洒自如 让人赏识有嘉 可一旦应对压轴题 则判若两人 或干脆到此 戛然而止 或抓不住解决问题的关键 浮游于问题之外 很少见到思路清晰 简洁明了 彰显考生功力和灵性的完整解答 至于新颖别致 颇具创意的方法更是风毛麟角 为何考生过不了压轴题这道坎呢 是否因为压轴题肩负着区分考生水平的重任 既考知识更考能力 难度上去了 自然多不作为吗 转换 解题需要套路 看到这道题 你的第一反应是什么 迅速生成常规方案 也即第一方案 为什么要有套路 因为80 的高考题是基本的 稳定的 考查运算的敏捷性 没有套路 就没有速度 比如 如何求函数的单调区间 证明函数的单调性 涉及参数问题时 把参数分离出来 转化为这个参数与一个式子的不等或者相等关系 数列问题 设法转化为基本数列 等差数列或等比数列 模型 解析几何问题 根据条件特征选择适当的算法 坐标 向量和运用几何性质推演 概率计算 把一事件转化为互斥事件的和或独立事件的积 合理选用基本模型和分布 等等 当实施第一方案 套路 遇到障碍时 我们的策略是什么 转换视角 生成第二方案 转换视角 转换到哪里 转换到知识丰富领域 也就是说把问题转换到我们最熟悉的领域 处理难题 从方法论的角度讲就是转换视角 常态方案不行 换一个方案行了 这种说法与思路不通 换一个说法通了 在一个领域内繁复的问题 换一个领域简单了 如若不是这样 靠什么考查能力 所谓试题的创新 本质上是视角的转换 我们的复习就是要用创新应对创新 用转换适应转换 在试题创新背后 一定存在着稳定的东西 无非是 1 将原问题推广或者把条件与结论互逆 2 将一个领域中的问题移植到另一个领域 3 改变设问方式 4 设置预备定理 临时定义或者借助图象 使 超纲 问题合法化 等等 命题者通过这样的手续 使套路得以规避 使难题得以生成 备考者呢 就得沿着命题者的思路回到原点 即实现视角的转换 用转换适应转换 简单源于转换 视角的转换 可见 有时候题目的难 在于我们视角的狭窄 应把单一的视角作一个宽泛的转换 道路会越走越宽阔 本题是典型的 能力立意 题 它反映了多思少算的命题特点 如果不注重思考 它会很难 如果注重思考 它会变得很简单 本题的得分率很低 这不能不引起我们的思考 我们该如何洞察繁难表象后的简单思路呢 上述思路虽然直接 却难以进行 原因何在 运算繁杂无法进行 其实 本题最难的地方在于点M坐标的计算 只要我们善于转化 就不难选择出合理的运算路径 从而将困扰我们的问题避开 简单源于转换 视角的转换 可见 有时候题目的难 在于我们不懂得如何规避难点 避难就易 我们会走得很轻松 追溯一下以上的探究历程 不难明白问题得以解决的关键之所在 通过 转换 命题 进而 猜想 获得了a的值 而后证明 猜想 对一个真正的问题 我们可以说结果是算出来的 是证出来的 因为算和证是终结性的表达 是必须履行的手续 但履行手续前是需要实质性工作的 这个实质性的工作就是猜想 有了猜想 我们才得以将问题继续 否则 我们做什么 在本题第 问的求解中 求 实数a b的值 是基本点 属于基本知识 但要用到导数知识来求实数a b的值 因而构成交汇点 对于第 问的 ii 我们发现 沿着这个思路 是不能继续下去的 怎么办 这就需要对问题作转化 转化为探索函数是否存在对称中心 如果存在 它即为题设中的点Q 而要探索函数是否存在对称中心 又必须借助合情推理 需要猜想 如何进行猜想呢 这里至少有三条途径 猜想三 猜想出对称中心 证明就是简单的事了 从这里 我们可以看出问题得以解决的关键之所在 通过猜想获得了对称中心 然后转换了命题 这是2010年新课标全国卷理科压轴题 试题的第 问难住了众多学生 而高考标答同样也让人费解 这样的解答是如何想到的呢 第 问 一定要这么解吗 有没有其他的解法 若有 高考标准答案为什么又不给出呢 第 I 问很常规 这里猜测是关键 因为猜想出a的值 我们才有了前进的方向 没有猜想 我们做什么 因为猜想 我们有了前进的方向 没有猜想 我们做什么 先猜想 后证明 这是数学发现的基本思路 也是最见数学功力 最能体现能力立意的地方 这里关键是猜测 为什么说猜测是关键呢 因为一旦猜测了某种结果 我们就有了方向 由条件到结论的方向 对一个真正的问题 我们可以说结果是算出来的 是证出来的 因为算和证是终结性的表达 是必须履行的手续 但履行手续前是需要实质性工作的 这个实质性的工作就是猜测 因为演绎推理能力是验证结果的能力 而直观能力 合情推理能力是预测结果的能力 没有预测 我们验证什么 控制 对于给定的数学问题 如何用已有的知识与方法去加以控制 使得解题朝着我们可预测的方向发展 是我们突破高考难题的关键所在 在这里 控制已知数列的那个数列