高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数i2_6对数与对数函数课件

2 6对数与对数函数 基础知识自主学习 课时训练 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 对数的概念一般地 如果ax N a 0 且a 1 那么数x叫做以a为底N的对数 记作 其中叫做对数的底数 叫做真数 2 对数的性质与运算法则 1 对数的运算法则如果a 0 且a 1 M 0 N 0 那么 loga MN loga logaMn n R 知识梳理 x logaN a N logaM logaN logaM logaN nlogaM 2 对数的性质 logaaN a 0 且a 1 3 对数的换底公式 N N 3 对数函数的图象与性质 0 1 0 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 增函数 减函数 4 反函数指数函数y ax与对数函数 互为反函数 它们的图象关于直线对称 y logax y x R 1 换底公式的两个重要结论 其中a 0且a 1 b 0且b 1 m n R 2 对数函数的图象与底数大小的比较如图 作直线y 1 则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数 故0 c d 1 a b 由此我们可得到以下规律 在第一象限内从左到右底数逐渐增大 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若MN 0 则loga MN logaM logaN 2 logax logay loga x y 3 函数y log2x及y log3x都是对数函数 4 对数函数y logax a 0且a 1 在 0 上是增函数 考点自测 1 2016 杭州高三教学质量检测 设函数f x lnx e为自然对数的底数 满足f a f b a b 则A ab eeB ab eC ab D ab 1 lna lnb 且a b lna lnb ab 1 答案 解析 由函数f x lg x 1 的定义域为 1 1 值域为R 又当x 1时 函数单调递增 所以只有选项B正确 答案 解析 2 函数f x lg x 1 的大致图象是 答案 解析 3 已知a b c 则A a b cB b a cC a c bD c a b 由于y 5x为增函数 即 故a c b 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一对数的运算 例1 1 已知loga2 m loga3 n 则a2m n loga2 m loga3 n am 2 an 3 a2m n am 2 an 22 3 12 答案 解析 12 1 答案 解析 对数运算的一般思路 1 拆 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后利用对数运算性质化简合并 2 合 将对数式化为同底数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算性质 转化为同底对数真数的积 商 幂的运算 思维升华 跟踪训练1 答案 解析 答案 解析 1 题型二对数函数的图象及应用 例2 1 已知函数y loga x c a c为常数 其中a 0 且a 1 的图象如图 则下列结论成立的是A a 1 c 1B a 1 01D 0 a 1 0 c 1 由该函数的图象通过第一 二 四象限知该函数为减函数 0 a 1 图象与x轴的交点在区间 0 1 之间 该函数的图象是由函数y logax的图象向左平移不到1个单位后得到的 0 c 1 答案 解析 构造函数f x 4x和g x logax 当a 1时不满足条件 当0 a 1时 答案 解析 1 对一些可通过平移 对称变换作出其图象的对数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时 常利用数形结合思想求解 2 一些对数型方程 不等式问题常转化为相应的函数图象问题 利用数形结合法求解 思维升华 跟踪训练2 1 若函数y logax a 0 且a 1 的图象如图所示 则下列函数图象正确的是 答案 解析 由题意y logax a 0 且a 1 的图象过 3 1 点 可解得a 3 选项B中 y x3 由幂函数图象性质可知正确 选项C中 y x 3 x3 显然与所画图象不符 选项D中 y log3 x 的图象与y log3x的图象关于y轴对称 显然不符 故选B 2 已知函数f x 若a b c互不相等 且f a f b f c 则abc的取值范围是A 1 10 B 5 6 C 10 12 D 20 24 答案 解析 方法一不妨设a b c 取特例 从而abc 11 故选C 方法二作出f x 的大致图象 图略 由图象知 要使f a f b f c lga lgb 0 ab 1 abc c 由图知10 c 12 abc 10 12 题型三对数函数的性质及应用 命题点1比较对数值的大小 例3 2015 天津 已知定义在R上的函数f x 2 x m 1 m为实数 为偶函数 记a f log0 53 b f log25 c f 2m 则a b c的大小关系为A a b cB a c bC c a bD c b a 答案 解析 由f x 2 x m 1是偶函数可知m 0 所以f x 2 x 1 所以a b 4 c f 0 2 0 1 0 所以c a b 命题点2解对数不等式 当a 1时 函数y logax在定义域内为增函数 当0 a 1时 函数y logax在定义域内是减函数 答案 解析 答案 解析 命题点3和对数函数有关的复合函数例5已知函数f x log4 ax2 2x 3 1 若f 1 1 求f x 的单调区间 解答 因为f 1 1 所以log4 a 5 1 因此a 5 4 a 1 这时f x log4 x2 2x 3 由 x2 2x 3 0 得 1 x 3 函数f x 的定义域为 1 3 令g x x2 2x 3 则g x 在 1 1 上递增 在 1 3 上递减 又y log4x在 0 上递增 所以f x 的单调递增区间是 1 1 单调递减区间是 1 3 2 是否存在实数a 使f x 的最小值为0 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 解答 假设存在实数a 使f x 的最小值为0 则h x