高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1_2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理 苏教版

1 2命题及其关系 充分条件与必要条件 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 四种命题及相互关系 知识梳理 若q则p 若非p则非q 若非q则非p 2 四种命题的真假关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 2 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性没有关系 3 充分条件与必要条件 1 如果p q 则p是q的条件 同时q是p的条件 2 如果p q 且q p 则p是q的条件 3 如果p q 且q p 则p是q的条件 4 如果q p 且p q 则p是q的条件 5 如果p q 且q p 则p是q的既不充分又不必要条件 相同 充分 必要 充分不必要 充要 必要不充分 从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现 q以集合B的形式出现 即A x p x B x q x 则关于充分条件 必要条件又可以叙述为 1 若A B 则p是q的充分条件 2 若A B 则p是q的必要条件 3 若A B 则p是q的充要条件 4 若A B 则p是q的充分不必要条件 5 若A B 则p是q的必要不充分条件 6 若AB且A B 则p是q的既不充分又不必要条件 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 x2 2x 3 0 是命题 2 命题 若p 则q 的否命题是 若p 则綈q 3 若一个命题是真命题 则其逆否命题也是真命题 4 当q是p的必要条件时 p是q的充分条件 5 当p是q的充要条件时 也可说成q成立当且仅当p成立 6 若p是q的充分不必要条件 则綈p是綈q的必要不充分条件 考点自测 1 下列命题中为真命题的是 填序号 命题 若x y 则x y 的逆命题 命题 若x 1 则x2 1 的否命题 命题 若x 1 则x2 x 2 0 的否命题 命题 若x2 0 则x 1 的逆否命题 对于 其逆命题是若x y 则x y 是真命题 这是因为x y y 必有x y 答案 解析 2 教材改编 命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系 得命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是 若x y 则x2 y2 答案 解析 若x y 则x2 y2 3 教材改编 给出下列命题 命题 若b2 4acb 0 则 0 的逆否命题 命题 若m 1 则不等式mx2 2 m 1 x m 3 0的解集为R 的逆命题 其中真命题的序号为 答案 解析 命题 若b2 4acb 0 则 0 为真命题 由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题 原命题的逆命题为 若不等式mx2 2 m 1 x m 3 0的解集为R 则m 1 不妨取m 2验证 当m 2时 有2x2 6x 1 0 6 2 4 2 1 0 其解集不为R 故为假命题 4 2016 北京改编 设a b是向量 则 a b 是 a b a b 的 条件 若 a b 成立 则以a b为邻边构成的四边形为菱形 a b a b表示该菱形的对角线 而菱形的对角线不一定相等 所以 a b a b 不一定成立 反之 若 a b a b 成立 则以a b为邻边构成的四边形为矩形 而矩形的邻边不一定相等 所以 a b 不一定成立 所以 a b 是 a b a b 的既不充分又不必要条件 答案 解析 既不充分又不必要 5 在下列三个结论中 正确的是 写出所有正确结论的序号 若A是B的必要不充分条件 则綈B也是綈A的必要不充分条件 是 一元二次不等式ax2 bx c 0的解集为R 的充要条件 x 1 是 x2 1 的充分不必要条件 易知 正确 对于 若x 1 则x2 1 充分性不成立 故 错误 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一命题及其关系例1 2016 扬州模拟 下列命题 若a21 则ax2 2ax a 3 0的解集为R 的逆否命题 若x x 0 为有理数 则x为无理数 的逆否命题 其中正确的命题是 填序号 答案 解析 对于 否命题为 若a2 b2 则a b 为假命题 对于 逆命题为 面积相等的三角形是全等三角形 为假命题 对于 当a 1时 12a 0 原命题正确 从而其逆否命题正确 故 正确 对于 原命题正确 从而其逆否命题正确 故 正确 1 写一个命题的其他三种命题时 需注意 对于不是 若p 则q 形式的命题 需先改写 若命题有大前提 写其他三种命题时需保留大前提 2 判断一个命题为真命题 要给出推理证明 判断一个命题是假命题 只需举出反例 3 根据 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 这一性质 当一个命题直接判断不易进行时 可转化为判断其等价命题的真假 思维升华 跟踪训练1 1 命题 若x 0 则x2 0 的否命题是 答案 若x 0 则x2 0 2 2016 徐州模拟 已知a b c R 命题 若a b c 3 则a2 b2 c2 3 的否命题是 由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论 