代数学：具体—抽象.ppt

代数学 具体 抽象 从巴比伦到古希腊 阿尔 花拉子模到韦达的代数术 伽罗瓦与群论 诺特与抽象代数 从巴比伦到古希腊 一 巴比伦的代数知识积累 二 古埃及的算术方法 四 丢番图的缩写代数 三 古希腊的几何代数法 从巴比伦到古希腊一 巴比伦的代数知识积累 1 巴比伦泥板中的基本问题 求一个数使它与它的倒数之和等于一个已知数 已知两个数之和与两个数之积 求此两数 已知两正方形面积之和为1000 其中一个正方形的边长为另一个正方形边长的三分之二还少10 求两正方形的边长各为多少 2 用数表求解方程 x x 10 xx x x x 1112用线性插值法 24812 10在 2 12 之间8 10处392736故x 1 84166480 3 复利问题 设利息为20 何时能使本与利之和为本金的两倍 1 20 n 2 首先注意到3 n 4 然后插值得 1 20 4 24 n 1 20 4 1 20 二 古埃及的算术方法 Rhind纸草书第31题 一个数 它的三分之二 它的一半 它的七分之一 它的全部 加起来是33 古埃及人用简单的算术方法就可以求解 Rhind纸草书第63题 把700块面包分给4个人 第一个人得三分之二 第二个人得二分之一 第三个人得三分之一 第四个人四分之一 Rhind纸草书第40题 5个人分100块面包 欲使各人所得面包数之差相等 并使最大三个数之和的七分之一等于最小两个数之和 三 古希腊的几何代数法 原本 第2卷 几何代数法 用线段长表示数 面积大小表示数积 体积大小表示立方积 定义 加 减 乘 除 开方 原本 第2卷命题1 10 分别可以表示成关系式 a b c d ab ac ad a b a a b b a b a b a a ab a b a b 2abab a b 2 b a b 2 a b b a 2 a 2 b a b a 2 a b a b 4 a b a b 2a b a b b 2 a 2 a 2 b a b b 2 a 2 a 2 b 原本 第2卷命题11 分已知线段为两部分 使它和一部分所成矩形等于另一部分上的正方形 设AB a AH x 应有a a x x x ax a 0 作正方形ABCD 取AE ED 延长EA 使EF EB 作正方形AFGH AH为所求 四 丢番图的缩写代数 xx x x4x5x6 3x 12 M 表示 x 2x 3 M x6 5x4 x 3x 2 M 解题步骤用文字表示 运算纯算术性 不借助任何几何直观作说明 从阿尔 花拉子模到韦达的代数术 一 阿拉伯的代数术 二 印度的代数术 三 中世纪欧洲的代数术 从阿尔 花拉子模到韦达的代数术一 阿拉伯的代数术 1 阿尔 花拉子模 Al Khowarizmi MohammedibnMusa 约780 840 一说850 著有 Al jabrW almuqabala 其书名意为 复原与化简 译为拉丁文 Algebra 李善兰译为中文 代数学 其内容讨论一元一次和一元二次方程的求解 用 数 根 和 平方 表示常数 x和x 讨论了以下6种方程 ax bxax cbx cax bx cax bx cax c bx譬如x 10 x 39称之为 平方和根等于数 型 对于每一种方程给出解法 求出 根 和 平方 两个结果 但是一般只有正根 另外给出几何 证明 以示其解法的合理性 例求解方程x 10 x 39的正根解法步骤 在此 我们同时看到巴比伦的代数算法和古希腊的几何命题 几何示意 2 阿布 卡米尔 AbuKamil约850 930 在证明一元二次方程解法的合理性时 直接引用 原本 第2卷命题6 若平分一线段并在同一线段上加上一线段 则合成线段与所加线段构成的矩形 原线段一半上的正方形之和等于原线段的一半与所加线段之和上的正方形的面积 3 阿布尔 韦法 AbulWefa940 998一说997 引进新思想 注释丢番图的 算术 4 阿尔 卡拉吉 alKaraji 1016 结合阿尔 花拉子模以来的阿拉伯代数术与丢番图的不定分析 提出了一些相对而言较为正规的代数运算 摈弃对几何论证的依赖性 也摈弃了丢番图的缩写代数 但承认下列运算 5 海雅姆 Khayyam Omar1048 约1131一说1122 代数学 1079 1 对方程分类 最早建立方程求解理论 2 最早研究几何图象与代数方程解之间的关系 3 对x bx c 令b p c p r 则x p r x 并将此方程作为x py与y x r x 消去y的结果 二 印度的代数术 1 阿利阿伯哈塔 Aryabhatta476 550 阿利耶比陀历书 499年 符号与运算法则 不定方程ax