ax2 2x 3应有最小值1 1 对数值大小比较的主要方法 化同底数后利用函数的单调性 化同真数后利用图象比较 借用中间量 0或1等 进行估值比较 2 解决与对数函数有关的复合函数问题 首先要确定函数的定义域 根据 同增异减 原则判断函数的单调性 利用函数的最值解决恒成立问题 思维升华 跟踪训练3 1 设函数f x 则满足f x 2的x的取值范围是A 1 2 B 0 2 C 1 D 0 当x 1时 21 x 2 解得x 0 所以0 x 1 当x 1时 1 log2x 2 答案 解析 2 2016 温州一模 已知f x ln x a 若对任意的m R 均存在x0 0使得f x0 m 则实数a的取值范围是 由题意知 函数f x 的值域为R 答案 解析 实数a的取值范围是 4 4 比较大小问题是每年高考的必考内容之一 1 比较指数式和对数式的大小 可以利用函数的单调性 引入中间量 有时也可用数形结合的方法 2 解题时要根据实际情况来构造相应的函数 利用函数单调性进行比较 如果指数相同 而底数不同则构造幂函数 若底数相同而指数不同则构造指数函数 若引入中间量 一般选0或1 比较指数式 对数式的大小 高频小考点2 考点分析 典例 1 2016 全国乙卷 若a b 0 0cb 答案 解析 0b 0 所以lga lgb 但不能确定lga lgb的正负 所以它们的大小不能确定 所以A错 对C 由y xc在第一象限内是增函数 即可得到ac bc 所以C错 对D 由y cx在R上为减函数 得ca cb 所以D错 故选B 2 2017 河南八市质检 若a 20 3 b log 3 c log4cos100 则A b c aB b a cC a b cD c a b 答案 解析 因为20 3 20 1 0 log 1b c 故选C 3 若实数a b c满足loga2 logb2 logc2 则下列关系中不可能成立的是A a b cB b a cC c b aD a c b 答案 解析 由loga2 logb2 logc2的大小关系 可知a b c有如下四种可能 1 c b a 0 a 1 c b 0 b a 1 c 0 c b a 1 对照选项可知A中关系不可能成立 课时训练 1 函数y 的定义域是A 1 B 1 C 1 1 1 D 1 1 1 答案 解析 得x 1且x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 设a log37 b 21 1 c 0 83 1 则A b a cB c a bC c b aD a c b a log37 12 c 0 83 1 0 c 1 即c a b 故选B 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 函数y 2log4 1 x 的图象大致是 答案 解析 函数y 2log4 1 x 的定义域为 1 排除A B 又函数y 2log4 1 x 在定义域内单调递减 排除D 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 绍兴模拟 已知函数f x 则f 2018 等于A 2019B 2018C 2017D 2016 由已知f 2018 f 2017 1 f 2016 2 f 2015 3 f 1 2017 log2 5 1 2017 2019 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2017 杭州第二次质检 若直线x m m 1 与函数f x logax g x logbx的图象及x轴分别交于A B C三点 若AB 2BC 则A b a2或a b2B a b 1或a b3C a b 1或b a3D a b3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当a 1 b时 则A m logam B m logbm C m 0 由AB 2BC 得 logam logbm 2 logbm 即logam logbm 2logbm 所以logam logbm 当b a 1时 由AB 2BC 得 logam logbm 2 logbm 即logam logbm 2logbm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以b a3 所以a b 1或b a3 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 M 1 f x 0 所以a 1 所以函数y logaM为增函数 所以函数f x 的单调递增区间为 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 所以loga 1 a 0 即1 a 1 解得a 0 此时无解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 f 2 log22 1 f f 2 f 1 2 当x 0时 由2x 2 得x 1 当x 0时 由log2 x 2 得 x 4 x 4 实数x的取值范围是 4 1 2 4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 设f x loga 1 x loga 3 x a 0 且a 1 且f 1 2 1 求a的值及f x 的定义域 f 1 2 loga4 2 a 0 且a 1 a 2 解答 函数f x 的定义域为 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 f x log2 1 x log2 3 x log2 1 x 3 x log2 x 1 2 4 当x 1 1 时 f x 是增函数 当x 1 3 时 f x 是减函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又 x 2 8 a 0 1 f x 是关于logax的二次函数 函数f x 的最大值必在x 2或x 8时取得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 此时f x 取得最小值时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 2016 杭州二中模拟 已知函数 1 求f x 的定义域 解得 1 x 1且x 0 函数定义域为 x 1 x 0或0 x 1 解答 1 2 3 4