数论与有限域 第五章.ppt

第五章有限域的概念 通过前面的学习 我们已经知道对于给定的两个整数a和b 利用带余数除法一定会找到一个整数q以及一个非负整数r 使得a qb r 在后面的学习过程中 还会发现 这个规则对于多项式 高斯整数等也是成立的 于是 人们为了将这样一大类的研究对象进行统一处理 引入了一个新的概念 欧氏环 如此 就可以在欧氏环中做我们所熟知的除法 因子分解等等 许多的结论我们不必再分别对整数 多项式 高斯整数等一一验证 只要知道是欧氏环 那么相应的结论就是正确的 类似这样的一套由具体到抽象的理论是由一些伟大的数学家迦罗瓦 阿贝尔等将我们所熟知的数上的一些理论加以高度概括 提炼出来的结果 称之为近世代数又称之为抽象代数 和我们已经接触到的经典代数中的初等代数 高等代数和线性代数不同 其研究对象不再是代数方程和线性方程组 而是代数系统 定义设S是任意一个集合 并记S S S为所有有序对 s1 s2 sn si S 1 i n 所构成的集合 则称由S S S到S的映射为集合S上的 n元 代数运算 并称由集合S以及定义在集合S上的一个或多个代数运算构成的系统为代数系统或代数结构 在这个定义中 要求有序对 s1 s2 sn S S S的像必须在集合S中 即运算要满足封闭性 例如 由整数集合Z以及定义在其上的整数加法运算 所构成的系统就是一个代数系统 而由整数集合Z和整数加法运算 以及乘法运算 所构成的系统也是一个代数系统 第一节群 定义5 1 1设G是定义了二元运算 的非空集合 如果在集合G中 a b c G 有 a b c a b c 存在一个特殊的元素e 使得 a G 有e a a e a a G 可以找到一个特殊的元素a 1 G 使得a a 1 a 1 a e 则称 G 为群 并称元素e为群 G 的单位元 而称a 1为元素a的逆元 定义5 1 2若对群 G 中任意的元素a b 有a b b a 即运算 满足交换律 则称该群为阿贝尔 或可换 群 第一节群 例5 1 1证明 Z 构成阿贝尔群 Z 不构成群 证明 由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭性 即任意两个整数做加法还是整数 结合律与交换律 同时容易验证 整数0是整数集合在加法运算下的单位元 对任意的整数a 都可以找到其对应地逆元 a 因而 Z 构成阿贝尔群 虽然容易验证整数集合在乘法运算下有单位元1 但是对任意的整数a 1都找不到其对应的逆元 因而 Z 不构成群 第一节群 例5 1 1证明 Z 构成阿贝尔群 Z 不构成群 证明 由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭性 即任意两个整数做加法还是整数 结合律与交换律 同时容易验证 整数0是整数集合在加法运算下的单位元 对任意的整数a 都可以找到其对应地逆元 a 因而 Z 构成阿贝尔群 虽然容易验证整数集合在乘法运算下有单位元1 但是对任意的整数a 1都找不到其对应的逆元 因而 Z 不构成群 第一节群 例5 1 2给定由模4的全体剩余类构成的集合Z4 0 1 2 3 则可对Z4定义加法 运算 i j i j 该 运算可用如下运算表来完全刻划表5 1群 Z4 中运算表在如上定义的 运算下 Z4 构成群 第一节群 例5 1 1证明 Z 构成阿贝尔群 Z 不构成群 证明 由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭性 即任意两个整数做加法还是整数 结合律与交换律 同时容易验证 整数0是整数集合在加法运算下的单位元 对任意的整数a 都可以找到其对应地逆元 a 因而 Z 构成阿贝尔群 虽然容易验证整数集合在乘法运算下有单位元1 但是对任意的整数a 1都找不到其对应的逆元 因而 Z 不构成群 第一节群 由上述运算表易知Z4对该加法 运算封闭 满足结合律 由于对任意的元素 a Z4 都有 0 a 0 a a 0 a 0 a 因而 0 为Z4中的加法零元 而对Z4中任意的元素 a 都可以找到Z4中的元素 a 使得 a a a a 0 a a a a 因而Z4中的每个元素都有负元 具体地 0 的负元是自身 1 的负元为 1 3 2 的负元是 2 2 3 的负元为 3 1 因而 Z4 构成了加法群 称之为整数模4的剩余类加群 利用同样的证明过程 可以得到整数模的剩余类加群 Zn 第一节群 一般地 在乘法群中 一个元素a G作n次运算的结果可以记为an aa a 同时称an为a的n次幂 而在加法群中 一个元素a G作n次运算的结果则可以记为na a a a 并且类似于普通的数的集合中的加法和乘法运算 群中的加法和乘法运算具有如下性质对于乘法 a n a 1 n anam an m am n anm 对于加法 n a n a na ma n m a m na mn a 在n 0时 作如下约定 在乘法记号中a0 e 在加法记号中0a 0 其中最后一个 0 