高中数学全程复习方略3.3.2 函数的极值与导数(共65张PPT).ppt

3 3 2函数的极值与导数 1 了解函数极值的概念 会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系 并会灵活应用 2 结合函数的图象 了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 3 会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值 极小值 1 本课重点是利用导数求函数的极大值 极小值 2 本课难点是极值的综合应用 3 本课易混点是导数等于0的点与极值点的关系 1 极小值点与极小值的定义 1 特征 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 且 2 实质 在点x a附近的左侧 右侧 3 极小值点是 极小值是 2 极大值点与极大值的定义 1 特征 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 且 都小 f a 0 f x 0 f x 0 f a 点a 都大 f b 0 2 实质 在点x b附近的左侧 右侧 3 极大值点是 极大值是 3 极值的定义 1 极大值与极小值统称 2 极值反映了函数在某一点附近的 刻画的是函数的 4 函数在某点取得极值的必要条件函数y f x 在点x x0处取得极值的必要条件是 f x 0 f x 0 点b f b 极值 大小情况 局部性质 f x0 0 5 求函数y f x 的极值的方法解方程f x0 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 1 函数的极大值一定大于极小值吗 在区间内函数的极大值和极小值是唯一的吗 提示 不一定 不一定唯一 2 已知函数y f x 的导函数y f x 的图象如图所示 则函数f x 有 个极大值点 个极小值点 解析 由图象得在x x2时导数值为0 且左侧f x 0 右侧f x 0 故x x2为极大值点 在x x3时导数值为0 且左侧f x 0 右侧f x 0 故x x3为极小值点 答案 11 3 函数f x x3 3x2 7的极大值为 解析 f x 3x2 6x 解3x2 6x 0得x 0或x 2 f x 的增区间为 2 和 0 f x 的减区间为 0 2 当x 0时 函数取得极大值f 0 7 答案 7 1 极值概念的理解在定义中 取得极值的点称为极值点 极值点指的是自变量的值 极值指的是函数值 请注意以下几点 1 极值是一个局部概念 由定义可知 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小 2 函数的极值不一定是唯一的 即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如图所示 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 4 函数f x 在某区间内有极值 它的极值点的分布是有规律的 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 一般地 当函数f x 在某区间上连续且有有限个极值点时 函数f x 在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的 2 极值点与导数为零的点的辨析 1 可导函数的极值点是导数为零的点 但是导数为零的点不一定是极值点 即 点x0是可导函数f x 的极值点 是 f x0 0 的充分不必要条件 2 可导函数f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧和右侧f x 的符号不同 3 如果在x0的两侧f x 的符号相同 则x0不是f x 的极值点 求已知函数的极值 技法点拨 求函数极值的步骤 确定函数f x 的定义域 求导函数f x 用f x 0的根将定义域分成若干区间 列表 求f x 在定义域内的所有根 由各个区间内f x 的符号 判断极值情况 典例训练 建议教师以第2题为例题重点讲解 1 已知函数f x x3 px2 qx的图象与x轴切于 1 0 点 则f x 的极大值为 极小值为 2 求函数f x x4 x3的极值 解析 1 f x 与x轴切于 1 0 点 f x 3x2 2px q f 1 3 2p q 0 又f 1 1 p q 0 p 2 q 1 f x 3x2 4x 1 由f x 0得x1 x2 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 0 0 0 f x 极大值 f f x 极小值 f 1 0 答案 02 f x x4 x3 f x 4x3 3x2 令f x 0 即4x3 3x2 