高考数学总复习 6_2 等差数列及其前n项和课件 文 新人教a版

6 2等差数列及其前n项和 知识梳理 考点自测 1 等差数列 1 定义 一般地 如果一个数列从起 每一项与它的前一项的等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 公差通常用字母d表示 数学语言表示为 n N d为常数 2 等差中项 数列a A b成等差数列的充要条件是 其中A叫做a b的 3 等差数列的通项公式 an 可推广为an am n m d 第2项 差 同一个常数 公差 an 1 an d 等差中项 a1 n 1 d 知识梳理 考点自测 2 等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 1 an a1 n 1 d可化为an dn a1 d的形式 当d 0时 an是关于n的一次函数 当d 0时 数列为递增数列 当d 0时 数列为递减数列 2 数列 an 是等差数列 且公差不为0 Sn An2 Bn A B为常数 1 已知 an 为等差数列 d为公差 Sn为该数列的前n项和 1 在等差数列 an 中 当m n p q时 am an ap aq m n p q N 特别地 若m n 2p 则2ap am an m n p N 2 ak ak m ak 2m 仍是等差数列 公差为md k m N 知识梳理 考点自测 知识梳理 考点自测 1 判断下列结论是否正确 正确的画 错误的画 1 若一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 已知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 3 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n的一次函数 4 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n N 都有2an 1 an an 2 5 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 6 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 知识梳理 考点自测 2 2017浙江 6 已知等差数列 an 的公差为d 前n项和为Sn 则 d 0 是 S4 S6 2S5 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 C 解析 因为所以S4 S6 2S5 10a1 21d 10a1 20d d 0 即 d 0 是 S4 S6 2S5 的充分必要条件 选C 3 2017辽宁抚顺重点校一模 文2 在等差数列 an 中 a3 a6 11 a5 a8 39 则公差d为 A 14B 7C 7D 14 C 解析 a3 a6 11 a5 a8 39 则4d 28 解得d 7 故选C 知识梳理 考点自测 4 已知 an 为等差数列 Sn为其前n项和 若a1 6 a3 a5 0 则S6 6 解析 an 是等差数列 a3 a5 2a4 0 a4 0 a4 a1 3d 6 d 2 S6 6a1 15d 6 6 15 2 6 18162 考点一 考点二 考点三 考点四 等差数列中基本量的求解例1 1 2017辽宁大连一模 文6 已知数列 an 满足an 1 an 2 a1 5 则 a1 a2 a6 A 9B 15C 18D 30 2 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则m等于 A 3B 4C 5D 6 C C 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 思考求等差数列基本量的一般方法是什么 解题心得1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n Sn 已知其中三个就能求出另外两个 体现了用方程组解决问题的思想 3 减少运算量的设元的技巧 若三个数成等差数列 可设这三个数分别为a d a a d 若四个数成等差数列 可设这四个数分别为a 3d a d a d a 3d 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练1 1 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 A 100B 99C 98D 97 2 2017福建厦门一模 文14 已知 an 是等差数列 其前n项和为Sn a1 a3 a5 15 a2 a4 a6 0 则Sn的最大值为 C 30 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 等差数列的判定与证明 考点一 考点二 考点三 考点四 思考判断或证明一个数列为等差数列的基本方法有哪些 解题心得1 等差数列的四种判断方法 1 定义法 an 1 an d d是常数 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n N an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 Sn An2 Bn A B为常数 an 是等差数列 2 若证明一个数列不是等差数列 则只需证明存在连续三项不成等差数列即可 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练2设数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 2n 1 数列 bn 满足b1 2 bn 1 2bn 8an 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 数列为等差数列 并求 bn 的通项公式 考点一 考点二 考点三 考点四 等差数列性质的应用 多考向 考向1等差数列项的性质的应用例3 1 2017福建龙岩一模 文3 在等差数列 an 中 a3 a7是函数f x x2 4x 3的两个零点 则 an 的前9项和等于 A 18B 9C 18D 36 2 已知 an 是等差数列 Sn是其前n项和 若 3 S5 10 则a9的值是 C 20 解析 1 等差数列 an 中 a3 a7是函数f x x2 4x 3的两个零点 a3 a7 4 2 由S5 10 得a3 2 因此2 2d 2 d 2 3 即d 3 故a9 2 3 6 20 思考如何快捷地求出结果 考点一 考点二 考点三 考点四 考向2等差数列前n项和的性质的应用例4在等差数列 an 中 前m项的和为30 前2m项的和为100 则前3m项的和为 210 思考本例题应用什么性质求解比较简便 解题心得在等差数列 an 中 依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果 常用的性质有 在等差数列 an 中 数列Sm 也是等差数列 考点一 考点二 考点三 考点四 A 5 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 等差数列前n项和的最值问题例5 2017北京海淀模拟 等差数列 an 中 设Sn为其前n项和 且a1 0 S3 S11 则当n为多少时 Sn最大 考点一 考点二 考点三 考点四 解得6 5 n 7 5 故当n 7时 Sn最大 法四 由S3 S11 可得2a1 13d 0 即 a1 6d a1 7d 0 故a7 a8 0 又由a1 0 S3 S11可知d0 a8 0 所以当n 7时 Sn最大 思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法 考点一 考点二 考点三 考点四 解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 1 函数法 将等差数列的前n项和Sn An2 Bn A B为常数 看作二次函数 根据二次函数的性质求最值 考点一 考点二 考点三 考点四 对点训练4等差数列 an 的前n项和为Sn 已知S10 0 S15 25 则nSn的最小值为多少 考点一 考点二 考点三 考点四 1 等差数列的判断方法 1 定义法 2 等差中项法 3 利用通项公式判断 4 利用前n项和公式判断 2 公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数 且常数项为0 若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数 则该数列不是等差数列 它从第2项起成等差