为加法群中的零元 第一节群 定义5 1 3设a为群G中的元素 则称使得an e的最小正整数n为元素a的阶 记为 a 如果这样的n不存在 则称a的阶为无限 或称是零 由定义5 1 3可知 群中单位元的阶是l 而其他任何元素的阶都大于1 例如在非零有理数乘法群中 单位元1的阶是1 而元素 1的阶是2 其余元素的阶均为无限 定义5 1 4群G中的元素个数称为G的阶 通常记为 G 例5 1 3集合G 1 1 i i 关于数的普通乘法作成群 即4次单位根群 其中群G的阶为4 元素l的阶是l 1的阶是2 而虚单位根i与 i的阶都是4 第一节群 定义5 1 5设S为定义了代数运算 的任一非空集合 若在集合S中 运算 满足封闭性与结合律 则称 S 为半群 例5 1 4设A 1 2 3 4 而令S为A的全部子集构成的集合 通常称之为A的幂集 则易知 S 及 S 都是半群 第二节子群 陪集与拉格朗日定理 一 子群二 陪集与拉格朗日定理 一 子群 定义5 1 5如果群G的子集H对于群G的运算也构成了群 则称H为群G的子群 并称群G的除了 e 和G之外的子群为G的真子群 例如容易验证所有偶数构成的集合就是整数加法群的真子群 定义5 1 6如果群G中存在一个子集H 使得子集H中的任意元素b 都可以表示为H中某个特殊的元素a的幂次 则称子集H为群G的循环子群 而称元素a为H的生成元 记为H a 特别地 若H G 则称群G为循环群 例5 1 5容易验证整数模4的剩余类加群Z4中的任意元素都可以由元素 1 做若干次运算而得到 即 1 是Z4的生成元 一 子群 显然循环群的乘法满足交换律 故循环群都是可换群 同时一个循环群的生成元很可能不止一个 例如容易证明 3 也是整数模4的剩余类加群Z4的生成元 推论5 1 1由群G中一个固定的元素a的所有幂次所构成的子群 称为由a生成的子群 记为 a 子群 a 必然是循环群 并且若这个子群的阶是有限的 则此子群的阶就是元素a的阶 而若子群的阶是无限的 则元素a的阶也是无限的 二 陪集与拉格朗日定理 定义5 1 7 集合的积 设X和Y是群G的两个非空子集 于是子集X与Y的积记为XY xy x X y Y 特别地 如果Y y 是一个单元素集 而子集X x1 x2 那么子集X和Y的积为XY x1y x2y 此时我们记XY为Xy 并称Xy为元素y右乘X的积 定义5 1 8设H为群G的子群 a G 则称群G的子集aH ax x H 为群G关于子群H的一个左陪集 而称Ha xa x H 为群G关于子群H的一个右陪集 同时称a为代表元 二 陪集与拉格朗日定理 定理5 1 1设H为群G的子群 则 a b G Ha Hb与下面两个条件等价a Hbab 1 H证明 a Hb Ha Hb 设a Hb 则存在h H使得a hb 因而h 1a h 1hb b 即b h 1a 首先 x Ha 存在h1 H使得x h1a h1 hb h1h b 由子群H对乘法运算的封闭性得到h1h H 因而x h1h b Hb 故Ha Hb 二 陪集与拉格朗日定理 a Hb Ha Hb h 1a h 1hb b 即b h 1a 其次 y Hb 存在h2 H使得y h2b h2 h 1a h2h 1 a 由子群H对乘法运算的封闭性得到h2h 1 H 因而y h2h 1 a Ha 故Hb Ha 综上 得到Ha Hb Ha Hb ab 1 H 设Ha Hb 则 ha Ha 都存在h H 使得ha h b 即ab 1 h 1h H 进而ab 1 H ab 1 H a Hb 设ab 1 H 则存在h H 使得ab 1 h 于是a hb Hb 即a Hb 二 陪集与拉格朗日定理 定理5 1 2设H为群G的子群 a b G 则a Ha 右陪集Ha与Hb或者相等或者相交为空集 即Ha Hb或Ha Hb G 证明 因为H为群G的子群 所以H中有单位元e 使得 a G 有a ea Ha 二 陪集与拉格朗日定理 若Ha Hb 则存在x Ha Hb 由x Ha 可以得到Hx Ha 而由x Hb 又可以得到Hx Hb 所以Ha Hb 二 陪集与拉格朗日定理 因为每个右陪集Ha都是G的子集 所以这些右陪集的并也是G的子集 即另一方面 g G 由1 知g Hg 而显然有所以g 由g的任意性得到所以 二 陪集与拉格朗日定理 由定理5 1 2我们看到 每个右陪集的代表元都含在该右陪集内 任两个右陪集要么相等 要么不相交 将不重复的全部右陪集并起来以后恰好等于整个群G 即群G的所有右陪集构成了G的一个划分 定义5 1 9设H为群G的子群 由上述定理决定的G的划分G 称为G的一个右陪集分解 二 陪集与拉格朗日定理 定义5 1 9设H为群G的子群 由上述定理决定的G的划分G 称为G的一个右陪集分解 特别地 由上可见群G的右陪集分解具有如下特点 分解式中必含有子群 即以单位元为代表的右陪集 而其余的右陪集都不是G的子群 右陪集分解式中出现的右陪集彼此都不相交 分解式中每个右陪集的代表元都可以适当替换 二 陪集与拉格朗日定理 