中考数学 第二部分 重难题型突破 题型四 二次函数与几何图形综合题课件

题型四二次函数与几何图形综合题 类型一 线段 周长最值问题 类型二 图形面积数量关系 最值问题 类型三 类型四 相似三角形问题 特殊三角形 四边形问题 例如图 直线y x 5交x轴于点C 交y轴于点A 过A C两点的抛物线y ax2 4x c交x轴于另一点B 类型一线段 周长最值问题 1 求抛物线的解析式 思维教练 要求抛物线y ax2 4x c的解析式 只需求抛物线上两点坐标 已知直线y x 5过A C两点 从而得解 解 直线y x 5过A C两点 A 0 5 C 5 0 抛物线y ax2 4x c过点A 0 5 C 5 0 2 若存在点P m m 1 与点Q均在抛物线上 其中m 0 且这两点关于抛物线的对称轴对称 求m的值及点Q的坐标 思维教练 将点P m m 1 代入抛物线解析式即可求得m值 根据抛物线对称轴从而求出点Q的坐标 解 由点P m m 1 在抛物线y x2 4x 5上 得m 1 m2 4m 5 即m2 5m 6 0 解得m1 6 m2 1 舍去 m 6 P 6 7 点P Q均在抛物线上 且关于对称轴x 2对称 Q 2 7 3 在满足 2 的情况下 在抛物线的对称轴上是否存在一点M 使得 QMA的周长最小 若存在 求出点M的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 要使 QMA的周长最小 已知QA为定值 只需求一点M使得QM AM最小即可 解 如解图 连接AP AQ P Q两点关于对称轴对称 直线AP与对称轴x 2的交点即为使 QMA的周长最小的M点 QM MP QM AM AM PM AP 设直线AP的解析式为y kx b k 0 将A 0 5 P 6 7 代入 直线AP的解析式为y 2x 5 设点M 2 n 则n 2 2 5 1 此时 点M 2 1 能够使得 QMA的周长最小 周长最值问题 解决此类问题的关键在于如何寻找一点 使得三角形周长最小 如图 若已知 ABC中 A B为定点 求直线l上一点C使得 ABC周长最小 通过作点A 或点B 关于直线l的对称点A 或点B 连接A B 或B A 与直线l的交点即为所求点C 导 方 法 指 4 如图 点D为抛物线上A C之间的一个动点 过点D作y轴的平行线与直线AC交于点E 求线段DE的最大值及取得最大值时点D的坐标 思维教练 要求线段DE的最大值 则需表示出线段DE的函数表达式 即需表示出点D E的坐标 设出点D坐标 结合直线AC的解析式 表示出点E坐标 即可求解 解 设点D坐标为 t t2 4t 5 0 t 5 则点E的坐标为 t t 5 点E在点D的上方 DE t 5 t2 4t 5 t2 5t 当t 时 DE的长度最大 最大值为 此时点D的纵坐标为 所以当DE取最大值时 点D的坐标为 线段最值问题 解决此类问题首先设出关键点的坐标 通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标 通过题目中的函数和图形关系 用该点的横坐标表示出线段端点的坐标 进而表示出线段的长 通过二次函数的性质得到线段长的最大值或最小值 导 方 法 指 类型二图形面积数量关系 最值问题 例如图 已知抛物线y x2 bx c与x轴交于A 1 0 B 3 0 两点 与y轴交于点C 抛物线的对称轴与抛物线交于点P 与直线BC交于点M 连接PB 1 求抛物线的解析式 思维教练 已知抛物线与x轴交于A 1 0 B 3 0 两点 利用两点式即可求解 解 由题意可知 点A 1 0 点B 3 0 是抛物线与x轴的两个交点 抛物线的解析式为y x 1 x 3 x2 2x 3 2 求 PBC的面积 思维教练 已知 PBC三边均不在坐标轴上 要求 PBC的面积 只需求 PMC与 PMB的面积和 转化为求线段PM的长 结合直线BC的解析式求得点M坐标即可 解 抛物线的解析式为y x2 2x 3 x 1 2 4 抛物线的对称轴为直线x 1 顶点坐标为P 1 4 点C的坐标为 0 3 设直线BC的解析式为y kx d k 0 则 当x 1时 y 2 点M的坐标为 1 2 PM 4 2 2 直线BC的解析式为y x 3 即 PBC的面积为3 与图形面积有关的问题常涉及以下模型 如图 过 ABC的三个顶点分别作与水平线 x轴 垂直的三条直线 外侧两条直线之间的距离叫 ABC的水平宽 a 中间的直线在 ABC内部线段AD的长度叫 ABC的铅垂高 h 则S ABC ah 导 方 法 指 涉及动点问题时 可设动点运动的时间t或动点的坐标 t at2 bt