by c 连分数求解不定方程 2 婆罗摩及多 Brahmagupta598 660 婆罗摩修正体系 628年 不定方程Dx 1 y 二次方程x px q 0的根 3 婆什迦罗 Bhaskara1114 1185 丽罗娃提 算法本原 二次方程x 45x 250 有两个根x 50 5 但舍弃了负根 打破无理数与有理数之间的界限 同样运算 对于以下无理方程 歌谣给出解x 72 素磬花开香扑鼻 诱得蜜蜂来采蜜 熙熙攘攘不知数 一群飞入花丛里 试问此群数有几 全体之半平方根 另有两只在一起 总数那九分之几 徘徊在外做游戏 三 中世纪欧洲的代数术 1 菲波那契 Fibonacci Leanardo1170 1230 Liborabbaci 算盘书 1202年 兼容理论与实用计算技巧 形成 算盘学派 对几何论证提出异议 2 杰拉德 GerardofCremona1147 1187 解三次方程ax bx c ax bx c ax bx cx d 可惜他错误地运用二次方程的求根公式 且不验根 3 贝内德托 Benedetto Maestro 探究三次方程求解 提出未知数不同方幂的缩写 cosa x c census x b cubo x cc censodicenso x4 br cuborelatocosa x5 bb cubodicubocosa x6 4 帕西奥里 Pacioli Luca1445 1517一说1454 1514 著有 Summadearithmetica geometria proportionieproportionalita 算术 几何 比与比例集成 1494年 影响很大 四大特色显著 1 用意大利语 拉丁语 地方土语融合写成 2 兼收并蓄算术 代数 几何和商业数学 给出论证各种技巧的准则 3 采用缩写代数 4 讨论了三次方程的求解 但是认为这个问题与化圆为方一样不可以解 5 三次 四次方程的求解 1 费罗 Ferro Sciponedal1465 1526 据传他于1504年成功地求解x px q型的三次方程 但秘而不宣 2 菲奥尔 Fiore 1530年曾向达科依 daCoi 挑战三次方程的求解 未果 转向泰塔格利亚 1535年两人对擂赛于米兰大教堂 各人出题30道 泰塔格利亚获胜 3 泰塔格利亚 Tartaglia Niccolo1500 1557 最迟1535年前 泰塔格利亚确实能解出x px q型的三次方程 4 卡丹 Cardano Girolamo1501 1576 1539年从泰塔格利亚处获取求解x px q型的三次方程的秘诀 先信誓旦旦保密 后背信弃义出书 1545年出版 大法 公布了三次方程的求根公式 5 费拉里 Ferrari Ludovico1522 1565 1545年给出四次方程的求根公式 也在 大法 公布 例x 6x 20 x px q泰塔格利亚的方法 在AE中划分出DC 使DC CL 产生如下分割 DC BC DF AB DE BC AB DA AB BC AE AC BC CK 由图可见 AC BC 3 DA 3 DE DF 1 由AC CK 2 AC 3CK 6 AB AC 3CK 6AB 3AB AC BC 6AB 2 而AB AC BC DA DE 6AB 3AB AC BC 3 DA 3 DE 3 将 3 代入 1 AC BC 6AB DF 即AB 6AB 20 故AB AC BC 卡丹的几何证明 考虑两个立方AE CL 其体积之差值为20 若令AC CK 2 能作出BC CK 则AB AC BC为所求 在AE中划分出DC 使DC CL 产生如下分割 DC BC DF AB DE BC AB DA AB BC AE AC BC CK 由图可见 AC BC 3 DA 3 DE DF 1 由AC CK 2 AC 3CK 6 AB AC 3CK 6AB 3AB AC BC 6AB 2 而AB AC BC DA DE 6AB 3AB AC BC 3 DA 3 DE 3 将 3 代入 1 AC BC 6AB DF 即AB 6AB 20 故AB AC BC 费拉里解四次方程的思路 令 对于方程 3 的任何一个根y0方程 2 可写成 由方程 4 可分解为两个方程 解之得方程 1 的四个根 即 在 大法 中有x4 bx ax n x4 bx cx n x4 cx n x4 ax n等类型 对于四次方程的求解过程 卡丹只能给出主要代数步骤的几何证明 却无法给出象对三次方程求解过程的几何证明 卡丹不得不考虑放弃几何证明这个准则 而依赖于代数规则系统本身的合理性 此外 负数 虚数的几何意义何在 