设H为群G的子群 若记SR Ha a G SR为H的所有不重复的右陪集做成的集合 SL cH c G SL为H的全部不重复的左陪集做成的集合 则左陪集将与右陪集具有完全相似的性质 同时有如下结论定理5 1 3设H为群G的子群 则SR与SL之间存在双射 二 陪集与拉格朗日定理 定理5 1 3设H为群G的子群 则SR与SL之间存在双射 证明 作 SR SL 其中 Ha a 1H 必是映射 Ha Hb SR 若Ha Hb 则ab 1 H 即存在h H 使得ab 1 h 即b 1 a 1h 进而b 1 a 1H 故a 1H b 1H 即 Ha Hb 这说明 是个映射 二 陪集与拉格朗日定理 定理5 1 3设H为群G的子群 则SR与SL之间存在双射 证明 作 SR SL 其中 Ha a 1H 必是满射 cH SL 存在Hc 1 R 使 Hc 1 c 1 1H cH 所以 必是满射 必是单射 设 Ha a 1H 若a 1H b 1H 则ab 1H H 即存在h1 h2 H 使得ab 1h1 h2 即ab 1 h2h1 1 进而a h2h1 1b 即h2 1a h1 1b 故Ha Hb 所以 必是单射 综上知 必是双射 二 陪集与拉格朗日定理 定义5 1 10若H为群G的子群 则称H的右 左 陪集的个数为H在G中的指数 记为 G H 引理5 1 1设H为群G的子群 则H与H的任一个右陪集Ha之间都存在双射 证明 设 H Ha 其中 h H 有 h ha h H 作为h在 下的象ha是唯一确定的 所以 是映射 ha Ha 显然ha有原象h 所以 是满射 设 h1 h1a h2 h2a 若h1a h2a 则h1aa 1 h2aa 1 即h1 h2 所以 必是单射 综上知 是双射 二 陪集与拉格朗日定理 定理5 1 4 拉格朗日定理 设H为群G的子群 若 G N H n 且 G H j 则N nj 证明 因为 G H j 即H在群G中的右陪集只有j个 从而有G的右陪集分解 G Ha1 Ha2 Ha3 Haj 其中Ha1 H 由引理5 1 1知 Ha1 Ha2 Ha3 Haj n 所以 G Ha1 j 即N nj 由等式 N nj 知子群H的阶n是G的阶N的因子 于是 二 陪集与拉格朗日定理 推论5 1 2设G为有限群 则 a G 其阶m必是 G 的因子 即 a G 证明 设以元素a生成G的一个循环子群H a 则由拉格朗日定理知 H G 但 H m 所以m G 即 a G 第三节环 一 环的定义二 陪集与拉格朗日定理 一 环的定义 定义5 2 1设在非空集合R中定义了两个二元运算 与 如果在集合R中 R 构成阿贝尔群 R 构成半群 乘法 对加法 满足左 右分配律 即 a b c R 有a b c a b a c 且 b c a b a c a 则称 R 为环 例5 2 1在环 R 中 取集合R为整数集Z 和 为整数的加法和乘法运算 则容易验证 R 构成环 称之为整数环 记为Z 同理还可以得到有理数环 实数环 复数环 由于这四个环都是由数的集合组成的 故均称之为数环 一 环的定义 例5 2 2设集合Z i a bi a b Z 则按照整数加法运算 集合Z i 也构成了环 称为高斯整数环 例5 2 3模m的剩余类环 Zm 前边我们曾讨论了模m的剩余类加群 Zm 这里再为Zm定义一个乘法 i j i j 于是可以验证 Zm 构成一个环 为了便于理解 这里特取m 7 接下来证明 Z7 构成环 一 环的定义 例5 2 3证明 Z7 构成环 事实上 Z7 正是模7剩余类加群 Z7 是半群 由下边的乘法运算表可知 Z7 对乘法运算封闭 且满足结合律 一 环的定义 例5 2 3证明 Z7 构成环 a b c Z7 有 a b c a b c a b c a b a c a b a c a b a c 同理 b c a b a c a 因而 Z7 构成环 一 环的定义 环 R 在集合R上定义了两个二元运算 并且这两个二元运算通过分配律建立了彼此的联系 但同时注意到集合R对于乘法只要求构成半群 乘法满足封闭性和结合律 所以为环在乘法方面留下了很大的发展空间 一旦某些乘法再满足其它一些条件 就可以得到一些特殊类型的环 首先引入如下定义定义5 2 2若环R中存在非零元素a和b 使得a b 0 则称a是R的一个左零因子 b是R的一个右零因子 进一步地 若环R中的元素a既是左零因子 又是右零因子 则称a为零因子 一 环的定义 例5 2 4容易验证在环 Z6 中 有 2 3 0 因而 2 是Z6的一个左零因子 同时 3 是Z6的一个右零因子 又由 3 2 0 知 2 也是Z6的一个右零因子 3 也是Z6的一个左零因子 而因而 2 和 3 都是Z6的零因子 但是观察环 Z7 的乘法运算表2 我们会发现找不到这样的非零元素a与b 故环 Z7 中既无左零因子 也无右零因子 注 在环R中左零因子和右零因子这两个概念彼此依赖 有左零因子 有右零因子 若a是R的左零因子 一般a未必同时是R的右零因子 若环R是交换环 