高中数学 第1章 导数及其应用 1_1_2 瞬时变化率——导数课件 苏教版选修2-2

1 1 2瞬时变化率 导数 第1章1 1导数的概念 学习目标1 理解切线的含义 2 理解瞬时速度与瞬时加速度 3 掌握瞬时变化率 导数的概念 会根据定义求一些简单函数在某点处的导数 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一曲线上某一点处的切线 如图 Pn的坐标为 xn f xn n 1 2 3 4 点P的坐标为 x0 y0 思考1 当点Pn 点P时 试想割线PPn如何变化 答案 答案当点Pn趋近于点P时 割线PPn趋近于确定的位置 即曲线上点P处的切线位置 思考2 割线PPn的斜率是什么 它与切线PT的斜率有何关系 答案 答案割线PPn的斜率kn 当Pn无限趋近于P时 kn无限趋近于点P处切线的斜率k 1 设Q为曲线C上的不同于P的一点 这时 直线PQ称为曲线的割线 随着点Q沿曲线C向点P运动 割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C 当点Q无限逼近点P时 直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l 这条直线l称为曲线在点P处的 2 若P x f x 过点P的一条割线交曲线C于另一点Q x x f x x 则割线PQ的斜率为kPQ 当 x 0时 无限趋近于点P x f x 处的切线的斜率 梳理 切线 知识点二瞬时速度与瞬时加速度 瞬时变化率 1 平均速度在物理学中 运动物体的位移与的比称为平均速度 2 瞬时速度一般地 如果当 t无限趋近于0时 运动物体位移S t 的平均变化率无限趋近于 那么称为物体在时的瞬时速度 也就是位移对于时间的 所用时间 一个常数 这个常数 t t0 瞬时变化率 3 瞬时加速度一般地 如果当 t无限趋近于0时 运动物体速度v t 的平均变化率无限趋近于一个常数 那么这个常数称为物体在t t0时的瞬时加速度 也就是速度对于时间的 瞬时变化率 1 导数设函数y f x 在区间 a b 上有定义 x0 a b 若 x时 比值 无限趋近于一个 则称f x 在x x0处 并称该常数A为函数f x 在x x0处的导数 记作 2 导数的几何意义导数f x0 的几何意义就是曲线y f x 在点处的切线的 知识点三导数 无限趋近于0 常数A 可导 f x0 P x0 f x0 斜率 3 导函数 1 若f x 对于区间 a b 内都可导 则f x 在各点的导数也随着自变量x的变化而变化 因而也是的函数 该函数称为f x 的导函数 记作 在不引起混淆时 导函数f x 也简称为f x 的 2 f x 在x x0处的导数f x0 就是导函数f x 在x x0处的 任一点 自变量x f x 导数 函数值 题型探究 解答 类型一求曲线上某一点处的切线 1 点A处的切线的斜率 解 y f 2 x f 2 2 点A处的切线方程 解答 即3x 4y 4 0 根据曲线上一点处的切线的定义 要求曲线过某点的切线方程 只需求出切线的斜率 即在该点处 x无限趋近于0时 无限趋近的常数 反思与感悟 跟踪训练1 1 已知曲线y 2x2 4x在点P处的切线的斜率为16 则点P坐标为 3 30 答案 解析 解析设点P坐标为 x0 y0 4x0 4 2 x 当 x无限趋近于0时 4x0 4 2 x无限趋近于4x0 4 因此4x0 4 16 即x0 3 所以y0 2 32 4 3 18 12 30 即点P坐标为 3 30 2 已知曲线y 3x2 x 求曲线上一点A 1 2 处的切线的斜率及切线方程 解答 解设A 1 2 B 1 x 3 1 x 2 1 x 当 x无限趋近于0时 5 3 x无限趋近于5 所以曲线y 3x2 x在点A 1 2 处的切线斜率是5 切线方程为y 2 5 x 1 即5x y 3 0 例2某物体的运动路程s 单位 m 与时间t 单位 s 的关系可用函数s t t2 t 1表示 求物体在t 1s时的瞬时速度 类型二求瞬时速度 解答 3 t 物体在t 1处的瞬时变化率为3 即物体在t 1s时的瞬时速度为3m s 引申探究1 若本例中的条件不变 试求物体的初速度 解求物体的初速度 即求物体在t 0时的瞬时速度 解答 1 t 当 t 0时 1 t 1 物体在t 0时的瞬时变化率为1 即物体的初速度为1m s 2 若本例中的条件不变 试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m s 解设物体在t0时刻的速度为9m s 解答 2t0 1 t 则2t0 1 9 t0 4 则物体在4s时的瞬时速度为9m s 1 求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率 2 求运动物体瞬时速度的三个步骤 求时间改变量 t和位移改变量 s s t0 t s t0 反思与感悟 跟踪训练2一质点M按运动方程s t at2 1做直线运动 位移单位 m 时间单位 s 若质点M在t 2s时的瞬时速度为8m s 求常数a的值 解答 解质点M在t 2s时的瞬时速度即为函数在t 2s处的瞬时变化率 质点M在t 2s附近的平均变化率为 例3已知f x x2 3 1 求f x 在x 2处的导数 解答 类型三求函数在某点处的导数 4 x 当 x无限趋近于0时 4 x无限趋近于4 所以f x 在x 2处的导数等于4 2 求f x 在x a处的导数 解答 2a x 当 x无限趋近于0时 2a x无限趋近于2a 所以f x 在x a处的导数等于2a 求一个函数y f x 在x x0处的导数的步骤 1 求函数值的改变量 y f x0 x f x0 反思与感悟 3 令 x无限趋近于0 求得导数 跟踪训练3 1 设f x ax 4 若f 1 2 则a 2 f 1 a 即a 2 答案 解析 2 将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第xh 原油的温度 单位 为f x x2 7x 15 0 x 8 求函数y f x 在x 6处的导数f 6 并解释它的实际意义 解答 当 x 0时 平均变化率趋近于5 所以f 6 5 导数f 6 5表示当x 6时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度 也就是说 如果保持6h时温度的变化速度 每经过1h时间 原油温度将升高5 当堂训练 1 一个做直线运动的物体 其位移S与时间t的关系是S 3t t2 则此物体在t 2时的瞬时速度为 答案 2 3 4 5 1 解析 1 解析由于 S 3 2 t 2 t 2 3 2 22 3 t 4 t t 2 t t 2 故物体在t 2时的瞬时速度为 1 2 已知曲线y f x 2x2上一点A 2 8 则点A处的切线斜率为 答案 2 3 4 5 1 解析 8 当 x 0时 8 2 x趋近于8 即k 8 2 3 4 5 1 答案 解析 0 y f 1 x f 1 4 设函数f x 在点x0附近有定义 且有f x0 x f x0 a x b x 2 a b为常数 则f x0 的值为 2 3 4 5 1 答案 解析 a 故当 x 0时 其值趋近于a 故f x0 a 试求该物体在t 1和t 4时的瞬时速度 2 3 4 5 1 解答 解当t 1时 S t t2 2 2 3 4 5 1 当 t无限趋近于0时 2 t无限趋近于2 所以v 1 2 t 4 3 S t 29 3 t 3 2 3t2 18t 56 2 3 4 5 1 所以v 4 6 规律与方法 当 x无限趋近于0时 它所