高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2_1椭圆及其标准方程课件新人教a版选修2_1

2 2椭圆2 2 1椭圆及其标准方程 自主学习新知突破 1 了解椭圆的实际背景 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程 2 了解椭圆的标准方程的推导及简化过程 3 掌握椭圆的定义 标准方程及几何图形 取一条定长的无弹性的细绳 把它的两端分别固定在图板的两点F1 F2处 套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖 问题1 若绳长等于两点F1 F2的距离 画出的轨迹是什么曲线 提示1 线段F1F2 问题2 若绳长L大于两点F1 F2的距离 移动笔尖 动点M 满足的几何条件是什么 动点的轨迹是什么 提示2 MF1 MF2 L 动点的轨迹是椭圆 椭圆的定义 距离之和等于常数 定点 距离 MF1 MF2 2a 对椭圆定义的理解 1 集合的语言描述为P M MF1 MF2 2a 2a F1F2 2 平面内到两定点F1 F2的距离的和为常数 即 MF1 MF2 2a 当2a F1F2 时 轨迹是椭圆 当2a F1F2 时 轨迹是一条线段F1F2 当2a F1F2 时 轨迹不存在 椭圆的标准方程 c 0 c 0 0 c 0 c c2 a2 b2 椭圆标准方程中注意的几个问题 1 a2 c2 b2 a b 0 a最大 其中a b c构成如图的直角三角形 我们把它称为 特征三角形 2 方程中的两个参数a与b 确定椭圆的形状和大小 焦点F1 F2的位置 是椭圆的定位条件 它决定椭圆标准方程的类型 3 方程Ax2 By2 C表示椭圆的充要条件是 ABC 0 且A B C同号 A B A B时 焦点在y轴上 A B时 焦点在x轴上 解析 由椭圆方程知a2 25 则a 5 PF1 PF2 2a 10 答案 D 答案 A 答案 6 2 3 4 求适合下列条件的椭圆的方程 1 焦点在x轴上 且经过点 2 0 和点 0 1 2 焦点在y轴上 与y轴的一个交点为P 0 10 P到它较近的一个焦点的距离等于2 合作探究课堂互动 求椭圆的标准方程 思路点拨 求椭圆标准方程的关注点确定椭圆的方程包括 定位 和 定量 两个方面 1 定位 是指确定与坐标系的相对位置 在中心为原点的前提下 确定焦点位于哪条坐标轴上 以判断方程的形式 2 定量 是指确定a2 b2的具体数值 常根据条件列方程求解 用待定系数法求椭圆的标准方程的解题步骤 如图 在圆C x 1 2 y2 25内有一点A 1 0 Q为圆C上一点 AQ的垂直平分线与C Q的连线交于点M 求点M的轨迹方程 利用椭圆的定义求轨迹方程 思路点拨 首先观察图形 结合平面几何的性质得到点M到线段AQ两端的距离相等 然后由A C这两个定点联想到椭圆的定义 得到点M到这两个定点A C的距离的和等于圆C的半径5 从而可知所求点M的轨迹是椭圆 由题意知点M在线段CQ上 从而有 CQ MQ MC 又点M在AQ的垂直平分线上 则 MA MQ MA MC CQ 5 求解有关椭圆的轨迹问题 一般有如下两种思路 1 首先通过题干中给出的等量关系列出等式 然后化简等式得到对应的轨迹方程 2 首先分析几何图形所揭示的几何关系 看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义 若符合椭圆的定义 则用待定系数法求解即可 2 已知圆A x 3 2 y2 100 圆A内一定点B 3 0 圆P过B点且与圆A内切 求圆心P的轨迹方程 思路点拨 由余弦定理和椭圆定义分别建立 PF1 PF2 的方程 求出 PF1 PF2 后 再求 PF1F2的面积 椭圆定义的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1 F2构成的 F1PF2称为焦点三角形 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义 三角形中的正弦定理 余弦定理等知识 错解一 2c 6 c 3 由椭圆的标准方程知a2 25 b2 m2 a2 b2 c2 得25