抽象函数定义域的求法.doc

抽象函数的定义域总结解题模板1.已知的定义域，求复合函数的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。2.已知复合函数的定义域，求的定义域方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。3.已知复合函数的定义域，求的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。4.已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。例1已知函数的定义域为，求的定义域分析：若的定义域为，则在中，从中解得的取值范围即为的定义域本题该函数是由和构成的复合函数，其中是自变量，是中间变量，由于与是同一个函数，因此这里是已知，即，求的取值范围解：的定义域为，故函数的定义域为变式训练：若函数的定义域为，则的定义域为 。分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。解：依题意知： 解之，得：的定义域为例2已知函数的定义域为，求函数的定义域分析：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域这种情况下，的定义域即为复合函数的内函数的值域。本题中令，则，由于与是同一函数，因此的取值范围即为的定义域解：由，得令，则，故的定义域为变式训练： 已知函数的定义域为，则的定义域为_。解：由，得所以，故填例3. 函数定义域是，则的定义域是（ ）A. B. C. D. 分析：已知的定义域，求的定义域，可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域解：先求的定义域的定义域是，即的定义域是，再求的定义域的定义域是，故应选A变式训练：已知函数f(2x）的定义域是-1，1，求f(log2x)的定义域.分析：先求2x的值域为M则log2x的值域也是M，再根据log2x的值域求定义域。解 y=f(2x)的定义域是-1，1，即-1x1,2x2.函数y=f(log2x)中log2x2.即log2log2xlog24,x4.故函数f(log2x)的定义域为，4例4若的定义域为，求的定义域分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集解：由的定义域为，则必有解得所以函数的定义域为变式训练：已知函数的定义域是，求的定义域。分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。解：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是例5 若函数f(x+1)的定义域为，2，求f(x2)的定义域分析：已知f(x+1)的定义域为，2，x满足x2，于是x13，得到f(x)的定义域，然后f(x2)的定义域由f(x)的定义域可得解：先求f(x)的定义域：由题意知x2，则x13，即f(x)的定义域为，3，再求fh(x) 的定义域： x23，解得x或xf(x2)的定义域是x|x或x例6、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为，由于，于是，即。又，的取值范围是。解：由题意得 xy+x2=8,y=(0x4). 于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2()=(+)x+4. 当(+)x=,即x=84时等号成立. 此时, x2.343,y=22.828. 故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.变式训练：13.（2007北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.解（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图），则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程(y0),解得y=2 (0xr).S=(2x+2r)2=2(x+r),其定义域为x|0xr.（2）记f(x)=4(x+r)2(r2-x2),0xr,则f(x)=8(x+r)2(r-2x).令f(x)=0,得x=r.因为当0x0;当xr时,f(x)0，所以f（r）是f(x)的最大值.因此，当x=r时，S也取得最大值，最大值为.即梯形面积S的最大值为巩固训练（各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析）1. 设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为_。（2）函数的定义域为_。分析：做法与例题1相同。解：（1）由已知有，解得故的定义域为（2）由已知，得，解得故的定义域为2、已知函数的定义域为，则的定义域为_。分析：做法与例题2相同。解：由，得所以，故填3、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为_。