c 求三角形面积最值时 用含t的代数式表示出三角形的底和高 或根据上述模型表示出a h的长 求四边形面积的最值时 常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形 从而根据求三角形面积的方法求得用含t的代数式表示的线段 用含有未知数的代数式表示出图形面积 根据二次函数的性质来求最大值或最小值 导 方 法 指 3 在第一象限内的抛物线上是否存在点D 使得 BCD的面积最大 若存在求出点D的坐标及 BCD面积的最大值 若不存在 请说明理由 思维教练 设出点D的坐标 同 2 问表示出 BCD面积的函数表达式 即可求解 解 存在 设D t t2 2t 3 如解图 作DH x轴交BC于点H 则H t t 3 S BCD 0 当t 时 即D的坐标为时 S BCD有最大值 且最大面积为 4 抛物线上是否存在点Q 使得 QMB与 PMB的面积相等 若存在 求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 首先根据 2 确定顶点P的坐标 然后根据同底等高的两个三角形的面积相等 再结合平行线之间的距离处处相等来求解即可 解 存在 由 2 得P 1 4 过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一 直线BC的解析式为y x 3 M 1 2 PM 2 过点P且与BC平行的直线l1为y x 3 2 x 5 Q1 2 3 M 1 2 设PM与x轴交于点E PM EM 2 过点E且与BC平行的直线l2为y x 3 2 x 1 从而过点E且与BC平行的直线l2与抛物线的交点也为所求Q点之一 综上所述 满足题意的Q点坐标为Q1 2 3 类型三特殊三角形 四边形问题 例如图 抛物线y x2 bx c与x轴交于点A B 与y轴交于点C 对称轴与抛物线交于点D 直线l过点B C 已知B点坐标为 3 0 C点坐标为 0 3 1 求抛物线的解析式及点A的坐标 思维教练 已知抛物线y x2 bx c过点B 3 0 C 0 3 利用待定系数法即可求出抛物线的解析式 从而得到抛物线的对称轴 根据点B和点A关于对称轴对称 求出点A的坐标 解 将B 3 0 C 0 3 代入抛物线y x2 bx c 抛物线的解析式为y x2 2x 3 抛物线的对称轴为又 点A B关于对称轴x 1对称 点A的坐标为 1 0 2 判断 BCD的形状 并说明理由 思维教练 判断三角形形状可从边和角两个角度入手 已知点B C的坐标 根据抛物线解析式易求出点D的坐标 因此从边长入手比较简单 分别求出三角形的三边长 如果有两边相等 则三角形是等腰三角形 如果三边相等 则三角形是等边三角形 如果没有相等的边 则考虑使用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形 解 BCD是直角三角形 理由如下 如解图 连接CD BD 抛物线的解析式y x2 2x 3 x 1 2 4 顶点D的坐标为 1 4 BC2 32 32 18 DC2 1 0 2 4 3 2 2 BD2 3 1 2 0 4 2 20 BC2 DC2 BD2 BCD是直角三角形 3 在抛物线对称轴上是否存在点P 使得 PBC为直角三角形 若存在 求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 因为点P在抛物线的对称轴上 因此可以设P 1 t 用含有t的代数式分别表示出PC PB的长度 而B C两点坐标已知 可求出BC的长度 因题干中未指明直角顶点 故需分 PC为斜边 PB为斜边 BC为斜边三种情况 利用勾股定理列方程求出t的值 即可知P点坐标 解 存在 根据题意 设点P的坐标为 1 t B 3 0 C 0 3 BC2 18 PB2 1 3 2 t2 4 t2 PC2 12 t 3 2 t2 6t 10 若PC为斜边 则BC2 PB2 PC2 即18 4 t2 t2 6t 10 解得t 2 若PB为斜边 则BC2 PC2 PB2 即18 t2 6t 10 4 t2 解得t 4 若BC为斜边 则PB2 PC2 BC2 即4 t2 t2 6t 10 18 解得综上所述 点P的坐标为 探究直角三角形的存在性 先假设结论成立 根据直角顶点的不确定性 分情况讨论 找点 当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时 需分情况讨论 具体方法如下 a 当定长为直角三角形的直角边时 分别以定长的某一端点作定长的垂线 与所求点满足的直线或抛物线有交点时 