高考理科数学空间直线复习资料.ppt

1 第九章直线 平面 简单几何体 空间直线 第讲 2 第一课时 2 3 1 空间两条不同直线的位置关系有相交 平行 异面三种 其中两相交直线是指 公共点的两直线 两平行直线是指在 且 公共点的两直线 两异面直线是指 的两直线 2 在空间中 如果两直线a b都平行于同一条直线 则直线a b的位置关系是 有且只有一个 同一平面内 没有 不同在任何一个平面内 平行 4 3 在空间中 如果一个角的两边和另一个角的两边 并且这两个角的 那么这两个角相等 4 既不平行又不相交的两直线是 连结平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面 的直线是异面直线 分别平行 方向相同 异面直线 不经过此点 5 5 过空间任意一点分别作两异面直线a b的平行线 则这两条相交直线所成 叫做异面直线a和b所成的角 两条异面直线所成的角的取值范围是 如果两条异面直线所成的角为90 则称这两条异面直线 6 和两条异面直线都 的直线 称为异面直线的公垂线 两条异面直线的 夹在这两条异面直线之间的长度 叫做这两条异面直线的 锐角或直角 互相垂直 垂直相交 公垂线 距离 6 1 两直线没有公共点 是 两直线平行 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解 两直线没有公共点 可知两直线平行或异面 而由两直线平行 可知两直线没有公共点 即 两直线没有公共点 是 两直线平行 的必要不充分条件 故选B B 7 2 如右图 正四面体S ABC中 D为SC的中点 则BD与SA所成角的余弦值是 A B C D C 8 解 取AC的中点E 连结DE BE 则DE SA 所以 BDE就是BD与SA所成的角 设SA a 则BD BE a DE a 9 3 六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面边长为1 侧棱长为 则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 解 连结FE1 FD 由正六棱柱相关性质可得FE1 BC1 所以 FE1D即为E1D与BC1所成的角 60 10 在 EFD中 EF ED 1 FED 120 所以在 EFE1和 EE1D中 易得所以 E1FD是等边三角形 所以 FE1D 60 11 1 在空间四边形ABCD中 连结两条对角线AC BD 若M N分别是 ABC和 ACD的重心 求证 MN BD 证明 连结AM并延长交BC于E 连结AN并延长交CD于F 因为M N分别是 ABC ACD的重心 题型1两直线的平行问题 12 所以E F分别是BC CD的中点 结EF 则EF BD 因为 2 2 所以MN EF 故MN BD 点评 证明空间两直线平行 可转化为在同一平面内两直线的平行问题 然后利用平行的判定证得平行 13 如图 在空间四边形ABCD中 E H分别是AB AD的中点 F G分别是CB CD上的点 且 1 证明 EH FG 2 若BD 6 四边形EFGH的面积为28 求平行线EH与FG的距离 14 解 1 证明 因为E H分别是AB AD的中点 所以因为 所以FG BD 且 所以EH FG 15 2 因为BD 6 所以EH 3 BD 4 又四边形EFGH是梯形 设EH与FG的距离为h 由已知得 EH FG h 28 所以h 28 所以h 8 故平行线EH与FG的距离为8 16 2 已知 l a b 若a l A 且b l 求证 a与b是异面直线 证明 假设a b不是异面直线 则a b或a与b相交 若a b 因为b l 所以a l 这与a l A矛盾 所以a b 若a与b相交 设a b B 因为a b 题型2异面直线问题 17 所以B B 即B为 的一个公共点 因为 l 所以B l 从而b l B 这与b l矛盾 所以a与b不相交 故a与b是异面直线 点评 空间直线的位置关系有三种 平行 相交 异面 本题证两直线异面用的是反证法 利用反证法证明时 首先是反设 即否定结论 并把反设作为一个推理条件 然后逐步推理 直到得出矛盾 18 如图 在空间四边形ABCD中 AD