高中数学 第一章 计数原理 1_2 排列与组合 1_2_2_2课件 新人教a版选修2-3

第2课时组合的综合应用 类型一 含 与 不含 的组合问题 典例1 1 2017 济宁高二检测 从5名男医生 4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队 要求其中男 女医生都有 则不同的组队方案共有 A 70种B 80种C 100种D 140种 2 在一次数学竞赛中 某学校有12人通过了初试 学校要从中选出5人去参加市级培训 在下列条件下 有多少种不同的选法 任意选5人 甲 乙 丙三人必须参加 甲 乙 丙三人不能参加 甲 乙 丙三人只能有1人参加 解题指南 1 方法一 采用直接法 以男生为标准分类 方法二 间接法 先不考虑限制条件 再减去不符合题意的 2 本题是组合应用题中典型的选代表问题 通过一些明确的条件对结果进行限制 解题时注意限制条件 解析 1 选A 方法一 一男两女 有 30种 两男一女 有 40种 共计70种 方法二 任意选取3人 共 84种 其中都是男医生共有 10种 都是女医生共有 4种 所以符合条件的有84 10 4 70种 2 792种不同的选法 甲 乙 丙三人必须参加 只需从另外的9人中选2人 共有 36种不同的选法 甲 乙 丙三人不能参加 只需从另外的9人中选5人 共有 126种不同的选法 甲 乙 丙三人只能有1人参加 分两步 先从甲 乙 丙中选1人 有种选法 再从另外的9人中选4人有种选法 共有 378种不同的选法 延伸探究 1 若本例 2 条件不变 那么 甲 乙 丙三人至少1人参加 有多少种 解析 直接法 可分为三类 第一类 甲 乙 丙中有1人参加 共有 378种 第二类 甲 乙 丙中有2人参加 共有 252种 第三类 甲 乙 丙中有3人参加 共有 36种 共有 666种不同的选法 间接法 12人中任意选5人共有种 甲 乙 丙三人不能参加的有种 所以 共有 666种不同的选法 2 若本例 2 条件不变 那么 甲 乙 丙三人至多2人参加 有多少种 解析 直接法 甲 乙 丙三人至多2人参加 可分为三类 第一类 甲 乙 丙都不参加 共有种 第二类 甲 乙 丙中有1人参加 共有种 第三类 甲 乙 丙中有2人参加 共有种 共有 756种不同的选法 间接法 12人中任意选5人共有种 甲 乙 丙三人全参加的有种 所以 共有 756种不同的选法 方法总结 组合应用题的求解策略 1 含 或 不含 某些元素的组合问题 含 则先将这些元素取出 再由另外元素补足 不含 则先将这些元素剔除 再从剩余元素中去取 2 至少 或 至多 含有几个元素的问题 首先要理解 至少 与 至多 的含义 防止重复与漏解 其次选取某条件为主线进行分类求解 当用直接法分类较多时 可用间接法处理 补偿训练 100件产品中有3件次品 任意抽取5件进行产品检验 1 抽出的5件都是正品的抽法有多少种 2 抽出的5件恰有2件是次品的抽法有多少种 3 抽出的5件最多有2件是次品的抽法有多少种 解析 1 正品数量为100 3 97件 故共有种抽法 2 恰有 即是 有且只有 的意思 结合分步乘法计数原理 分两步完成 第一步 从3件次品中抽2件有种抽法 第二步 从97件正品中抽3件有种抽法 由分步乘法计数原理知共有种抽法 3 最多有2件 包括三类情况 第一类 恰有2件次品有种抽法 第二类 恰有1件次品有种抽法 第三类 没有次品有种抽法 由分类加法计数原理 共有种抽法 类型二几何中的组合问题 典例2 如图 在以AB为直径的半圆周上 有异于A B的六个点C1 C2 C3 C4 C5 C6 AB上有异于A B的四个点D1 D2 D3 D4 问 1 以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个 其中含C1点的有多少个 2 以图中的12个点 包括A B 中的4个为顶点 可作出多少个四边形 解题指南 1 分三类 一类是从C1 C2 C3 C4 C5 C6中取三个点 另一类是从C1 C2 C3 C4 C5 C6中取一个点 从D1 D2 D3 D4中取两个点 再一类是从C1 C2 C3 C4 C5 C6中取两个点 从D1 