中考数学复习 专题二 数学思想方法问题课件

专题二数学思想方法问题 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识 是解决数学问题的根本策略 数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁 灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力的根本所在 因此 在复习时要注意总结体会教材例题 习题以及学考试题中所体现的数学思想和方法 培养用数学思想方法解决问题的意识和能力 济宁市中考试题中经常考查利用数学思想解决的题目 例如 2017年第18题 2016年第19题 2015年第18题以解答题的形式考查数学建模思想在方程和函数中的应用 2016年第6题 2014年第16题都考查了代数式求值的整体代入思想 2015年第5题考查了分类讨论思想在三角形中的应用 2016年第21题考查了两平行直线间的距离转化为点到直线距离的应用 2014年第8题考查了数形结合思想在二次函数与x轴交点中的应用 类型一分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素 无法用统一的方法或结论给出统一的表述时 按可能出现的所有情况来分别讨论 得出各情况下相应的结论 分类的原则 1 分类中的每一部分是相互独立的 2 一次分类必须是同一个标准 3 分类讨论要逐级进行 4 分类必须包含所有情况 既不能重复 也不能有遗漏 例1 2016 临夏州 如图 ABC是等腰直角三角形 A 90 BC 4 点P是 ABC边上一动点 沿B A C的路径移动 过点P作PD BC于点D 设BD x BDP的面积为y 则下列能大致反映y与x函数关系的图象是 分析 分两部分求y与x的函数关系式 当点P在AB上时 当点P在AC上时 然后根据函数关系式确定函数图象 自主解答 过A点作AH BC于H ABC是等腰直角三角形 B C 45 BH CH AH BC 2 当0 x 2时 如图1 B 45 PD BD x y x x x2 当2 x 4时 如图2 C 45 PD CD 4 x y 4 x x x2 2x 分析各个选项的图象 易知选B 1 2017 西宁 如图 在正方形ABCD中 AB 3cm 动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动 同时动点N自D点出发沿折线DC CB以每秒2cm的速度运动 到达B点时运动同时停止 设 AMN的面积为y cm2 运动时间为x s 则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是 2 2017 武汉 如图 在Rt ABC中 C 90 以 ABC的一边为边画等腰三角形 使得它的第三个顶点在 ABC的其他边上 则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 A 4B 5C 6D 7 类型二数形结合思想数形结合思想是把抽象思维和形象思维结合起来分析问题 将抽象的数学语言和直观的图形语言结合起来表示问题 从而解决问题的数学思想 运用数形结合思想解决问题 关键是要找到数与形的契合点 数形结合在不等式 组 函数等知识中有着广泛的应用 综合题中始终渗透着对数形结合思想的考查 例2 2016 河南 某班 数学兴趣小组 对函数y x2 2 x 的图象和性质进行了探究 探究过程如下 请补充完整 1 自变量x的取值范围是全体实数 x与y的几组对应值列表如下 2 根据上表数据 在如图所示的平面直角坐标系中描点 并画出了函数图象的一部分 请画出该函数图象的另一部分 3 观察函数图象 写出两条函数的性质 4 进一步探究函数图象发现 函数图象与x轴有个交点 所对应的方程x2 2 x 0有个实数根 方程x2 2 x 2有个实数根 关于x的方程x2 2 x a有4个实数根时 a的取值范围是 分析 1 把x 2代入函数解析式求解即可 2 描点 连线即可 3 写出两条合理的函数性质即可 4 利用数形结合思想 通过观察图象直接写出答案即可 自主解答 1 0 2 如图所示 3 性质 函数y x2 2 x 的图象关于y轴对称 当x 1时 y随x的增大而增大 答案不唯一 合理即可 4 33 2 1 a 0 3 2017 兰州 下表是一组二次函数y x2 3x 5的自变量x与函数值y的对应值 那么方程x2 3x 5 0的一个近似根是 A 1B 1 1C 1 2D 1 3 C 4 2016 十堰 已知关于x的二次函数y ax2 bx c的图象经过点 2 y1 1 y2 1 0 且y1 0 y2 对于以下结论 abc 0 a 3b 2c 0 对于自变量x的任意一个取值 都有x2 x 在 2 x 1中存在一个实数x0 使得x0 其中结论错误的是 只填写序号 类型三转化与化归思想转化与化归思想是一种最基本的数学思想 用于解决问题时的基本思想是化未知为已知 把复杂的问题简单化 把生疏的问题熟悉化 把非常规的问题化为常规问题 把实际问题数学化 实现不同的数学问题间的相互转化 这也体现了把不易解决的问题化为有章可循 容易解决问题的思想 例3如图 圆锥的底面圆的半径为r r 0 母线长OA为3r C为母线OB的中点在圆锥的侧面上 一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为 分析 要求蚂蚁爬行的最短距离 需将圆锥的侧面展开 根据两点之间线段最短求解 自主解答 由题意知 底面圆的直径为2r 故底面周长等于2 r 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2 r 解得n 120 AOA 120 1 60 如图 过点C作CF OA 5 2017 十堰 如图 已知圆柱的底面直径BC cm 高AB 3cm 小虫在圆柱表面爬行 从C点爬到A点 然后再沿另一面爬回C点 则小虫爬行的最短路程为 D 6 2017 黑龙江 如图 在矩形ABCD中 AD 4 DAC 30 点P E分别在AC AD上 则PE PD的最小值是 B 类型四数学建模思想数学建模思想就是构造数学模型的思想 即用数学的语言 公式 符号 图表等刻画一个实际问题 然后经过数学的处理 计算解决问题 利用模型思想解决问题的关键 1 抓住关键的字 词 句 把生活中的语言转化为数学语言 结合生活中的经验 灵活运用数学知识进行解决 2 充分利用各种数学思想把实际问题转化为数学问题 然后解答 例4 2016 潍坊 旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用 假定每辆观光车一天内最多只能出租一次 且每辆车的日租金x 元 是5的倍数 发现每天的营运规律如下 当x不超过100元时 观光车能全部租出 当x超过100元时 每辆车的日租金每增加5元 租出去的观光车就会减少1辆 已知所有观光车每天的管理费是1100元 1 优惠活动期间 为使观光车全部租出且每天的净收入为正 则每辆车的日租金至少应为多少元 注 净收入 租车收入 管理费 2 当每辆车的日租金为多少元时 每天的净收入最多 分析 1 观光车全部租出每天的净收入 出租观光车的总收入 管理费 根据不等关系 净收入为正 列出不等式求解即可 2 由函数解析式是分段函数 在每一段内求出函数最大值 比较得出函数的最大值 自主解答 1 由题意知 若观光车能全部租出 则0 x 100 由50 x 1100 0 解得x 22 又 x是5的倍数 每辆车的日租金至少应为25元 2 设每天的净收入为y元 当0 x 100时 y1 50 x 1100 y1随x的增大而增大 当x 100时 y1的最大值为50 100 1100 3900 当x 100时 y2 50 x 1100 x2 70 x 1100 x 175 2 5025 当x 175时 y2的最大值为5025 5025 3900 当每辆车的日租金为175元时 每天的净收入最多是5025元 7 一家游泳馆的游泳收费标准为30元 次 若购买会员年卡 可享受如下优惠 例如 购买A