0 得x2 4x 3 0 x 0或x 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可知 函数f x 在区间 0 上是减函数 在区间 0 上还是减函数 因此x 0不是函数的极值点 而函数f x 在区间 0 上是减函数 在区间 上是增函数 因此在x 处取得极小值 其值为 0 0 不是极值 总结 解答题1的关键点及解答题2时的注意点 提示 1 解答题1的关键点是函数f x 的图象与x轴切于 1 0 点所隐含的两个条件的挖掘 即f 1 0与f 1 0 2 解答题2时的注意点是f x 0的点左右两侧f x 异号 解题时极易忽视 已知函数的极值求参数 技法点拨 已知函数极值点或极值求参数的两个注意点 1 常根据极值点处导数为0和极值的两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 典例训练 建议教师以第2题为例题重点讲解 1 若函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处取得极值10 则a b 2 已知f x x3 ax2 bx c在x 1与x 时都取得极值 1 求a b的值 2 若f 1 求f x 的单调区间和极值 解析 1 f x 3x2 2ax b 依题意得即解得或但由于当a 3 b 3时 f x 3x2 6x 3 0 故f x 在R上单调递增 不可能在x 1处取得极值 不合题意 舍去 而当时 经检验知 符合题意 故a b的值分别为4 11 答案 4 11 2 1 f x 3x2 2ax b 令f x 0 由题设知x 1与x 为f x 0的解 a b 2 2 由 1 知f x x3 x2 2x c 由f 1 1 2 c 得c 1 f x x3 x2 2x 1 f x 3x2 x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x 的递增区间为 和 1 递减区间为 1 当x 时 f x 有极大值为f 当x 1时 f x 有极小值为f 1 0 0 互动探究 若题2变为 已知f x x3 ax2 bx c在x 1与x 时都取得极值 且函数的极小值为 求f 1 如何求解 解题指南 解答本题 需确定函数的解析式 先对函数进行求导 由题意可得x 1与x 为f x 0的解 进而可求出a b的值 函数的极值可用c表示出来 由函数的极小值为 可求出c值 解析 f x 3x2 2ax b 令f x 0 由题设知x 1与x 为f x 0的解 a b 2 f x x3 x2 2x c f x 3x2 x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x 的递增区间为 和 1 递减区间为 1 当x 1时 f x 有极小值为f 1 c c 即c 1 f x x3 x2 2x 1 f 1 1 2 1 归纳 解答题1的注意点及解答题2时的关键点 提示 1 解答题1时应紧扣函数极值的定义 解完方程组后 应把方程组的解代入原函数 根据函数极值的定义验证是否符合题意 进行灵活的取舍 2 解答题2时把握住题目中的函数的极值点是导函数值等于零的方程的根这一实质进行合理的转化 变式训练 已知函数f x x5 ax3 bx 1 仅当x 1时取得极值 且极大值比极小值大4 求a b的值 解析 f x x5 ax3 bx 1的定义域为R f x 5x4 3ax2 b x 1时有极值 5 3a b 0 b 3a 5 代入f x 得 f x 5x4 3ax2 3a 5 5 x4 1 3a x2 1 x2 1 5 x2 1 3a x 1 x 1 5x2 3a 5 y f x 仅当x 1时有极值 5x2 3a 5 0对任意x成立 3a 5 0即a 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由此可知 当x 1时取极大值 当x 1时 取极小值 f 1 f 1 4 即得a b 3 由 解得 函数极值的综合应用 技法点拨 极值问题的综合应用技巧极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用 以及与单调性问题的综合 题目着重考查已知与未知的转化 以及函数与方程的思想 分类讨论的思想在解题中的应用 在解题过程中 熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键 典例训练 1 函数f x x3 x2 5x 2的图象与直线y k恰有三个不同的交点 则实数k的取值范围为 2 函数f x ax3 6ax2 3bx b 其图象在x 2处的切线方程为3x y 11 0 1 求函数f x 的解析式 2 若函数y f x 的图象与y f x 5x m的图象有三个不同的交点 求实数m的取值范围 解析 1 f x x3 x2 5x 2 f x 3x2 2x 