则R的每个左 或右 零因子都是零因子 一 环的定义 定义5 2 3若环R中没有左零因子 自然也就没有右零因子 则称环R为无零因子环 进一步地 定义5 2 4若环 R 中具有乘法运算的单位元 则称环 R 为有单位元环 若环 R 中的乘法运算满足交换律 则称环R为可换环 一个不含零因子的交换环称为整环 若环 R 中的非零元在乘法运算下构成群 则称环 R 为除环 可交换的除环称为域 一 环的定义 注意 环中的乘法单位元显然不只代表整数1 例如 Z7 中的单位元为 1 并不是每个环都有单位元 例如偶数环 若环R中有单位元 则这个单位元必是唯一的 例5 2 5所有数环以及剩余类环Zm都是可换环 整数环 模m剩余类环 m为素数时 都是整环 而偶数环 无单位元 模m剩余类环 m为合数时 有零因子 不是整环 一 环的定义 接下来 有必要对域的概念及性质做进一步地强调 首先 域是定义了两个二元运算 加法和乘法的非空集合 该集合对加法构成了阿贝尔群 其加法的零元记为0 集合中的所有非零元对乘法也构成了阿贝尔群 其乘法的单位元记为e 且0 e 两个二元运算乘法和加法通过分配律a b c ab ac联系在一起 前面曾介绍的很多数环都是域 称为数域 例如有理数域Q 实数域R 复数域C 定义5 2 5只包含有限个元素的域称为有限域 或迦罗瓦域 一 环的定义 定理5 2 1若p是素数 则模p的剩余类环Zp构成域 证明 首先模p的剩余类环Zp是不含零因子的可换环 即整环 否则设 a 是Zp的任意一个零因子 则存在 b Zp 且 b 0 使得 a b 0 由 b 0 得到p b 而由 a b ab 0 又知p ab 故p a 即 a 0 也即Zp的零因子只有 0 故Zp是整环 其次易知Zp有单位元 1 一 环的定义 最后由域的定义只需证明每个非零元素 a 都有逆元即可 为此 x Zp 作映射f x a x 则由乘法运算的封闭性知 a x Zp 即f Zp Zp 若f Zp Zp 则必定可以找到一个 x Zp 使得 a x 1 即 x a 1 下面证明f Zp Zp 一 环的定义 下面证明f Zp Zp 由于f Zp a x x Zp 故当 x 取遍Zp时 a x 取遍Zp 且若 x1 x2 则由中无零因子知 a x1 a x2 因而 f Zp Zp 即集合f Zp 与Zp有相同个数的元素 因而结合f Zp Zp 就得到f Zp Zp 一 环的定义 定义5 2 6 子环 若环R的一个子集S在环R的加法和乘法运算下也构成环 则称S为R的子环 类似地可以给出如下子整环 子除环和子域的定义 定义5 2 7若整环 除环或域 R的子集S在整环 除环或子域 R的加法和乘法运算下也构成整环 除环或域 则称S为整环 除环或域 R的子整环 子除环或子域 例5 2 6容易验证整数模7的剩余类环Z7中的子集S 0 1 2 4 构成了Z7的子环 且该子环还是一个子域 其中 1 为单位元 而 2 与 4 互为逆元 一 环的定义 定义5 2 8 理想 设I是环R的一个子环 若 a I r R 都有ra I 或ar I 则称I是R的一个左理想 或右理想 若 a I r R 都有ar I且ra I 则称I是R的一个理想 例5 2 7任一个环R至少都有如下两个理想 0 零理想 R 单位理想 统称为环R的平凡理想 而将其它理想 若存在 称之为环R的真理想 例5 2 8容易验证偶数环是整数环的理想 二 多项式环 设R是任意环 则环R上的多项式可以表示为f x a0 a1x anxn 其中n为非负整数 系数ai为环R上的元素 x是不属于环R的一个符号 称为环R上的不定元 约定当系数ai 0时 项aixi可以不写 在此约定下 上面的多项式也可以等价地表述为f x a0 a1x anxn 0 xn 1 0 xn h 其中h为任意正整数 如此对环R上的两个多项式f x a0 a1x anxn与g x b0 b1x bmxm进行比较时 就可以假设他们都具有相同的幂指数 即m n 环R上的两个多项式f x g x ai bi 0 i n 二 多项式环 两个多项式f x 与g x 的加法与乘法运算分别定义为f x g x a0 b0 a1 b1 x an bn xn f x g x c0 c1x cn mxn m 容易验证环R上的多项式集在定义了如上的多项式的和与乘积运算之后构成环 称之为环R上的多项式环 记为R x R x 中的零元是系数全为零的多项式 这个多项式称为零多项式 记为0 二 多项式环 定义5 2 9设f x a0 a1x anxn为环R上的一个非零多项式 故可设an 0 并称an为多项式f x 的首系数 a0为f x 的常数项 而n称为f x 的次数 记n deg f x deg f 并约定deg 0 次数 0的多项式称为常数多项式 若环R有单位元1且f x 的首系数为1 就称f x 为首一多项式 例5 2 9多项式环Z7 x 中 多项式f x 6x5 5x4 x2 4的次数deg f x 5 首系数为6 常数项为4 由于多项式f