D2 D3 D4中取一个点 2 构成一个四边形 需要四个点 且任意三点不共线 解析 1 可分三种情况处理 从C1 C2 C6 这六个点中任取三个可构成一个三角形 从C1 C2 C6中任取一个点 D1 D2 D3 D4中任取两点可构成一个三角形 从C1 C2 C6中任取两个点 D1 D2 D3 D4中任取一个点可构成一个三角形 故可作 116个三角形 其中以C1为顶点的三角形有 36 个 2 构成一个四边形 需要四个点 且无三点共线 方法总结 几何图形中组合问题的求解方法 1 解决几何图形中的组合问题 首先应运用处理组合问题的常规方法分析解决问题 其次要从不同类型的几何问题中抽象出组合问题 寻找一个组合的模型加以处理 2 图形多少的问题 要注意共点 共线 共面 异面等情形 防止多算 常用直接法 也可采用排除法 巩固训练 1 四面体的一个顶点为A 从其他顶点和各棱中点中取3个点 使它们与点A在同一平面上 有多少种不同的取法 2 四面体的顶点和各棱中点共10个点 在其中取4个不共面的点 有多少种不同的取法 解题指南 1 分两类 一类与点A在同一面上 另一类与A在同一棱上 2 采用间接法 从所有取法中减去共面的个数 解析 1 如图所示 含顶点A的四面体的3个面上 除点A外每个面都有5个点 从中取出3点必与点A共面 共有种取法 含顶点A的三条棱上各有三个点 它们与所对的棱的中点共面 共有3种取法 根据分类加法计数原理 与顶点A共面三点的取法有 3 33 种 2 如图所示 从10个顶点中取4个点的取法有种 除去4点共面的取法种数可以得到结果 从四面体同一个面上的6个点中取出4点必定共面 有 60 种 四面体的每一条棱上3点与相对棱中点共面 共有6种共面情况 从6条棱的中点中取4个点时 有3种共面情形 对棱中点连线两两相交互相平分 故4点不共面的取法有 60 6 3 141 种 补偿训练 已知直线 1 a b为非零常数 与圆x2 y2 100有公共点 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数 那么这样的直线有多少条 解析 如图 在圆x2 y2 100上 横坐标和纵坐标均为整数的点的坐标有 10 0 10 0 0 10 0 10 6 8 6 8 6 8 6 8 8 6 8 6 8 6 8 6 共12个 过这12个点的切线有12条 由于给出的是直线的截距式方程 过原点的直线及与坐标轴平行的直线不符合题意 过原点的直线有6条 与坐标轴平行的直线有12条 故符合题意的直线共有 12 6 12 60 条 类型三分组或分堆问题 典例3 1 八人分乘三辆小车 每辆小车至少载1人 最多载4人 不同坐法共有 A 770种B 1260种C 4620种D 2940种 2 2017 沈阳高二检测 将6位志愿者分成4组 其中两个组各2人 另两个组各1人 分赴世博会的四个不同场馆服务 不同的分配方案有 种 用数字作答 解题指南 1 将8人按以下情况分组 再分到3辆车中 分组情况 1 3 4 2 2 4 2 3 3 2 将6人按 2 2 1 1 分组再分到四个不同场馆中 解析 1 选C 第一步 分组 由题意把8人可分为以下三组 1 3 4 2 2 4 2 3 3 分组的种数为第二步 分配 每一种分法都有 6种 根据分步乘法计数原理 共有770 6 4620种 故选C 2 根据题意 先将6人按2 2 1 1分成4组 有 45种分组方法 再对应分配到四个不同场馆 有 24种方法 则共有45 24 1080种方法 答案 1080 方法总结 分组或分堆问题常见的类型分组问题属于 组合 问题 常见的分组问题有三种 1 完全均匀分组 每组的元素个数均相等 2 部分均匀分组 应注意不要重复 有n组均匀 最后必须除以n 3 完全非均匀分组 这种分组不考虑重复现象 巩固训练 有6本不同的书按下列分配方式分配 问共有多少种不同的分配方法 1 分成三份 1份1本 1份2本 1份3本 2 甲 乙 丙三人中 一人得1本 一人得2本 一人得3本 3 平均分成三份 每份2本 4 平均分配给甲 乙 丙三人 每人2本 解题指南 由题目可获取以下主要信息 第 1 3 题是分组问题 第 2 4 