此交点即为符合条件的点 导 方 法 指 b 当定长为直角三角形的斜边时 以此定长为直径作圆 圆弧与所求点满足的直线或抛物线有交点时 此交点即为符合条件的点 计算 把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来 从而表示出三角形的各个边 表示线段时 注意代数式的符号 再利用相似三角形的性质得出比例式 或者利用勾股定理进行计算 或者利用三角函数建立方程求点坐标 导 方 法 指 4 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点Q 使得 QCD为等腰三角形 若存在 求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 根据已知可求出CD的长 设Q点的坐标为 x y 表示出QD QC 因题目中未说明 QDC哪个角是顶角 故分 D是顶角 根据抛物线的对称性 Q的纵坐标等于C的纵坐标 即可求出Q点的坐标 DCQ是顶角 因为点D在抛物线的对称轴上 所以抛物线上对称轴右侧的点距离点C的距离一定大于CD 因此这种情况不存在满足条件的Q点 Q是顶角 根据QC QD列方程求解即可 结果要舍去Q在对称轴左侧的情况 解 存在 如解图 若 D是等腰三角形的顶角 由点C 0 3 和对称轴x 1可得对称点为Q1 2 3 满足条件 若 DCQ是等腰三角形的顶角 C 0 3 D 1 4 而点Q在抛物线对称轴的右侧 CQ CD 与等腰三角形的性质 两腰相等 矛盾 故在抛物线的右侧不存在满足条件的点Q 若 Q是等腰三角形的顶角 设Q2 x y CQ22 3 y 2 x2 DQ22 x 1 2 4 y 2 3 y 2 x2 x 1 2 4 y 2 将y x2 2x 3代入解得故满足条件的点Q的坐标为 探究等腰三角形的存在性 假设结论成立 找点 当所给定长未说明是等腰三角形的底或腰时 需分情况讨论 具体方法如下 a 当定长为腰时 找已知直线上满足条件的点时 以定长的某一端点为圆心 以定长为半径画弧 若所画弧与所求点满足的直线或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时 交点即为所求的点 若所画弧与所求点满足的直线或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时 满足条件的点不存在 导 方 法 指 b 当定长为底边时 根据尺规作图作出定长的垂直平分线 若作出的垂直平分线与所求点满足的直线或抛物线有交点时 交点即为所求的点 若作出的垂直平分线与所求点满足的直线或抛物线无交点时 满足条件的点不存在 以上方法即可找出所有符合条件的点 计算 在求点坐标时 大多时候利用相似三角形求解 如果图形中没有相似三角形 可以通过添加辅助线构造相似三角形 有时也可以利用直角三角形的性质进行求解 导 方 法 指 类型四相似三角形问题 例如图 已知抛物线y ax2 bx c的图象与x轴交于点A 4 0 点B 1 0 与y轴交于点C 0 2 1 求抛物线的解析式 思维教练 已知抛物线y ax2 bx c经过点A 4 0 B 1 0 C 0 2 利用待定系数法即可求解 解 抛物线经过点C 0 2 可设抛物线的解析式为y ax2 bx 2 将A 4 0 B 1 0 代入 抛物线的解析式为 2 连接BC 判断 AOC与 COB是否相似 思维教练 要判断 AOC与 COB是否相似 在两个三角形中找两组对应角相等或找一组对应角相等及该角的两邻边对应成比例 即可判断 解 如解图 在 AOC与 COB中 AOC COB 90 点A 4 0 点B 1 0 点C 0 2 OA 4 OB 1 OC 2 AOC COB 3 P是抛物线上一动点 P不与A B C重合 过P作PM x轴 垂足为M 是否存在点P 使得以A P M为顶点的三角形与 OAC相似 若存在 请求出符合条件的点P的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 在 APM和 OAC中 根据 PMA AOC 90 然后分情况列出所有可能对应的比例式 即可求解 解 存在 如解图 设P点坐标为 APM ACO 解得m1 2 m2 4 舍去 或m3 4 舍去 m4 0 舍去 P 2 1 APM CAO 又 COA PMA 90 分以下两种情况 解得m1 4 舍去 m2 5或m3 3 m4 4 舍去 点P的坐标为 5 2 或 3 14 综上所述 符合条件的点P的坐标为 2 1 或 5 2 或 3 14 探究相似三角形