因此原命题的否命题为 若a b c 3 则a2 b2 c2 3 答案 解析 若a b c 3 则a2 b2 c2 3 题型二充分必要条件的判定例2 1 2016 江苏南京学情调研 已知直线l m 平面 m 则 l m 是 l 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 或 既不充分又不必要 根据直线与平面垂直的定义 若直线与平面内的任意一条直线都垂直 则称这条直线与这个平面垂直 现在是直线与平面内给定的一条直线垂直 而不是任意一条 故由 l m 推不出 l 但是由定义知 l 可推出 l m 故填必要不充分 答案 解析 必要不充分 2 2016 泰州模拟 给出下列三个命题 a b 是 3a 3b 的充分不必要条件 是 cos cos 的必要不充分条件 a 0 是 函数f x x3 ax2 x R 为奇函数 的充要条件 其中正确命题的序号为 答案 解析 因为函数y 3x在R上为增函数 所以 a b 是 3a 3b 的充要条件 故 错 由余弦函数的性质可知 是 cos cos 的既不充分又不必要条件 故 错 当a 0时 f x x3是奇函数 当f x 是奇函数时 由f 1 f 1 得a 0 所以 正确 充分条件 必要条件的三种判定方法 1 定义法 根据p q q p进行判断 适用于定义 定理判断性问题 2 集合法 根据p q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题 3 等价转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性 把判断的命题转化为其逆否命题进行判断 适用于条件和结论带有否定性词语的命题 思维升华 答案 解析 跟踪训练2 1 函数f x a x 0 则 f 1 1 是 函数f x 为奇函数 的 条件 用 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要 填写 则f x f x 0 充要 2 2017 镇江质检 已知p 关于x的不等式x2 2ax a 0有解 q a 0或a 1 则p是q的 条件 用 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要 填写 关于x的不等式x2 2ax a 0有解 则4a2 4a 0 a 1或a 0 从而q p 反之不成立 故p是q的必要不充分条件 答案 解析 必要不充分 题型三充分必要条件的应用例3已知P x x2 8x 20 0 非空集合S x 1 m x 1 m 若x P是x S的必要条件 求m的取值范围 由x2 8x 20 0 得 2 x 10 由x P是x S的必要条件 知S P 当0 m 3时 x P是x S的必要条件 即所求m的取值范围是 0 3 P x 2 x 10 解答 引申探究1 若本例条件不变 问是否存在实数m 使x P是x S的充要条件 若x P是x S的充要条件 则P S 方程组无解 即不存在实数m 使x P是x S的充要条件 解答 2 本例条件不变 若x 綈P是x 綈S的必要不充分条件 求实数m的取值范围 由例题知P x 2 x 10 綈P是綈S的必要不充分条件 P S且S P 2 10 1 m 1 m m 9 即m的取值范围是 9 解答 充分条件 必要条件的应用 一般表现在参数问题的求解上 解题时需注意 1 把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 或不等式组 求解 2 要注意区间端点值的检验 思维升华 跟踪训练3 1 2016 盐城期中 设集合A x x2 2x 3 0 集合B x x a 1 1 若a 3 求A B 解不等式x2 2x 3 0 得 3 x 1 故A 3 1 当a 3时 由 x 3 1 得 4 x 2 故B 4 2 所以A B 4 1 解答 2 设p x A q x B 若p是q成立的必要不充分条件 求实数a的取值范围 因为p是q成立的必要不充分条件 所以集合B是集合A的真子集 又集合A 3 1 B a 1 a 1 即实数a的取值范围是0 a 2 解答 解得0 a 2 典例 1 已知p q是两个命题 那么 p q是真命题 是 綈p是假命题 的 条件 2 已知条件p x2 2x 3 0 条件q x a 且綈q的一个充分不必要条件是綈p 则a的取值范围是 等价转化思想在充要条件中的应用 思想与方法系列1 答案 解析 思想方法指导 等价转化是将一些复杂的 生疏的问题转化成简单的 熟悉的问题 在解题中经常用到 本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化 充分不必要 1 1 因为 p q是真命题 等价于 p q都为真命题 且 綈p是假命题 等价于 p是真命题 所以 p q是真命题 是 綈p是假命题 的充分不必要条件 2 由x2 2x 3 0 得x1 由綈q的一个充分不必要条件是綈p 可知綈p是綈q的充分不必要条件 等价于q是p的充分不必要条件 所以 x x a x x1 所以a 1 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 下列命题中的真命题为 填序号 若 则x y 若x2 1 则x 1 若x y 则 若x y 则x2 y2 答案 2 教材改编 命题 若a b 则2a 2b 1 的否命题为 a b 的否定是 a b 2a 2b 1 的否定是 2a 2b 1 原命题的否命题是 若a b 则2a 2b 1 答案 解析 若a b 则2a 2b 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 