5 由f x 0得x 或x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 0 0 1 根据上表 当x 时函数取得极大值且极大值为f 当x 1时函数取得极小值且极小值为f 1 1 根据题意结合下图可知k的取值范围为 1 答案 1 2 1 由题意得f x 3ax2 12ax 3b f 2 3且f 2 5 即解得a 1 b 3 f x x3 6x2 9x 3 2 由f x x3 6x2 9x 3 可得f x 3x2 12x 9 f x 5x m 3x2 12x 9 5x m x2 x 3 m 则由题意可得x3 6x2 9x 3 x2 x 3 m有三个不相等的实根 即g x x3 7x2 8x m的图象与x轴有三个不同的交点 g x 3x2 14x 8 3x 2 x 4 令g x 0得x 或x 4 当x变化时 g x g x 的变化情况如表 0 0 m 16 m 则函数g x 的极大值为g m 极小值为g 4 16 m 由y f x 的图象与y f x 5x m的图象有三个不同交点 得解得 16 m 思考 解答题1时函数f x 的图象与y k有三个不同的交点的实质是什么 解答题2时的转化思想是什么 提示 1 解答题1时函数f x 的图象与y k有三个不同的交点的实质是k介于函数f x 的极大值与极小值之间 2 解答题2时的转化思想是构造新函数 问题转化为新的函数图象与x轴有三个不同的交点 变式训练 已知a为实数 函数f x x3 3x a 1 求函数f x 的极值 并画出其图象 草图 2 当a为何值时 方程f x 0恰好有两个实数根 解析 1 由f x x3 3x a 得f x 3x2 3 令f x 0 得x 1或x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由表可知函数f x 的极小值为f 1 a 2 极大值为f 1 a 2 由单调性 极值可画出函数f x 的大致图象 如图所示 这里 极大值a 2大于极小值a 2 a 2 a 2 0 0 2 结合图象 当极大值a 2 0时 有极小值小于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰有两个实数根 所以a 2满足条件 当极小值a 2 0时 有极大值大于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰好有两个实数根 所以a 2满足条件 综上 当a 2时 方程恰有两个实数根 规范解答 含参函数的极值点问题 典例 12分 已知函数f x x3 m 3 x2 m 6 x x R 其中m为常数 1 当m 4时 求函数的极值点和极值 2 若函数y f x 在区间 0 上有两个极值点 求实数m的取值范围 解题指导 规范解答 函数的定义域为R 1 当m 4时 f x x3 x2 10 x f x x2 7x 10 令f x 0 解得x 5或x 2 3分当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由表知 函数的极大值点是x 2 极大值是 函数的极小值点是x 5 极小值是 6分 2 f x x2 m 3 x m 6 8分 要使函数y f x 在 0 有两个极值点 则有方程f x 0在 0 上有两个不同的实数根 即 10分解得m 3 m 12分 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的失分警示和解题启示总结如下 注 此处的 见规范解答过程 规范训练 12分 2012 龙岩高二检测 已知函数f x x3 2ax2 3x a R 1 当 a 时 求证 f x 在 1 1 内是减函数 2 若y f x 在 1 1 内有且只有一个极值点 求a的取值范围 解题设问 1 解答本题需要讨论吗 2 若需要 讨论的标准是什么 a的取值对函数极值的影响 即时 f x 在 1 1 内有且只有一个极值点 且是极大值点 时 f x 在 1 1 内有且只有一个极值点 且是极小值点 时 f x 在 1 1 内无极值点 需要 规范答题 1 f x x3 2ax2 3x f x 2x2 4ax 3 2分 a 4分又 二次函数f x 的图象开口向上 在 1 1 内f x 0 故f x 在 1 1 内是减函数 6分 2 设极值点为x0 1 1 则f x0 0 当a 时 8分 在 1 x0 内f x 0 在 x0 1 内f x 0 即f x 在 1 x0 内是增函数 f x 在 x0 1 内是减函数 当a 时 f x 在 1 1 内有且只有一个极值点 且是极大值点 10分 当a 时 同理可知 f x 在 1 1 内有且只有一个极值点 且是极小值点 当 a 时 由 1 知f x 在 1 1 内没有极值点 故所求a的取值范围为 12分 1 设x0为可导函数f x 的极值点 则下列说法正确的是 A 必有f x0