广西防城港市、桂林市高三数学一模试卷 文（含解析）.docVIP

2015年广西防城港市、桂林市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=0，2，3，4，5，集合b=x|x2x6=0，则ab等于（）a2b3c2，3d2复数=（）a1b1cidi3已知4a=，lgx=a，则x=（）a10b100cd104已知向量=（1，3），向量满足=5，且|+|=3，则|=（）abc5d155设r，则“=”是“f（x）=sin（x+），xr”为偶函数的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件6某几何体在网格纸上的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）abcd7已知an是等差数列，bn是正项等比数列，若a11=b10，则（）aa13+a9=b14b6ba13+a9=b14+b6ca13+a9b14+b6da13+a9b14+b68已知抛物线y2=4x的焦点为f，准线为l，点p为抛物线上一点，且在第一象限，pal，垂足为a，若|pf|=4，则直线af的倾斜角为（）abcd9如图所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，p表示估计结果，则图中空白框应该填入（）ap=bp=cp=dp=10下列函数中，当0x1x21时，满足x2f（x1）x1f（x2）的函数是（）af（x）=x3bf（x）=lnxcf（x）=x2+1df（x）=（）x11若直线kx+y+4=0上存在点p，过点p作圆x2+y22y=0的切线，切点为q，若|pq|=2，则实数k的取值范围是（）a2，2b2，+）c（，22，+）d（，11，+）12已知数列an满足a1=2，nan+（n+1）an1=0，xn*，且n2，则数列的前10项和为（）abcd二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知x，y满足条件，则z=的最大值是14某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为15设椭圆+=1（ab0）的左右焦点分别为f1，f2，焦距为2c直线y=（x+c）与椭圆的一个交点为m，o为坐标原点，若|om|=c，则椭圆的离心率是16已知函数f（x）=exax有且只有一个零点，则实数a的取值范围为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17如图所示的四边形abcd中，已知abad，abc=120，acd=60，ad=27，设acb=，c点到ad的距离为h（）求h（用表示）（）求ab+bc的最大值18在北方某城市随机选取一年内40天的空气污染指数（api）的监测数据，统计结果如下： api0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300（300，+） 天数 35810842（）已知污染指数api大于250为重度污染，若本次抽取样本数据有9天是在供暖季，其中有3天为重度污染，完成下面的22列联表，问有多大把握认为该城市空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计40（）在样本中，从污染指数api大于250的6天中任取2天，求至少有1天api大于300的概率附注：k2=，n=a+b+c+dp（k2k）0.250.150.100.050.0250.010.0050.001k1.3232.0722.7063.8415.0256.6357.87910.82819如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，ad平面pcd，pacb，ab=2ad=2cd=2，e为pb的中点（1）证明：平面pac平面pbc；（2）若pa=，求三棱锥deac的体积20已知圆c1：（x+2）2+y2=，圆c2：（x2）2+y2=，动圆q与圆c1、圆c2均外切（1）求动圆圆心q的轨迹方程；（2）在x轴负半轴上是否存在定点m使得qc2m=2qmc2？若存在，求出m的坐标，若不存在，说明理由21已知函数f（x）=lnax（a0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当a=1时，存在唯一一条过点（1，1）的直线与函数y=f（x）的图象相切一、请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修41：几何证明选讲22如图，abc的角平分线ad的延长线交它的外接圆于点e（1）证明：abeadc；（2）若abc的面积s=adae，求bac的大小一、选修44：坐标系与参数方程23在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴简历极坐标系，半圆c的极坐标方程为=4sin，0，（1）将半圆c化为参数方程；（2）已知直线l：y=x+6，点m在半圆c上，过点m斜率为1直线与l交于点q，当|mq|最小值时，求m的坐标一、选修45：不等式选讲24已知f（x）=|2xa|+a，ar，g（x）=|2x1|（1）设a=2，解关于x的不等式：f（x）+g（x）7；（2）若当g（x）5时，恒有f（x）6，求a的取值范围2015年广西防城港市、桂林市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=0，2，3，4，5，集合b=x|x2x6=0，则ab等于（）a2b3c2，3d【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出集合b，利用交集定义进行求解【解答】解：b=x|x2x6=0=2，3a=0，2，3，4，5，ab=3，故选：b【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2复数=（）a1b1cidi【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数，则答案可求【解答】解：复数=，复数=i故选：c【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题，3已知4a=，lgx=a，则x=（）a10b100cd10【考点】函数的零点；指数式与对数式的互化【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由指数式4a=可解得a=，从而再由lgx=a可得x=【解答