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第一节 微分方程的基本概念 第十二章 二 基本概念 一 问题的提出 一 问题的提出例1 解 例2 解 P Q 得 曲线积分 例3 x 解 1 微分方程 二 基本概念 含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程 常微分方程的一般形式 如 实质 联系自变量 未知函数以及未知函数的某些导数 或微分 之间的关系式 常微分方程 偏微分方程 2 微分方程的阶 一阶微分方程 高阶 n 2 微分方程 显式方程 隐式方程 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之 3 线性与非线性微分方程 关于y线性 非线性 关于y非线性 关于x线性 4 微分方程的解 的解 5 微分方程的解的分类 1 通解 n个相互独立的任意常数c1 通俗地说 微分方程的通解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这些常数之间没有任何关系 2 特解 不含有任意常数的解 思考 通解是否一定包含了此方程的所有解 不一定 解的图象 微分方程的积分曲线 通解的图象 积分曲线族 初始条件 用来确定n阶微分方程 特解的条件 过定点的积分曲线 一阶 二阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 6 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题 例8 求以双参数函数族 为通解的微分方程 C1 C2为任意常数 解 1 两个任意常数C1 C2相互独立 故所求方程必是一个二阶微分方程 由 解得 代入 1 式 整理得 的初等解法 初等积分法 求解微分方程 求积分 通解可用初等函数或积分表示出来 在 2 4中 将讨论方程 微分方程 微分方程
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