考点圆与方程(含空间直角坐标系).doc

温馨提示：高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点7 圆与方程（含空间直角坐标系） 2010年高考题1.(2010广东高考文科6）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（ ） A BC D【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.【规范解答】选 设圆心为，则，解得，所以，所求圆的方程为：，故选.2.（2010湖北高考理科9）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（ ）A.,B.,3C.-1,D.,3【命题立意】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查考生数形结合、运动变化观点的应用和运算求解能力【思路点拨】将方程作等价变形，然后借助函数图像，利用运动变化的观点得到直线在与曲线有公共点时b的取值范围. oy2431【规范解答】选D.由图可知当直线过点（0，3）时b取最大值3；当直线与圆相切且切点在圆的下半部分时对应的b取最小值.由消去y可得，由=0得或（舍去）.3.（2010江西高考理科）直线与圆相交于M，N两点，若，则的取值范围是( )A BC D【命题立意】本题主要考查直线与圆位置关系的判定及利用数形结合法解题的能力. 【思路点拨】方法一：数形结合，利用圆心到直线的距离进行判定.方法二：联立方程组利用根与系数的关系及弦长公式求解.【规范解答】选A（方法1）由题意，若使，则圆心到直线的距离，即，解得.故选A.（方法2）设点M,N的坐标分别为，将直线方程和圆的方程联立得方程组，消去y得，由根与系数的关系得，由弦长公式知=，,，即，故选A.4.（2010上海高考理科5）圆的圆心到直线：的距离 【命题立意】考查圆的方程和点到直线的距离公式【思路点拨】先求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求值【规范解答】由圆的方程可知圆心坐标为C（1，2），由点到直线的距离公式，可得答案：35.（2010四川高考理科4）直线与圆相交于、两点，则 .【命题立意】本题主要考查点到直线的距离公式、圆的弦长公式及其直线与圆的位置关系. 【思路点拨】直线和曲线的相交弦问题，需联立方程组，利用弦长公式求解，特别地，直线和圆相交求弦长，可用圆心到直线的距离、半径求解.【规范解答】（方法1） 设，由消去得，由根与系数的关系得， .（方法2）因为圆心到直线的距离，所以.答案： 6.（2010 海南宁夏高考理科T15）过点A(4,1)的圆C与直线相切于点B(2,1)则圆C的方程为 .【命题立意】本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键.【思路点拨】由题意得出圆心既在点的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上，进而可求出圆心和半径.【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上，又在点的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线垂直的直线为，的中垂线为，联立方程，解得，即圆心，半径，所以，圆的方程为.答案：7.（2010广东高考理科2）已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是 【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.【规范解答】设圆心坐标为，则，解得，又圆心位于轴左侧，所以.故圆O的方程为.答案：8.（2010天津高考文科4）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 【命题立意】考查点到直线的距离、圆的标准方程、直线与圆的位置关系.【思路点拨】圆心到与圆相切直线的距离即为圆的半径.【规范解答】由题意可得圆心（-1,0），圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径，故，所以圆的方程为.答案：9.（2010江苏高考9）在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_【命题立意】本题考查直线与园的位置关系.【思路点拨】由题意分析，可把问题转化为坐标原点到直线的距离小于1，从而求出c的取值范围.【规范解答】如图，圆的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1.答案：10.（2010山东高考理科16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】根据弦长及圆心在x轴的正半轴上求出圆心坐标，再根据垂直关系可求直线方程.【规范解答】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为.答案：【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧. 11.（2010山东高考文科6）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 . 【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】根据弦长及圆心在x轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径.【规范解答】设圆心坐标为，圆的半径为，则由题意知：，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），故所求圆的方程为.答案：【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能的简化运算.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.12.（2010湖南高考文科14）若不同两点P,Q的坐标分别为（a，b），（3-b，3-a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为 。【命题立意】以朴素的两点坐标要求求满足条件的斜率，切中运用公式的要害。第二小问以圆为依托考查对称图形的求法，主要考查学生对圆的性质的掌握。【思路点拨】第一问直接利用两直线的斜率存在，那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于-1.第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称。【规范解答】设PQ的垂直平分线的斜率为k，则k=-1，k=-1.而且PQ的中点坐标是( ,)，L的方程为：y-=-1(x- )，y=-x+3,而圆心(2,3)关于直线y=-x+3对称的点坐标为(0,1)，对称图形的方程为：x2+(y-1)2=1.【方法技巧】一个图形关于一条直线的对称图形的方程的求法，如果对称轴的斜率为1，常常把横坐标代入得到纵坐标，把纵坐标代入得到横坐标，如(a,b)关于y=x+c的对称点是(b-c,a+c)。2009年考题13.（2009辽宁高考）已知圆C与直线xy=0 及xy4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（ ）（A） (B) (C) (D) 【解析】选B.圆心在xy0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.14.（2009浙江高考）已知三角形的三边长分别为，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为（ ）A B C D【解析】选B.由于3，4，5构成直角三角形S，故其内切圆半径为r=,当该圆运动时，最多与直角三角形S的两边也有4个交点。15.（2009上海高考）.过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条【解析】选B.由已知，得：，第II，IV部分的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。16.（2009湖南高考）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）（A）+=1 （B）+=1（C）+=1 （D）+=1【解析】选B.设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，为1，故选B.17.