x 的首系数不为1 因而f x 不是首一多项式 二 多项式环 定理5 2 2设f x 和g x R x 则deg f x g x max deg f x deg g x deg f x g x deg f x deg g x 若R是整环 则deg f x g x deg f x deg g x 例5 2 10多项式环Z6 x 中 多项式f x 2x3 x2 4 g x 3x2 x 3则deg f x 3 deg g x 2 而f x g x 2x3 4x2 x 1 f x g x 5x4 x3 3x2 4x deg f x g x 3 max deg f x deg g x deg f x g x 4 deg f x deg g x 5 二 多项式环 而在多项式环Z7 x 中 多项式f x 6x5 5x4 x2 4 g x 3x4 5x2 x 5则deg f x 5 deg g x 4 而f x g x 6x5 x4 6x2 2 f x g x 4x9 x8 2x7 6x6 x3 4x2 6 deg f x g x 5 max deg f x deg g x deg f x g x 9 deg f x deg g x 二 多项式环 定理5 2 3设R是一个环 则R x 是可换环当且仅当R是可换环 R x 是有单位元的环当且仅当R有单位元 R x 是整环当且仅当R是整环 并且与整数环上的素数相对应 在域F的多项式环F x 上可以定义既约多项式 定义5 2 11设f x 是次数大于零的多项式 若除了常数和常数与多项式f x 本身的乘积以外 f x 再不能被域F上的其它多项式除尽 则称f x 为域F上的既约多项式或不可约多项式 二 多项式环 注 由此定义f x 是不可约多项式的充要条件为f x 不能再分解为两个次数比f x 的次数更低的多项式的乘积 f x 是否可约与所讨论的域有很大关系 例如f x 3x2 1在实数域上是不可约的 但在复数域上可分解为f x x i x i 但不论在哪一个域上 凡是一次首一多项式都是不可约多项式 二 多项式环 定理5 2 4设f x 和g x F x g x 0 则存在多项式q x 和r x F x 使得f x q x g x r x 其中deg r x deg g x 定理5 2 5域F的多项式环F x 中的每一个首一多项式必定可以分解为首一不可约多项式的乘积 并且当不考虑因式的顺序时 这种分解是唯一的 第四节整环中的因子分解 一 一些基本概念二 唯一分解整环 一 一些基本概念 定义5 3 1设D是有单位元的整环 则 a b D 若c ab 则称a是c的因子 并称a可整除c 记作a c 若a b且b a 则称a与b相伴 记作a b 若a与b之积ab为单位元 则称a与b互为逆元 此时也称a与b皆为可逆元 或称a与b为单位 若c ab 且a与b都不是可逆元 则称a是c的真因子 一 一些基本概念 例5 3 1整数环中两个整数相伴的充要条件为这两个整数相等或只差一个负号 在多项式环中两个多项式相伴的充要条件为这两个多项式相差一个常数多项式 高斯整数环Z i 中的可逆元为 1 i 故两个高斯整数相伴的充要条件为这两个高斯整数相差 1或 i 例如 3 i 1 3i 一 一些基本概念 由定义5 3 1可得以下基本事实 其中集合U D 表示整环D中的所有可逆元构成的集合 由于 a D 均有0 a 0 a a 1 因而任意元素都是0的因子 而单位元l是任意元素的因子 由于若u U D 则 a D 均有a u u 1a 因而可逆元是任意元素的因子 由于 a b c D 若a b且b c 则a c 因而整除关系满足传逆性 一 一些基本概念 两元素相伴 则它们差一可逆元因子 设a b 则a b且b a 即存在元素u和v使得b ua a vb 因而b uvb 由于D中有单位元且无零因子 因而由b 1 uv 0 即得uv 1 所以u和v都是可逆元 相伴关系是等价关系 可逆元无真因子 且所有可逆元都与单位元l相伴 若u U D u ab 则u 1ab a u 1b u 1a b 1 即a与b都是可逆元 因而可逆元无真因子 又 u U D 有u 1u 1 而u 1为可逆元 故由4 知u与1相伴 一 一些基本概念 定义5 3 2设D是有单位元的整环 且D 为D中的所有非零元构成的集合 则 a b D p D U D 若由等式p ab 可知a U D 或b U D 则称p是不可约元或既约元 若由p ab 可知p a或p b 则称p是素元 例5 3 2在多项式环中的既约元与素元均指不可约多项式 在整数环中 既约元与素元均是指全体素数 但在高斯整数环中 素数就不一定是既约元了 例如 2是素数 且2 1 i 1 i 而高斯整数环中的可逆元只有 1与 i 故1 i与1 i均不是可逆元 故2在Z i 中不是既约元 显然也不是素元 一 一些基本概念 定理5 3 1设D是有单位元的整环 则D中的素元必是既约元 证明 设p是素元且p ab 则由p ab可得p ab 