高中数学第二单元圆锥曲线与方程2_1_1椭圆及其标准方程课件新人教b版选修1_1

第二章 2 1椭圆 2 1 1椭圆及其标准方程 1 了解椭圆的实际背景 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程 椭圆标准方程的推导与化简过程 2 掌握椭圆的定义 标准方程及几何图形 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一椭圆的定义 观察图形 回答下列问题 思考1 如图 把细绳两端拉开一段距离 分别固定在图板上的两点F1 F2处 套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖 画出的轨迹是什么图形 答案 椭圆 思考2 图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件 答案 笔尖 动点 到两定点 绳端点的固定点 的距离之和始终等于绳长 梳理把平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于的点的轨迹叫做椭圆 这两个叫做椭圆的焦点 叫做椭圆的焦距 定长 大于 F1F2 定点 两焦点间的距离 知识点二椭圆的标准方程 思考1 椭圆方程中 a b以及参数c有什么几何意义 它们满足什么关系 答案 椭圆方程中 a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半 可借助图形帮助记忆 a b c 都是正数 恰构成一个直角三角形的三条边 a是斜边 c是焦距的一半 a b c始终满足关系式a2 b2 c2 思考2 椭圆定义中 为什么要限制常数 MF1 MF2 2a F1F2 答案 只有当2a F1F2 时 动点M的轨迹才是椭圆 当2a F1F2 时 点的轨迹是线段F1F2 当2a F1F2 时 满足条件的点不存在 梳理 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c c2 a2 b2 题型探究 类型一椭圆的标准方程 解答 这与a b相矛盾 故应舍去 当焦点在y轴上时 可设椭圆的标准方程为 方法二设椭圆的标准方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 解答 2a 12 即a 6 c 4 b2 a2 c2 62 42 20 解得 11或 21 舍去 求椭圆标准方程的方法 1 定义法 即根据椭圆的定义 判断出轨迹是椭圆 然后写出其方程 2 待定系数法 先确定焦点位置 设出方程 寻求a b c的等量关系 求a b的值 代入所设方程 特别提醒 若椭圆的焦点位置不确定 需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论 也可设椭圆方程为mx2 ny2 1 m n m 0 n 0 反思与感悟 解答 椭圆的焦点在y轴上 2 焦点在y轴上 且经过两个点 0 2 和 1 0 椭圆的焦点在y轴上 又椭圆经过点 0 2 和 1 0 解答 设椭圆的方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 且m n 解答 答案 解析 0 1 反思与感悟 1 利用椭圆方程解题时 一般首先要化成标准形式 7 10 答案 解析 当焦点在x轴上时 a2 4 b2 m 由2c 2 得c 1 4 m 1 m 3 当焦点在y轴上时 a2 m b2 4 由2c 2 得c 1 m 4 1 则m 5 综上可知 m 3或5 3或5 答案 解析 类型二椭圆定义的应用 解答 由余弦定理知 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos30 F1F2 2 2c 2 4 式两边平方 得 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 20 F1PF2 引申探究在例3中 若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B 连接BF2 其他条件不变 求 BPF2的周长 解答 反思与感悟 解答 从而 F1F2 2c 2 在 PF1F2中 由余弦定理可得 PF2 2 PF1 2 F1F2 2 2 PF1 F1F2 cos120 又由椭圆的定义知 PF1 PF2 4 所以 PF2 4 PF1 从而有 4 PF1 2 PF1 2 4 2 PF1 命题角度2与椭圆有关的轨迹问题例4如图 P为圆B x 2 2 y2 36上一动点 点A坐标为 2 0 线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q 求点Q的轨迹方程 直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q AQ PQ AQ BQ PQ BQ 6 点Q的轨迹是以A B为焦点的椭圆 解答 反思与感悟 用定义法求椭圆的方程 首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值 然后判断椭圆的中心是否在原点 对称轴是否为坐标轴 最后由定义产生椭圆的基本量a b c 跟踪训练4已知圆A x 3 2 y2 100 圆A内一定点B 3 0 圆P过B且与圆A内切 求圆心P的轨迹方程 解答 如图 设圆P的半径为r 又圆P过点B PB r 又 圆P与圆A内切 圆A的半径为10 两圆的圆心距 PA 10 r 即 PA PB 10 大于 AB 点P的轨迹是以A B为焦点的椭圆 2a 10 2c AB 6 a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 当堂训练 1 已知F1 F2是定点 F1F2 8 动点M满足 MF1 MF2 8 则动点M的轨迹是A 椭圆B 直线C 圆D 线段 答案 1 2 3 4 5 解析 MF1 MF2 8 F1F2 点M的轨迹是线段F1F2 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 焦点在y轴上 cos sin 1 2 3 4 5 由椭圆的定义知 3 7 2a 得a 5 则m a2 25 答案 解析 25 解答 设椭圆的标准方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 1 2 3 4 5 规律与方法 1