AC BC BD a AB CD b E F分别是AB CD的中点 1 求证 EF是AB和CD的公垂线 2 求AB和CD间的距离 19 解 1 证明 连结CE DE 所以AB EF 同理CD EF 所以EF是AB和CD的公垂线 2 ECD中 所以 20 斜三棱柱ABC A1B1C1的各棱长都为a B1BA B1BC ABC 求异面直线A1B1和BC1的距离 解 因为 ABC为正三角形 所以 ABC 60 从而 B1BA B1BC 60 连结AB1 CB1 因为BA BB1 a 21 所以 ABB1和 CBB1都是正三角形 所以AB1 CB1 a 从而四面体ABCB1为正四面体 所以AB B1C 因为A1B1 AB 所以B1C A1B1 又四边形BCC1B1为菱形 所以BC1 B1C 22 所以B1C为异面直线A1B1和BC1的公垂线 设B1C交BC1于D 则B1D B1C 故异面直线A1B1和BC1的距离为 23 1 利用三线平行公理判断或证明两直线平行 关键是找到第三条直线 使得这两条直线都与第三条直线平行 2 判定两直线是否为异面直线 一般根据图形的直观性 结合异面直线的定义及异面直线的判定定理就能确定 证明两直线为异面直线 通常用反证法 24 3 由三线平行公理可知 在空间中 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 4 空间两直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种 在空间中垂直于同一条直线的两直线可能平行 相交或异面 过一点有无数条直线与已知直线垂直 25 第九章直线 平面 简单几何体 空间直线 第讲 2 第二课时 26 1 设P为正三角形ABC所在平面外一点PA PB PC APB BPC CPA 90 M N分别是AB和PC的中点 求异面直线PM与BN所成的角 题型3求异面直线所成的角 27 解 连结MC 取其中点D 连结ND 则所以 BND为所求的角 连结BD 设正三角形ABC的边长为a 由已知 APB BPC APC都是等腰直角三角形 所以PM 易知 28 DN 又CM 所以DM 在Rt BMD中 在 BND中 故异面直线PM与BN所成的角为 29 点评 求异面直线所成的角的关键是作辅助线来平移直线 化为同一平面内两直线所成的角 一般根据中点可作中位线平移直线 或由平行四边形的性质平移直线 然后利用解三角形的有关知识求得夹角 30 31 32 33 34 2 已知正三棱柱ABC A1B1C1的底边长为8 异面直线AB1和BC1所成的角为arccos 求这个正三棱柱的侧棱长 题型4异面直线夹角条件的转化 解 连结B1C交BC1于D点 则D为B1C的中点 取AC的中点E 连结DE 则所以 BDE为异面直线AB1和BC1所成的角或其补角 35 设正三棱柱的侧棱长为x 因为正三棱柱的底边长为8 则BE 8sin60 所以在 BDE中 BE2 BD2 DE2 2BD DEcos BDE 36 若cos BDE 则解得 x 6 若cos BDE 则x 故这个正三棱柱的侧棱长为6或 点评 已知角度求边长问题 一般是结合方程思想来解决 即先设边长为参数 然后根据题中条件转化为参数方程 组 再解方程 组 即可求得边长的值 注意方程的解与边长的值的实际意义 37 如图 正方形ABCD的边长为3 E F分别是AB CD上的点 且BE 1 将四边形AEFD沿EF折起到A EFD 的位置 使异面直线EB和D F所成的角为60 求证 点A 在平面ABCD内的射影O恰好在BC边上 38 证明 因为A E D F 所以 A EB为异面直线EB和D F所成的角 知 A EB 60 因为BE 1 A E AE 2 连结A B 则在 A EB中 A B2 A E2 BE2 2A E BEcos60 3 39 所以A B2 BE2 A E2 所以A B EB 又EB BC 所以EB 平面A BC 所以平面A BC 平面ABCD 据两平面垂直的性质 知点A 在平面ABCD内的射影O在BC边上 40 1 求异面直线所成的角大致可分四个步骤进行 找出或作出异面直线所成的角 或其补角 构造三角形 解三角形 即求角的某个三角函数值 小