而由p是素元可得p a或p b 若p a 则由p ab可得a p 即p a 因而b U D 若p b 则由p ab可得a p 即p b 因而a U D 即a与b中总有一个可逆元 所以p是既约元 一 一些基本概念 定义5 3 3设D是有单位元的整环 a b D 若存在d D使得以下两个条件成立 则称d是a和b的最大公因子 d a d b d D 若d a且d b 则d d 引理5 3 1 a与b的任意两个最大公因子是相伴的 证明 若d是a与b的最大公因子 则 u U D ud也是a与b的最大公因子 即a与b的任意两个最大公因子是相伴的 因而以下当a与b的最大公因子存在时 以 a b 表示a与b的任意一个最大公因子 一 一些基本概念 引理5 3 2 a b c a b c 证明 设dl a b c d2 a b c 则dl a且dl b c 进而dl a dl b 则dl a b 又dl c 因而d1 a b c d2 类似d2 d1 所以d2 d1 即 a b c a b c 一 一些基本概念 引理5 3 3 c a b ac bc 证明 令d a b d1 c a b cd d2 ca cb 则d1 cd ca和d1 cb 得d1 d2 令d2 ud1 ca xd2 则ca xud1 xucd 得a xud 类似地 若令cb yd2 可得b yud 因而ud a b d 得u 1 所以d1 d2 即c a b ac bc 一 一些基本概念 引理5 3 4 若 a b 1 a c 1 则 a bc 1 证明 由于 a bc a ac bc 又由引理5 3 2知 a ac bc a ac bc 即存在v U D 使得 a ac bc v a ac bc 由引理5 3 3知 ac bc c a b 即存在m U D 使得 ac bc mc a b 而由 a b 1 知存在u U D 使得 a b u 因而 ac bc mcu 进而 a bc v a ac bc v a mcu v a muc 又 a c 1 故存在w U D 使得 a c w 下证 a c a muc 一 一些基本概念 首先由 a c w知w a w c 因而w a w muc 即w是a与muc的公因子 因而w a muc 又令 a muc s 则s a s muc 由于mu为可逆元 因而s c 故s a c 即 a c a muc 故存在x U D 使得x a c a muc 因而 a bc v a muc vx a c xvw 由于x v与w 都是可逆元 因而它们的乘积仍然是可逆元 故 a bc 1 一 一些基本概念 定理5 3 2设D是有单位元的整环 若 a b D a b 存在 则D中的每个既约元也是素元 证明 设p是D中的既约元 并设p ab 若p不是素元 则p a且p b 若p a 令 a p d 则d a且d p 即在D中存在元素c与e 使得a dc且p de 由p是D中的既约元 得到d U D 或e U D 若e U D 则d pe 1 因而a pe 1c 即p a 矛盾 故d U D 即 a p 1 同理若p b 则 p b 1 由引理5 3 4知 p ab 1 另一方面 由p ab 可知 p ab p 结合 p ab 1 知p 1 这与p不是可逆元矛盾 此矛盾表明p a或p b 二 唯一分解整环 定义5 3 4设D是有单位元的整环 若 a D U D a可分解为有限个既约元之积 即a p1p2 ps 其中pi i 1 2 s 为既约元 若a p1p2 ps q1q2 qt 其中pi 1 i s qj 1 j t 均为既约元 则s t 且适当调换次序后可以使得pi qi 1 i s 则称D是唯一分解整环 由定理5 3 2知唯一分解整环有以下重要性质 定理5 3 3设D是唯一分解整环 则D中任何两个不全为0的元素均有最大公因子 因而D中每一个既约元也是素元 二 唯一分解整环 定理5 3 4设D是有单位元的整环 则以下三个命题等价 D是唯一分解整环 D满足下列两条件 D中的任意真因子序列a1 a2 ai 其中ai 1是ai的真因子 只能含有有限项 D中任何两元素均有最大公因子 D满足下列两条件 D中的任意真因子序列a1 a2 ai 其中ai 1是ai的真因子 只能含有有限项 D中每一既约元都是素元 二 唯一分解整环 证明 1 2 由于D是唯一分解整环 a1只能分解为有限个既约元之积 因而a1的真因子序列只有有限项 条件a 满足 由定理5 3 3知条件b 也满足 2 3 由定理5 3 3可得 3 1 设a是D U中任一元素 首先证明a可分解为有限个既约元之积 若a是既约元 则得证 否则a可分解为a p1a1 其中p1为既约元 再对a1作同样的分解 则或a1是既约元 结论得证 或a1 p2a2 其中p2为既约元 继续分解 如此 可得真因子序列a a1 由条件a 该序列必终止于有限项 设as ps 1是既约元 则a p1p2 psps 1 二 唯一分解整环 再证分解式的唯一性 设a