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n阶线性常系数微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 9 5二阶线性常系数微分方程 1 线性常系数齐次方程 特征方程法 将其代入上方程 得 故有 特征方程 特征根 二阶线性常系数齐次方程的解法 设 1 有两个不相等的实根 特征根为 得齐次方程的通解为 2 有两个相等的实根 特征根为 可得方程的一个解 可验证也是方程的一个解 得齐次方程的通解为 得齐次方程的通解为 3 有一对共轭复根 特征根为 是方程的两个解 也是方程的解 线性无关 复根 3 根据特征根的不同情况 得到相应的通解 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 1 写出相应的特征方程 2 求出特征根 n阶常系数线性齐次方程解法 特征方程为 注意 n次代数方程有n个根 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项 且每一项各一个任意常数 2 若干特殊线性常系数非齐次微分方程的特解 根据解的结构定理 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 根据f x 的特殊形式 的待定形式 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 待定系数法 为实数 设特解为 其中为待定多项式 1 若 不是特征方程的根 则取 从而得到特解 形式为 为n次多项式 Q x 为n次待定系数多项式 代入原方程 得 1 2 若 是特征方程的单根 为n次多项式 故特解形式为 3 若 是特征方程的重根 是n次多项式 故特解形式为 对方程 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 即 即 当 是特征方程的k重根时 可设 特解 小结 所以与成共轭的函数 其中为特征方程的k 0 1 2 重根 设 为方程 的特解 是方程 的特解 由于括号内的两项是互成共轭的 相加后即无虚部 复根 3 根据特征根的不同情况 得到相应的通解 一 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 1 写出相应的特征方程 2 求出特征根 内容小结 参阅p 186 二 n阶常系数线性齐次方程解法 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 注意 n次代数方程有n个根 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项 且每一项各一个任意常数 参阅p 187 三 线性常系数非齐次微分方程的特解 根据解的结构定理 其通解为 求特解的方法 根据f x 的特殊形式 的待定形式 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 待定系数法
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