（2009陕西高考）过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为（ ）科网（A） （B）2 （C） （D）2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】选D.过原点且倾斜角为60的直线方程为6.（2009重庆高考）直线与圆的位置关系为（ ）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离【解析】选B.圆心为、到直线，即的距离，而，选B。18.（2009重庆高考）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A B CD【解析】选A.方法1（直接法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为。方法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为方法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。19.（2009上海高考）过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( ) （A） （B） （C） （D）【解析】选C.点在圆内，圆心为C（1，0），截得的弦最长时的直线为CP，方程是，即。20.（2009安徽高考）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_。【解析】设由可得故答案: (0,-1，0) w.21. （2009广东高考）以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案:22. （2009天津高考）若圆与圆（a0）的公共弦的长为，则_ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 。【解析】由知的半径为，由图可知解之得答案:1.23.（2009全国）已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。【解析】设圆心到的距离分别为,则.四边形的面积答案:5.24.（2009全国）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。答案: 25. （2009湖北高考）过原点O作圆x2+y26x8y20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为 。【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得答案:426.（2009四川高考）若与相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 .w 【解析】由题知，且，又，所以，。答案:4.27.（2009福建高考）已知直线l:3x+4y-12=0与圆C: (为参数 )试判断他们的公共点个数.【解析】圆的方程可化为.其圆心为,半径为2.圆心到直线的距离故直线与圆的公共点个数为2.答案：228.（2009江苏高考）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。(1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 化简得：求直线的方程为：或，即或(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得圆心到直线与直线的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解之得：点P坐标为或。2008年考题29.（2008山东高考）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）ABCD【解析】选B.设圆心为由已知得30.（2008广东高考）经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（ ）Axy10Bxy10Cxy10Dxy10【解析】选C.易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为（或由图象快速排除得正确答案）。31.（2008山东高考）已知圆的方程为x2y26x8y0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）A10B20C30D40【解析】选B。将方程化成标准方程，过点的最长弦（直径）为最短弦为32.（2008全国）若直线1与圆有公共点，则（ ） A B C D【解析】选D.本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，由相切或相交得：，33.（2008安徽高考）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）A B CD【解析】选C.方法一：数形结合法（如图） 另外，数形结合画出图象也可以判断C正确。方法二：利用距离与半径的关系点 在圆外，因此斜率必存在。设直线方程为，即，直线与曲线有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 ，得.34.（2008上海高考）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点、满足且，则称P优于，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ ） A B C D 【解析】选D.由题意知，若P优于，则P在的左上方，当Q在 上时，左上的点不在圆上， 不存在其它优于Q的点， Q组成的集合是劣弧。35.（2008天津高考）已知圆的圆心与点关于直线对称直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 【解析】本小题主要考查直线方程中的对称问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识由已知可求圆心的坐标为，所以，圆的方程为答案:36.（2008宁夏海南高考）已知直线和圆.（）求直线斜率的取值范围；（）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？【解析】（），当k0时，解得且k0又当k0时，m0，方程有解，所以，综上所述（）假设直线能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧设直线与圆交于A，B两点则ACB120圆，圆心C（4，-2）到l的距离为1故有，整理得，无实数解因此直线不可能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧37.（2008江苏高考）在平面直角坐标系中，二次函数（）与两坐标轴有三个交点记过三个交点的圆为圆（）求实数b的取值范围；（）求圆的方程；（）圆是否经过定点（与的取值无关）？证明你的结论【解析】（）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b0且0，解得b1且b0（）设所求圆的一般方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b令x=0，得y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0（）圆C必过定点（0，1），（-2，1）证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边= 02+ 12+20-(b+1）1+b=0，右边=0所以圆C必过定点（0，1）；同理可证圆C必过定点（-2，1）38.（2008北京高考）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值【解析】（）由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设两点坐标分别为，则，所以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得所以直线的方程为，即（）因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积由（）可得，所以所以当时，菱形的面积取得最大值39.（2008湖北高考）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，是半圆弧上一点，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（）建