2016 南京模拟 给出命题 若函数y f x 是幂函数 则函数y f x 的图象不过第四象限 在它的逆命题 否命题 逆否命题3个命题中 真命题的个数是 原命题是真命题 故它的逆否命题是真命题 它的逆命题为 若函数y f x 的图象不过第四象限 则函数y f x 是幂函数 显然逆命题为假命题 故原命题的否命题也为假命题 因此在它的逆命题 否命题 逆否命题3个命题中真命题只有1个 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 2015 重庆改编 x 1 是 x 2 0 的 条件 由x 1 x 2 3 x 2 0 x 2 0 x 2 1 x 1 故 x 1 是 x 2 0 的充分不必要条件 答案 解析 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 2016 山东改编 已知直线a b分别在两个不同的平面 内 则 直线a和直线b相交 是 平面 和平面 相交 的 条件 若直线a和直线b相交 则平面 和平面 相交 若平面 和平面 相交 那么直线a和直线b可能平行或异面或相交 答案 解析 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 已知集合A x R 2x 8 B x R 1 x m 1 若x B成立的一个充分不必要条件是x A 则实数m的取值范围是 A x R 3 即m 2 答案 解析 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 设U为全集 A B是集合 则 存在集合C使得A C B UC 是 A B 的 条件 由Venn图易知充分性成立 反之 A B 时 由Venn图 如图 可知 存在A C 同时满足A C B UC 故 存在集合C使得A C B UC 是 A B 的充要条件 答案 解析 充要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 p是q的必要条件 但不是q的充分条件 p是q的充分条件 但不是q的必要条件 p是q的充分必要条件 p既不是q的充分条件 也不是q的必要条件 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若p成立 设a1 a2 an的公比为q 故q成立 故p是q的充分条件 取a1 a2 an 0 则q成立 而p不成立 故p不是q的必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 2016 无锡模拟 设a b R 则 a b 是 a a b b 的 条件 所以f x 是R上的增函数 所以 a b 是 a a b b 的充要条件 答案 解析 充要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 有三个命题 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题 若a b 则a2 b2 的逆否命题 若x 3 则x2 x 6 0 的否命题 其中真命题的序号为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 命题 为 若x y互为相反数 则x y 0 是真命题 因为命题 若a b 则a2 b2 是假命题 故命题 是假命题 命题 为 若x 3 则x2 x 6 0 因为x2 x 6 0 3 x 2 故命题 是假命题 综上知只有命题 是真命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 已知f x 是定义在R上的偶函数 且以2为周期 则 f x 为 0 1 上的增函数 是 f x 为 3 4 上的减函数 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要 答案 解析 充要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x 0 1 时 f x 是增函数 又 y f x 是偶函数 当x 1 0 时 f x 是减函数 当x 3 4 时 x 4 1 0 T 2 f x f x 4 故x 3 4 时 f x 是减函数 充分性成立 反之 若x 3 4 时 f x 是减函数 此时x 4 1 0 T 2 f x f x 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则当x 1 0 时 f x 是减函数 y f x 是偶函数 当x 0 1 时 f x 是增函数 必要性也成立 故 f x 为 0 1 上的增函数 是 f x 为 3 4 上的减函数 的充要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 若xm 1是x2 2x 3 0的必要不充分条件 则实数m的取值范围是 由已知易得 x x2 2x 3 0 x xm 1 又 x x2 2x 3 0 x x3 答案 解析 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 若 数列an n2 2 n n N 是递增数列 为假命题 则 的取值范围是 若数列an n2 2 n n N 是递增数列 则有an 1 an 0 即2n 1 2 对任意的n N 都成立 于是可得3 2 即 故所求 的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 下列四个结论中 0 是 a 0 的充分不必