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第3章离散傅里叶变换 3 1离散傅里叶级数 DFS 3 2离散傅里叶变换 DFT 3 3离散傅里叶变换的性质及定理3 4频域抽样理论3 5DFT的应用 3 1离散傅立叶级数 3 1 1周期序列的离散傅立叶级数 式中 为整数 因此 令 并将上式代入 得 一般记 周期序列离散傅立叶级数对 正变换 反变换 1 线性性质对于两个周期序列和若则对任意常数数 有 3 1 2DFS的主要性质与定理 2 时域周期移位性质对于周期序列 若则 证明 3 频域移位 调制 特性 4 周期卷积定理 时域周期卷积定义设和具有相同的周期N 则称为周期序列和的周期卷积 这里之所以称为周期卷积 是为了区别于第 章中的线性卷积 这里的 都是变量的周期序列 二者乘积也是周期为的序列 求和运算只在一个周期内进行 所得结果序列也是以为周期的周期序列 周期卷积满足交换率 e 继续移位 相乘 求和 直到得到一个周期的 再周期延拓得到周期序列 如图3 1 2 f 所示 时域周期卷积定理 该定理表明 两周期序列周期卷积的DFS为各自DFS的乘积 证明由DFS定义 得 频域周期卷积定理 3 1 3周期序列的傅立叶变换 根据序列傅里叶逆变换定义 得 观察图3 1 3 在 区间内 仅包括一个单位冲激函数 因此得到接下来讨论一般周期序列的傅里叶表达式 对于一般周期序列 可以按式第次谐波为 类似于复数序列的傅里叶变换 其傅里叶变换为 因此的傅里叶变换表达式为式中 0 1 2 N 1 为整数 课本表3 1 1中综合了一些基本序列的傅里叶变换 3 2 1Fourier变换的几种可能形式 连续时间 连续频率 傅里叶变换 连续时间 离散频率 傅里叶级数 离散时间 连续频率 序列的傅里叶变换 离散时间 离散频率 离散傅里叶变换 3 2离散傅立叶变换 1 非周期连续时间信号的傅里叶变换 FT 时域连续 频域连续 时域连续函数造成频域是非周期的谱 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数 2 周期连续时间信号的傅里叶级数 FS 时域连续 频域离散 时域连续函数造成频域是非周期的谱 而频域的离散对应时域是周期函数 3 非周期离散时间信号 序列 的傅里叶变 DTFT 时域离散 频域连续 时域的离散化造成频域的周期延拓 而时域的非周期对应于频域的连续 序列的傅里叶变换正变换反变换 4 周期离散时间信号的傅里叶级数 DFS 时域离散 频域离散 一个域的离散造成另一个域的周期延拓 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的 四种傅里叶变换形式的归纳 3 2 2离散傅立叶变换的定义 我们知道 数字计算机处理的数据是离散的 而且是有限长的 因此 为了在计算机上对信号进行频谱分析及其他方面的处理 就要求所处理的信号在时域和频域都应是离散的且是有限长的 在上面讨论过的四种形式的傅里叶变换中 只有周期离散时间信号的傅里叶级数 DFS 在两个分析域中都是离散的 但并不是有限长的 但由于DFS在两个分析域中都是周期的 即只有个独立的序列值 所以只要知道它的一个周期的信息 其他周期的信息也就可以知道了 有限长序列的离散傅里叶变换对 式 3 2 9 称为离散傅里叶变换 DiscreteFourierTransform DFT 式 3 2 10 称为离散傅里叶反变换 InverseDiscreteFourierTransform IDFT 式中 分别是周期序列 的一个周期 DFT对应的是一种在时域和频域都是离散且都是有限长的一种变换 在实际应用中 我们需要处理的信号常常是非周期序列 它们可能是有限长的 也可能是无限长的 对于无限长序列 在计算机上求其DFT时 往往采用如下处理方法 采用矩形窗将其截断 得到一个长度为点的有限长序列 然后再进行DFT运算处理 式中是矩形序列 表示以为周期的周期序列 在定义了DFT后 对任一有限长序列 都可以按式 3 2 9 方便地在计算机上求其频谱 需要注意的是 不管本身是否来自周期序列 都应把它看作某一个周期序列的一个周期 DFT可以看作是连续函数在时域 频域抽样构成的变换 都是长度为的序列 而且都有个独立复值 给它们乘以相应的内插函数后 复原的连续函数也就完全决定了 因而DFT可以看作是连续傅里叶变换的近似 这样对连续函数的处理就可以代之以离散抽样处理 3 2 3DFT与Z变换以及DTFT之间的关系 若是长度为的有限长序列 则其变换的收敛域为整个平面 可能不包含与 自然也包括单位圆 若对单位圆进行等分 即在单位圆上等间隔取个点 如图3 2 5 a 所示 等分后的第个点的变换值为 可见 的DFT是其变换在单位圆上的个等间隔抽样值 总之 对变换在单位圆上等间隔抽样或对等间隔抽样就可得到DFT 