】解：4a=，a=；又lgx=a，x=；故选d【点评】本题考查了指数式与对数式的化简与应用，属于基础题4已知向量=（1，3），向量满足=5，且|+|=3，则|=（）abc5d15【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可【解答】解：向量=（1，3），|=，向量满足=5，且|+|=3，即10+10+=45则|=5故选：c【点评】本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力5设r，则“=”是“f（x）=sin（x+），xr”为偶函数的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：若f（x）=sin（x+），为偶函数，则=+k，kz，故“=”是“f（x）=sin（x+），xr”为偶函数的充分不必要条件，故选：a【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的性质是解决本题的关键6某几何体在网格纸上的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）abcd【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和四分之一球组成的组合体，分别求出两者的体积，相加可得答案【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和四分之一球组成的组合体，圆柱底面和球的半径r均为1，故四分之一球的体积为： =，圆柱的高h=1，故圆柱的体积为：r2h=，故组合体的体积v=+=，故选：a【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状7已知an是等差数列，bn是正项等比数列，若a11=b10，则（）aa13+a9=b14b6ba13+a9=b14+b6ca13+a9b14+b6da13+a9b14+b6【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】设an是为公差为d的等差数列，bn是公比为q的正项等比数列，运用等比数列和等差数列的通项公式和性质，作差比较结合完全平方公式和提取公因式，即可得到结论【解答】解：设an是为公差为d的等差数列，bn是公比为q的正项等比数列，即有a13+a9=2a11=2b10，b14b6=b102，则a13+a9b14b6=（2b10）b10，当b102时，a13+a9b14b6；当0b102时，a13+a9b14b6又b14+b6=b1q13+b1q5，由a13+a9（b14+b6）=2b1q9b1q13b1q5，=b1q5（q82q4+1）=b1q5（q41）20，则有a13+a9b14+b6综上可得，a，b，c均错，d正确故选：d【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项公式和性质的运用，考查运算化简的能力，属于中档题和易错题8已知抛物线y2=4x的焦点为f，准线为l，点p为抛物线上一点，且在第一象限，pal，垂足为a，若|pf|=4，则直线af的倾斜角为（）abcd【考点】抛物线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的定义，|pf|=|pa|，设f在l上的射影为f，依题意，可求得点p的坐标，从而可求得|af|，可求得点a的坐标，代入斜率公式，从而可求得直线af的倾斜角【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为f，准线为l，|pf|=|pa|，f（1，0），准线l的方程为：x=1，设f在l上的射影为f，又pal，设p（m，n），依|pf|=|pa|得，m+1=4，解得m=3，n=2，pax轴，点a的纵坐标为2，点a的坐标为（1，2），则直线af的斜率=，则有直线af的倾斜角等于故选：c【点评】本题考查抛物线的定义、方程和简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题9如图所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，p表示估计结果，则图中空白框应该填入（）ap=bp=cp=dp=【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率的程序框图，m是圆周内的点的次数，当i大于n时，圆周内的点的次数为4m，总试验次数为n，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是p=故选：a【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率的方法，考查计算能力，属于基础题10下列函数中，当0x1x21时，满足x2f（x1）x1f（x2）的函数是（）af（x）=x3bf（x）=lnxcf（x）=x2+1df（x）=（）x【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】由条件结合单调性的定义可得函数y=在（0，1）为增函数对选项一一加以分析，运用导数，判断（0，1）内导数符号，即可判断单调性【解答】解：当0x1x21时，满足x2f（x1）x1f（x2）即为，由单调性定义可得，y=在（0，1）为增函数对于a， =x2在（0，1）递减，不满足条件；对于b， =的导数为，在（0，1）内导数为正，即有在（0，1）递增，满足条件；对于c， =x+的导数为1，在（0，1）内导数为负，即有在（0，1）递减，不满足条件；对于d， =的导数为，在（0，1）内导数为负，即有在（0，1）递减，不满足条件故选：b【点评】本题考查导数的运用：判断单调性，同时考查函数的单调性的运用，注意构造函数和正确求导是解题的关键11若直线kx+y+4=0上存在点p，过点p作圆x2+y22y=0的切线，切点为q，若|pq|=2，则实数k的取值范围是（）a2，2b2，+）c（，22，+）d（，11，+）【考点】圆的切线方程【专题】计算题；直线与圆【分析】利用pq是圆c：x2+y22y=0的一条切线，q是切点，pq长度最小值为2，可得圆心到直线的距离pc最小，由点到直线的距离公式可得k的取值范围【解答】解：圆c：x2+y22y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由题意，pq是圆c：x2+y22y=0的一条切线，q是切点，pq长度最小值为2，圆心到直线的距离pc最小，最小值为，由点