1.3.1函数的单调性.ppt

函数的单调性 由于某种原因 2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日 问题 观察图形 你能得到什么信息 下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图 1 当天的最高温度 最低温度以及何时达到 2 在某时刻的温度 3 某些时段温度升高 某些时段温度降低 问题 同学们还能举出生活中其它的数据变化情况吗 水位高低 燃油价格 股票价格等 问题1 分别作出下列函数的图象 并且观察自变量x变化时 函数值y有什么变化规律 Y x 2y x 2y x2 函数Y x 2在整个定义域内y随x的增大而增大 函数y x 2在整个定义域内y随x的增大而减小 函数y x2在 0 上y随x的增大而增大 在 0 上y随x的增大而减小 函数y 1 x在 0 上y随x的增大而减小 在 0 上y随x的增大而减小 问题2 能不能根据自己的理解说说什么是增函数 减函数 如果函数在某个区间上随自变量x的增大 y也越来越大 我们说函数在该区间上为增函数 如果函数在某个区间上随自变量x的增大 y越来越小 我们说函数在该区间上为减函数 问题3 下图是函数的图象 能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗 问题4 1观察下列表格 描述二次函数f x x2随x增大函数值的变化特征 X 4 3 2 101234 f x x2 16941014916 问题4 2 如何从解析式的角度说明y x2在 0 为增函数 1 在给定区间内取两个数 例如1和2 因为12 22 所以y x2在 0 为增函数 2 仿 1 取很多组验证均满足 所以y x2在 0 为增函数 3 任取x1 x2 0 且x1 x2 因为x12 x22 x1 x2 x1 x2 0 即x12 x22 所以y x2在 0 为增函数 问题5 你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗 函数单调性的一般定义 一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数f x 在区间D上是增函数 对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数f x 在区间D上是减函数 练习下列说法是否正确 请画图说明理由 1 如果对于区间上的任意x有f x f 0 则函数f x 在区间上单调增 2 对于区间上 a b 的某3个自变量的值x1 x2 x3 当a x1 x2 x3 b时 有f a f x1 f x2 f x3 f b 则函数f x 在区间 a b 单调增 1 函数的单调性也叫函数的增减性 2 函数的单调性是对某个区间而言的 它是个局部概念 这个区间是定义域的子集 3 单调区间 针对自变量x而言的 若函数在此区间上是增函数 则区间为单调递增区间若函数在此区间上是减函数 则区间为单调递减区间 注意 4 单调函数的图像特征 几何特征 增函数 图像从左向右上升 减函数 图像从左向右下降 观察下列函数的图象 及其变化规律 增区间为 减区间为 增区间为 减区间为 减区间为 函数f x kx b k 0 在R上是增函数 函数f x kx b k 0 在R上是减函数 结论 一次函数的单调性 的对称轴为 结论 二次函数的单调性 结论 反比例函数的单调性 增函数 增函数 减函数 减函数 结论 函数f x 在其定义域上不具有单调性 3 定号 判断上述差的符号 4 下结论 1 取值 任取x1 x2 给定的区间 且x1 x2 2 作差 变形 计算f x1 f x2 至最简 若差 0 则为增函数 若差 0 则为减函数 三 用定义证明函数单调性的步骤证明函数f x 在区间D上具有单调性的步骤 例2物理学中的波利尔定律p k是正常数 告诉我们 对于一定量的气体 当体积V减小 压强p将增大 试用函数的单调性证明之 证明 设V1 V2 V1 V2 0 p1 p2 因为k是正常数 V1 V2 所以 0 p1 p2 所以 体积V减小 压强p将增大 目标检测 1 举一个与实际生活联系的例子 并说明这个函数在定义域上是减函数 2