3 3离散傅里叶变换的性质及定理 图3 3 1循环移位示意图 1 时域移位性质 若有限长序列的DFT为 的DFT为 且为循环移位点后得到的序列 即则有 2 频域移位性质 调制性质 例已知 求序列的DFT 解依据频域移位性质 得 3 反转性质 若 则反转序列的DFT为 证明由定义得 4 序列的累加 长度为的序列各抽样值的总和等于其离散傅里叶变换在处的值 即 5 序列的初始值 长度为的序列的初始值等于其离散傅里叶变换各抽样值的总和再除以 即 6 共轭对称性质 由于 是长度为的有限长序列 所以DFT的对称性是指在主值区间范围内的对称 即关于点的对称 则可以表示成共轭对称分量与共轭反对称分量之和 即 2 有限长序列的周期共轭对称分量与周期共轭反对称分量 DFT的一些对称性质 对称性质1 证明 对称性质2 若 则 对称性质3 若 则 可见 复数序列实部的DFT等于该序列DFT的周期共轭对称分量 对称性质4 若 则 可见 复数序列虚部的DFT等于该序列的DFT的周期共轭反对称分量 对称性质5 对称性质6 对称性质7 1 2 说明的实部是偶对称的 而其虚部是奇对称的 3 表明实部是奇对称的 而其虚部是偶对称的 对称性质8虚 实序列的对称特性 7 循环卷积定理 当时 所以上式又可写为 循环卷积的计算过程与周期卷积类似 即反转 循环 移位 乘积 累加 1 时域卷积定理 该定理表明 两个等长序列循环卷积的离散傅里叶变换等于这两个序列的离散傅里叶变换的乘积 与线性卷积类似 时域中的圆周卷积运算等效于频域中的乘积运算 2 频域卷积定理 该定理表明 两个等长序列乘积的离散傅里叶变换等于这两个序列的离散傅里叶变换的循环卷积 两个序列相乘也可理解为用一个序列去调制另一序列的幅度 因此两个序列相乘也称为幅度调制 所以频域卷积定理也称为调制定理 8 循环相关 圆周相关 定理 循环相关定理若则 9 帕塞瓦尔 Parseval 定理 令 信号在时域中的能量与在频域中的能量是守恒的 3 4频域抽样理论 3 4 1由不失真地恢复的条件 1由频域抽样恢复序列 以为周期延拓得到的周期序列 由DFT与DFS的关系可知 是的傅里叶级数的主值区间 即则 是原以为周期的周期延拓序列 如图所示 是的主值序列 即 2频域抽样不失真的条件 当频域的抽样点数大于等于原序列的长度时 周期序列才不会产生时域混叠 也即才能由频域抽样不失真地恢复出原序列 此时有这就是频域抽样定理 3 4 2由表示 1 由表示及内插公式 即由恢复的内插公式 其中称为内插函数 内插函数仅在本抽样点处不为零 其他个抽样点处均为零 2 由表示及内插公式 令 得由恢复的内插公式为 图3 4 3示出了时 的频率特性 在各抽样点处 的值等于本抽样点处的值 而抽样点之间的值则由各抽样值乘以相应的内插函数延伸叠加而成 3 5DFT的应用 3 5 1用DFT计算线性卷积 将其代入中 得 由于线性卷积的长度是 所以只有当时 以为周期进行周期延拓时才不会发生混叠 周期序列的主值序列才等于 即点循环卷积能代替线性卷积的条件是 用循环卷积计算线性卷积的过程如图3 5 1所示 3 5 2DFT对非周期连续时间信号的傅里叶变换 FT 的逼近 1 DFT对FT的逼近 非周期连续时间信号的FT为非周期连续性的频谱函数 我们可以进行相应的时域 频域抽样 从而可以利用DFT对频谱进行分析 非周期连续时间信号的傅里叶变换对为 1 时域抽样 对作零阶近似 有 2 频域抽样 在一个周期内 等间隔抽样点 抽样间隔为 从而实现频域离散化 频域抽样后 2 DFT对FT的分析是一种近似分析 由傅里叶变换性质可知 若 则 这表明 若沿时间轴压缩 扩展 了倍 其频谱将在沿频率轴扩展 压缩 倍 也就是说 信号的时宽与其频域的带宽不能同时缩小或扩大 二者也不能同时为有限值 这样时间有限 频带有限的信号是不存在的 即若信号的时间长度是无限的 则其带宽必然是有限的 反之亦然 3 5 3与DFT应用有关的几个问题 1 频率分辨率与DFT参数选择 频率分辨率 是信号处理中的一个基本概念 形象地说 频率分辨率是通过一个频域的窗函数来观察频谱时所看到的频率宽度 显然 这样的窗函数越窄 相应的分辨率就越好 频率分辨率是指所用的算法能将信号中两个靠得很近的谱峰分开的能力 若用点DFT进行频谱分析的话 的两条谱线之间的间隔为这是数字频率分辨率的一种度量 为了提高频率分辨率 较小的 必须增大DFT的点数 信号的最小记录长度 在与两个参数中 要保持其中一个不变而增加另一个的唯一办法是增加记录长度中的点数 则 解 1 依据分辨率确定最短记录长度为 2 依据信号的最高频率来确定抽样点之间的最大间隔为 3 记录的最少点数为 所以选点数为 2 频谱泄漏 减小泄漏方法 1 取更长的数据 也就是使窗的宽度加宽 2 不要使数据突然截断 即不要使用矩形窗 而是要缓慢截断 使用其他缓变的窗函数 如汉明