p1p2 ps q1q2 qt 对分解式中因子的个数s作数学归纳 s 1时a p1为既约元 不可能再分解为两个以上的既约元的乘积 故t 1 a p1 q1 假设结论对s 1成立 当a p1p2 ps q1q2 qt时 p1 q1q2 qt 由于p1是素元 故必有某个qk使p1 qk 由于qi的次序可任意排列 不妨设p1 q1 于是q1 up1 又q1也是既约元 故u U D 即p1 q1 将q1 up1代入a的分解式 并消去p1得到a p2p3 ps uq2 q3 qt 由归纳假设 得s t 并适当排列次序后可得pi qi 2 i s 因此结论对任何正整数s均成立 二 唯一分解整环 例5 3 3由高等代数知识知整数环Z和数域F上的多项式环均满足唯一分解整环的定义 因而都是唯一分解整环 且每一既约元都是素元 而环Z 即由所有形如x y x y Z 的元素构成的集合中 并不是任意两个元素都有最大公因子 因而不是唯一分解整环 例如取a 2 2 b 3 2 则容易验证 a b 就不存在 二 唯一分解整环 引理5 3 5在唯一分解整环内 n次代数方程最多有n个根 利用这一性质可以证明以下定理 定理5 3 6域的乘群的任何有限子群是循环群 证明 设G是域F的有限子乘群 令m是G中所有元素的阶的最小公倍数 由拉格朗日定理G中任意元素的阶均为群G的阶的因子 因而若设c为G中阶为m的元素 则m G 另一方面 G中的元素均满足方程xm l 0 而多项式f x xm l F x 在F上最多有m个不同的根 故 G m 由此得 G m 所以G c 二 唯一分解整环 2 1 主理想整环2 2 欧几里德整环 2 1 主理想整环 定义5 3 5在可换环R中 由一个元素a R所生成的理想I a ra na r R n Z 称为环R的一个主理想 称元素a为该主理想的生成元 如果在一个有单位元的整环中每一个理想都是主理想 则此环称为主理想整环 例5 3 4环 Z 是否为主理想整环 解 设I是Z的任一理想 由于I首先是Z的子加群 而Z中的子加群都是循环群 所以存在n Z 使得I n 即I是主理想 所以Z是主理想整环 2 1 主理想整环 例5 3 5设F是数域 F x 是否为主理想整环 解 设H是F x 的任一理想 令I deg f x f x H 因为deg f x 0 I是非负整数集的一个子集 由自然数集的良序性 I有最小元 设m是I的最小元 即存在多项式f x H 使得deg f x m 由带余数除法对任何g x H有g x p x f x r x 其中r x 0或deg r x m 但因r x g x p x f x H 如若r x 0 将与m的最小性矛盾 故g x p x f x 所以H f x 即F x 是主理想整环 2 1 主理想整环 定理5 3 7每个主理想整环都是唯一分解整环 证明 设D是主理想整环 首先用反证法证明 x D U D 其真因子序列只有有限项 假设存在一个元素a D U D 其真因子序列a a0 a1 a2 具有无限项 则对应的可以得到一个主理想的升链 a a1 a2 令 则A也是D的一个理想 由于D是主理想整环 故存在元素r D 使得A r 2 1 主理想整环 A r 由r D 可设r ak 则 i k 均有 ak r 同时 i 均有 ai A r 因而 i k 均有 r ai 故 i k 均有ai r 于是 i 这些ai彼此相伴 因而D中任意的真因子序列均终止于有限项 其次证明 a b D a b 存在 令I xa yb x y D 则I是由a b生成的理想 2 1 主理想整环 I xa yb x y D 是由a b生成的理想 由D是主理想整环 存在元素d D 使得I d 由于a 1 a 0 b b 0 a 1 b 因而 a d b d 即d a d b 又若存在d 使得d a且d b 则 a d b d 因而 d 中包含了所有形如ra sb的元素 即 d d 从而d d 即d a b 综上 知D是唯一分解整环 2 1 主理想整环 推论5 3 1设D是主理想整环 a b D d是a b的最大公因子 则存在p q D 使pa qb d 推论5 3 2设D是主理想整环 p是既约元 则D p 是域 证明 因p是既约元 故p必定不是可逆元 因而p不与1相伴 即1 p 故D p 0 又 a D p 若 a 0 则 a p 1 进而由推论5 3 1知存在r s D 使得ra sp 1 则 ra r a 1 所以 a 可逆 因而D p 中的所有非零元对乘法做成群 因而D p 是域 2 2 欧几里德整环 定义5 3 6设D是有单位元的整环 若存在一个从D的所有非零元构成的集合D 到非负整数集的映射d 使得取定a D 之后 b D 都存在q r D 使得b q a r 这里r 0或者d r d b 则称D为欧几里得整环 简称欧氏环 例5 3 6证明整数环Z是欧氏环 证明 因为 a Z 可以规定d a a 则d是Z 到非负整数集的映射 进而由整数的性质知 a b Z a 0 