到直线的距离公式可得，k2或k2，故选：c【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查圆的切线，点到直线的距离公式等知识，是中档题12已知数列an满足a1=2，nan+（n+1）an1=0，xn*，且n2，则数列的前10项和为（）abcd【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】数列an满足a1=2，nan+（n+1）an1=0，nn*，且n2，可得利用“累乘求积”可得：an=（1）n1（n+1）. =再利用“裂项求和”即可得出【解答】解：数列an满足a1=2，nan+（n+1）an1=0，nn*，且n2，an=a1=（1）n12=（1）n1（n+1）=数列的前10项和=+=故选：a【点评】本题考查了“累乘求积”、“裂项求和”方法，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知x，y满足条件，则z=的最大值是3【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行求解即可【解答】解：z的几何意义为区域内的点到定点d（3，1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知ad的斜率最大，由，解得，即d（，），此时z=3，故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键14某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5万元【考点】回归分析的初步应用【专题】图表型【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果【解答】解： =3.5，=42，数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，42=9.43.5+a，=9.1，线性回归方程是y=9.4x+9.1，广告费用为6万元时销售额为9.46+9.1=65.5，故答案为：65.5万元【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点15设椭圆+=1（ab0）的左右焦点分别为f1，f2，焦距为2c直线y=（x+c）与椭圆的一个交点为m，o为坐标原点，若|om|=c，则椭圆的离心率是【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意求出直线与坐标轴的交点，求出m的坐标，然后椭圆方程即可求解椭圆的离心率【解答】解：直线y=（x+c）与坐标轴的交点分别为a（c，0），b（0， c）|ab|=2c直线y=（x+c）与椭圆的一个交点为m，o为坐标原点，若|om|=c，可得m是ab的中点，m（）则：，即，化简得：，解得e=故答案为：【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力16已知函数f（x）=exax有且只有一个零点，则实数a的取值范围为（，0）e【考点】函数的零点【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】函数f（x）=exax有且只有一个零点可转化为函数y=ex与y=ax的图象有且只有一个交点；作函数图象可知，分相切与不相切讨论即可【解答】解：函数f（x）=exax有且只有一个零点，函数y=ex与y=ax的图象有且只有一个交点，作函数y=ex与y=ax的图象如下，结合图象知，当a0时成立，当a0时，相切时成立，故（ex）=ex=；故x=1；故a=e；综上所述，实数a的取值范围为（，0）e故答案为：（，0）e【点评】本题考查了学生作图与用图的能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17如图所示的四边形abcd中，已知abad，abc=120，acd=60，ad=27，设acb=，c点到ad的距离为h（）求h（用表示）（）求ab+bc的最大值【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】（）由已知k可求adc=90，在acd中，由正弦定理可求ac的值，又cad=30+，且060，由h=acsincad即可得解（）在abc中，由正弦定理分别求出ab，bc，将ab+bc表示成9+18sin（2+60），由正弦函数的图象和性质即可得解【解答】解：（）由已知得：adc=360（90+120+60+）=901分在acd中，3分ac=18cos4分又cad=30+，且060，h=acsincad=18cossin（30+），（060）6分（）在abc中，ab=18sin2，7分bc=36cossin（60）=98分ab+bc=9+9cos2+9sin2=9+18sin（2+60）10分060，11分当=15时，ab+bc取到最大值912分【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数关系式，正弦函数的图象和性质的应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查18在北方某城市随机选取一年内40天的空气污染指数（api）的监测数据，统计结果如下： api0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300（300，+） 天数 35810842（）已知污染指数api大于250为重度污染，若本次抽取样本数据有9天是在供暖季，其中有3天为重度污染，完成下面的22列联表，问有多大把握认为该城市空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计40（）在样本中，从污染指数api大于250的6天中任取2天，求至少有1天api大于300的概率附注：k2=，n=a+b+c+dp（k2k）0.250.150.100.050.0250.010.0050.001k1.3232.0722.7063.8415.0256.6357.87910.828【考点】独立性检验【专题】计算题；概率与统计【分析】（1）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论；（2）污染指数api在（250，300）有4天，污染指数api大于300有2天，6天中任取2天，共有=15种，至少有1天api大于300，共有15=9天，即可求出概率【解答】解：（1）