题是将6本书分配给甲 乙 丙三个人 第 2 题未说明甲 乙 丙三人谁得1本 谁得2本 谁得3本 解答本题 可先理清事件是否与顺序有关 再依题意求解 解析 1 无序不均匀分组问题 先选1本有种选法 再从余下的5本中选2本有种分配方法 最后余下3本全选有种方法 故共有 60种不同的分配方式 2 有序不均匀分组问题 由于甲 乙 丙是不同的三人 在第 1 题基础上 还应考虑再分配 共有 360种不同的分配方式 3 无序均匀分组问题 先分三步 则应是种方法 但是这里出现了重复 不妨记6本书为A B C D E F 若第一步取了AB 第二步取了CD 第三步取了EF 记该种分法为 AB CD EF 则种分法中还有 AB EF CD CD AB EF CD EF AB EF CD AB EF AB CD 共种情况 而这种情况仅是AB CD EF的顺序不同 因此只能作为一种分法 故分配方式有 15种不同的分配方式 4 有序均匀分组问题 在第 3 题基础上再分配给3个人 共有分配方式 90种不同的分配方式 补偿训练 按照以下要求分配6本不同的书 各有几种分法 一 有分配对象的分组 1 甲 乙 丙三人中 甲得1本 乙得2本 丙得3本 2 一人4本 其余两人各1本 3 6本书全部分给了五个学生 二 无分配对象的分组 4 6本书按3 2 1分成三组 5 6本书按4 1 1分成三组 解析 1 2 3 56 15625 种 4 5 类型四排列与组合的综合问题 典例4 1 2017 泰安高二检测 某班组织文艺晚会 准备从A B等7个节目中选出3个节目演出 要求A B两个节目中至少有一个被选中 且A B同时选中时 它们的演出顺序不能相邻 那么不同演出顺序的种数为 A 84B 72C 76D 130 2 用数字0 1 2 3 4 5 6组成没有重复数字的四位数 其中个位 十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个 用数字作答 解题指南 1 分两类 一类A B中选1个 一类A B都选 2 以个位 十位 百位上数字都是偶数 或两个奇数一个偶数分类求解 解析 1 选D 分两类 第一类 A B只有一个选中 则不同演出顺序有 120种 第二类A B同时选中 则不同演出顺序有 10种 故不同演出顺序的种数为120 10 130 2 因为个位 十位和百位上的数字之和为偶数 所以这三个数字或者都是偶数 或者有两个奇数一个偶数 当个位 十位和百位上的数字都为偶数时 则 此三位中有0 则有 4 3 6 4 72 个 此三位中没有0 则有 3 6 3 18 个 当个位 十位和百位有两个奇数一个偶数时 则 此三位中有0 则有 3 6 4 72 个 此三位中没有0 则有 3 162 个 所以共有72 18 72 162 324 个 答案 324 方法总结 解决排列组合综合问题的策略 1 解决排列组合综合问题的一般思路是 先选后排 也就是先把符合题意的元素都选出来 再对元素或位置进行排列 2 解决排列组合综合问题应注意 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法 无序的问题是组合问题 有序的问题是排列问题 对于多个限制条件的复杂问题 应认真分析每个限制条件 然后再考虑是分类还是分步 巩固训练 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数 试问 1 能组成多少个没有重复数字的七位数 2 上述七位数中三个偶数排在一起的有几个 3 在 1 中的七位数中 偶数排在一起 奇数也排在一起的有几个 4 在 1 中任意两偶数都不相邻的七位数有几个 解析 1 分步完成 第一步在4个偶数中取3个 可有种情况 第二步在5个奇数中取4个 可有种情况 第三步3个偶数 4个奇数进行排列 可有种情况 所以符合题意的七位数有 100800 个 2 上述七位数中 3个偶数排在一起的有 14400 个 3 上述七位数中 3个偶数排在一起 4个奇数也排在一起的有 5760 个 4 上述七位数中 偶数都不相邻 可先把4个奇数排好 再将3个偶数分别插入5个空当 共有 28800 个 补偿训练 有5个男生和3