都会存在q r Z 使得b q a r 这里0 r a 因而由欧氏环的定义知道整数环是欧氏环 2 2 欧几里德整环 例5 3 7证明域F上的多项式环F x 是欧氏环 证明 因为 f x F x 可以规定d f x deg f x 则d是F x 到非负整数集的映射 进而由多项式环的性质知 f x g x F x g x 0 在F x 中都可以找到多项式q x 与r x 使得f x q x g x r x 这里r x 0或deg r x deg g x 因而由欧氏环的定义知道域F上的多项式环F x 是欧氏环 2 2 欧几里德整环 定理5 3 8欧氏环是主理想整环 因而是唯一分解整环 证明 设R是欧氏环 I是R的任意理想 若I 0 则I 0 若理想I包含非零元 由欧氏环定义 存在R 到非负整数集的一个映射d 令A d x x I x 0 则A是非负整数的集合 在集合A中 由自然数集的良序性一定有一个最小者 设为d a 即 x I x 0 均有d a d x 2 2 欧几里德整环 同时 由欧氏环的定义 b I都有b q a r 其中r 0或者d r d a 若r 0 则应有d r d a 但由于a和b都属于理想I 由理想的吸收性知r b q a I 因而d a d r 矛盾 因此r 0 即b q a 从而I a 综上 欧氏环是主理想整环 进而欧氏环是唯一分解整环 例5 3 8由例5 3 6与例5 3 7知整数环Z与域F上的多项式环F x 都是欧氏环 因而都是唯一分解整环 2 2 欧几里德整环 本节证明只要给定欧氏环D以及素元p 就可以构造一个域 首先由欧氏环中任意选取一个元素m 同时定义等价关系 a b当且仅当m a b 由这个等价关系 可以将欧氏环D划分为若干个互不相交的等价类 这里仍然沿用数论部分的记号 记m a b 当且仅当a b modm 同时将D中的元素a所在的等价类记为 2 2 欧几里德整环 接下来为这些等价类所构成的集合定义与数论部分相同的二元运算 加法和乘法 加法 乘法 容易验证此等价类集合在如上定义的两个二元运算下构成环 记为Dm 在这个环中加法的零元为 x D x 0 modm 乘法的单位元为 x D x 1 modm 那么在什么条件下环Dm可以构成域呢 2 2 欧几里德整环 由域的定义注意到只要在这个环中每个非零元均有乘法逆元存在即可 即对任意的 都可以找到一个 使得然而这个条件并不总是成立的 例如在Z6中 容易验证有即Z6中有零因子 因而不能构成域 一般地定理5 4 1若D是欧式环 p是素元 则Dp构成域 证明 在前一节已经证明了若D是主理想整环 p是既约元 则D p 构成域 由于欧式环是主理想整环 并且在主理想整环中素元就是既约元 因而结论成立 2 2 欧几里德整环 例5 4 1取欧氏环D Z 同时设素元p是任意的素数 则得到一个恰有p个元素的重要有限域 记为Fp或GF p 由于存在无限多的素数 因而这样的一个构造方法可以得到无限多的有限域 例如取素数p 7 则Dp构成了有7个元素的域 接下来 在该域中找一下的逆元 首先利用欧几里得算法来找5和7的一个等于1的线性组合 由于7 3 5 4 1 因而即为的逆元 2 2 欧几里德整环 例5 4 2 取欧氏环为实数域上的多项式环 即D R x 同时取素元p为不可约多项式p x Ax2 Bx C 实数域上的不可约性等价于有负的判别式 即 B2 4AC 0 此时 会得到无限多个等价类 但是任意一个多项式对p x Ax2 Bx C取模 其结果都恰好会同余于一个次数为0或1的多项式 f x r x modAx2 Bx C 这里r x 是f x 被Ax2 Bx C除得到的余式 因而等价类的代表元具有线性形式a bx 其中a与b为实数 2 2 欧几里德整环 接下来在所有这些等价类构成的集合中规定两个元素a bx与c dx的加法与乘法运算如下 同时注意到只需要注意到x2 B A x C A modp x 因而 a bx c dx ac bdC A ad cb bdB A x modp x 这里如果不将a bx看做是多项式 而将其看成是二维向量 a b 则只要B2 4AC 0 由运算规则 a b c d ac bdC A ad cb bdB A 就可以将二维实数向量空间转换成域 2 2 欧几里德整环 这里所做的实际上就是将任意一个二次不可约多项式p x 的一个复根添加到实数域 从而得到复数域 例如取不可约多项式p x 2x2 1 则只需要注意到 就可以得到其乘法运算规则为在这个运算规则中只要把符号x换成i 就会得到这就是复数的乘法运算规则 由此构造出了复数域 2 2 欧几里德整环 例5 4 3在环F7 x 中 设a x x5 3x4 5x3 x2 2x 1 b x 3x3 2x2 4x 1 那么是否可以找到多项式q x 和r x 使得a x q x b x r x 且deg r deg b 呢 实际上 这里只需执行普通的多项式除法 同时注意我们的运算是在域F7上进行的 因而由下面的运算式 可以得到q x 5x2