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季639非供暖季28331合计34640k2的观测值k2=3.0612.706，所以有90%的把握认为空气重度污染与供暖有关；（2）污染指数api在（250，300）有4天，污染指数api大于300有2天，6天中任取2天，共有=15种，至少有1天api大于300，共有15=9天，所以在样本中，从污染指数api大于250的6天中任取2天，至少有1天api大于300的概率为=【点评】本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，考查学生的计算能力，比较基础19如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是直角梯形，ad平面pcd，pacb，ab=2ad=2cd=2，e为pb的中点（1）证明：平面pac平面pbc；（2）若pa=，求三棱锥deac的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）要证平面pac平面pbc，可利用面面垂直的判定定理，证明平面pbc经过平面pac的一条垂线，由已知可得即acbc，再由已知pacb，结合线面垂直的判定得到bc平面pac，则答案得证；（2）由（1）结合已知可得pc平面abcd，解直角三角形求出pc，把三棱锥deac的体积转化为棱锥pdac体积的一半得答案【解答】（1）证明：如图，由已知得，ab=2，ad=cd=1，ac=bc=，则ac2+bc2=ab2，即acbc，由已知有pacb，又paac=a，pa，ac平面pac，bc平面pac，bc平面pac，又bc平面pbc，平面pac平面pbc；（2）解：由（1）得：bc平面pac，又pc平面pac，pcbc由已知得，ad平面pcd，又pc平面pcd，pcad，又ad，bc是平面abcd内的两条相交直线，pc平面abcd=【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题20已知圆c1：（x+2）2+y2=，圆c2：（x2）2+y2=，动圆q与圆c1、圆c2均外切（1）求动圆圆心q的轨迹方程；（2）在x轴负半轴上是否存在定点m使得qc2m=2qmc2？若存在，求出m的坐标，若不存在，说明理由【考点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由动圆与两定圆外切得到圆心距与半径之间的关系，作差后得到动圆圆心c的轨迹符合双曲线定义，由已知求出实半轴和虚半轴，则动圆圆心的轨迹方程可求；（2）设m的坐标（t，0），q（x0，y0）（x01），分类讨论，利用qc2m=2qmc2，结合斜率公式，即可得出结论【解答】解：（1）设所求圆的圆心坐标q（x，y），半径为r，两定圆的圆心分别是c1，c2，半径分别为，所求圆与两个圆都外切，|qc1|=r+，|qc2|=r+，即|qc1|qc2|=2，根据双曲线定义可知c点的轨迹为以c1，c2为焦点的双曲线的右支，由2c=4，c=2；2a=2，a=1，b=q点的轨迹方程为=1（x1）（2）设m的坐标（t，0），q（x0，y0）（x01），x02时，qc2m=2qmc2，tanqc2m=tan（2qmc2），=，将代入整理可得（4+4t）x0=t2+4t+3，t=1；x0=2时，qc2m=90，t=1时qmc2=45，满足题意故满足条件的点m（1，0）存在【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，训练了利用定义求双曲线的方程，是中档题21已知函数f（x）=lnax（a0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当a=1时，存在唯一一条过点（1，1）的直线与函数y=f（x）的图象相切【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（1）函数f（x）=lnax（a0），f（x）=（ax0）当a0时，函数f（x）的定义域为（0，+）对a分类讨论：当x（0，a）时，当x（a，+）时，利用导数与函数单调性的关系即可得出单调性当a0时，函数f（x）的定义域为（，0）对a分类讨论：当x（a，0）时，当x（，a）时，利用导数与函数单调性的关系即可得出（ii）当a=1时，假设存在唯一一条过点（1，1）的直线与函数y=f（x）的图象相切f（x）=lnx，切点为t切线方程为：y+1=（x1），把切点t代入可化为lnx0+1=0，设g（x）=lnx+1，（x0），只要证明有唯一零点即可【解答】（1）解：函数f（x）=lnax（a0），f（x）=（ax0）当a0时，函数f（x）的定义域为（0，+）当x（0，a）时，f（x）0，函数f（x）在（0，a）上单调递减；当x（a，+）时，f（x）0，函数f（x）在（0，a）上单调递增当a0时，函数f（x）的定义域为（，0）当x（a，0）时，f（x）0，函数f（x）在（0，a）上单调递增；当x（，a）时，f（x）0，函数f（x）在（0，a）上单调递减（ii）证明：当a=1时，假设存在唯一一条过点（1，1）的直线与函数y=f（x）的图象相切f（x）=lnx，切点为t切线方程为：y+1=（x1），把切点t代入可得； +1=，化为lnx0+1=0，（*）设g（x）=lnx+1，（x0），g（x）=+=x0，函数g（x）在区间（0，1）与（2，+）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减，g（x）极大值=g（1）=10，g（x）极小值=g（2）=ln2+0又=+12161=ln450，由g（x）在（0，1）上单调递增，可知：g（x）=0，仅在内有且仅有一个实数根，方程（*）有且仅有一解，因此存在唯一一条过点（1，1）的直线与函数y=f（x）的图象相切【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题一、请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修41：几何证明选讲22如图，abc的角平分线ad的延长线交它的外接圆于点e（1）证明：abeadc；（2）若abc的面积s=adae，求bac的大小【考点】圆內接多边形的性质与判定【专题】计算题；证明题【分析】（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将abc的面积转化为s=abac，再结合三角形面积公式，不难得到bac的大小【解答】证明：（1）由已知abc的角平分线为ad，可得bae=cad因为aeb与acb是同弧上的圆周角，所以