也一直困扰着卡丹 在求解x y 10 x y 40时会出现如下结果 6 丢番图的 算术 再度被发掘 1 不依赖几何的代数准则 重见天日 求三个数 使其中任意一个的平方减去其次一个 其差为平方数 算术 第2卷之一问 丢番图的解法 取x 1 2x 1 4x 1 x 1 2x 1 x 2x 1 4x 1 4x 4x 1 x 1 16x 7x令16x 7x 25x 解之得x 7 9 从而16 9 23 9 27 9为所求 2 代数思维推进的 载体 缩写代数 将已知数 100 分为两个数 使其差为 40 求这两数 算术 第1卷之一问 丢番图的解法 设较小数为 较大数为 其和为 100 60 30 70 7 蓬贝利 Bombelli Raphael1526 1572 16世纪60年代后半期 安东尼奥 马里亚 帕茨在罗马教廷图书馆发现丢番图 算术 原稿抄本 并将它送给蓬贝利看 他们确信这部著作的价值后 决定将它翻译成拉丁文出版 1572年蓬贝利的 代数学 只出版了前3卷 计划中的第4 5卷从未付印 他接受了丢番图的思想观念 8 韦达 Vieta Francis1540 1603 代数术 1591年出版 分析术引论 提出 类的筹算术 他自称人文主义者 复古派 批判阿拉伯代数学 复兴古希腊丢番图代数学 他研读了丢番图的 算术 帕普斯的 数学汇编 精通卡丹 泰塔格利亚 蓬贝利等人的著作及其思想观念 他认为 在 数的筹算术 中 即使几何地论证了其中某些结论 仍然不足以揭示出他称之为 无与伦比的金子般的世俗人不可理解的秘密 1 确立 分析法 综合法 建立求解方程式或比例式的法则 分析法 从结论出发 执果索因 综合法 从条件出发 由因导果 在古希腊有 满足条件型 问题性 几何 和探究真理型 理论性 代数 两类问题 都是探求统一的 普遍的解题理论 人们比较多地关注满足条件型问题 而忽略了探究真理型问题的研究 2 改进 符号代数 取代 缩写代数 建立 类 的相关理论 丢番图的问题改进为 和 D 差 B 若较小数 A 较大数A B 由2A B D 得A D 2 B 2 或较大数 E 较小数E B 由2E B D 得E D 2 B 2 类 符号 未知量的位置占据体 法则初等代数就此宣告建立 伽罗瓦与群论 一 16 17世纪关于方程求解的工作 二 18世纪的进展 三 阿贝尔的工作 五 伽罗瓦之后 四 伽罗瓦工作要点 伽罗瓦与群论一 16 17世纪关于方程求解的工作 16世纪 四次及其以下次数的多项式方程 已有求解公式 用方程的系数经过有限次的加 减 乘 除 开方五则运算表示方程的根 一般由方根的不同来区别方程根的不同 因而 也称方程有根式解 17世纪 英国的格雷戈里 Gregory Jemes1638 1675 德国的莱布尼茨 Leibniz GottfriedWilhelm1646 1716 和德国的契尔恩豪森 Tschirnhausen EhrenfriedWaltervon1651 1708 都付出了努力 却留下问题 1 一个方程究竟有多少个根 2 如何预知方程的正 负 复根的个数 3 方程的根与系数关系如何 4 方程是否一定有根式解存在 二 18世纪的进展 18世纪 问题集中到两个 1 证明一个n次方程有n个根 2 寻求4次以上方程的根式解 高斯从1799 1848年间 先后四次证明了现在所谓的 代数基本定理 圆满地解决了第一个问题 法国的拉格朗日 Lagrange JosephLouis1736 1813 对第二个问题进行了研究 发现了方程的预解式和预解方程 譬如一元二次方程 两根的区别在于平方根的双值性 这种方法遇到5次方程失败了 拉格朗日误认为4次以上的方程完全无法求根式解 先解预解方程得预解式 再用预解式表示方程的根为 由于 称 为预解方程 由于 称 为预解式 三 阿贝尔 Abel NielsHenrik1802 1829 的工作 1824年阿贝尔利用鲁菲尼 Ruffini Paolo1765 1822 提出的一个定理 证明了4次以上的方程一般不可根式解 由于阿贝尔并不知道鲁菲尼的工作 致使证明迂回 复杂 而且其中的函数分类还存在一个错误 后来 他又给出了两个精心的证明 1879年克罗内克 Kronecker Leopold1823 1891 作出了简捷 严密的证明 阿贝尔之前曾有一段时期 解n次方程问题集中到求解二项方程xn 1 0的情形 但未能从根本上解决问题 阿贝尔 1802年8月5日出生在挪威斯蒂安尼亚 现奥斯陆 附近的芬多村 父亲是一个清苦的牧师 曾经进入过议会 阿贝尔18岁那年 父亲去世了 从此家境更加恶化 所幸的是这并没有影响阿贝尔的成才 幼年时 父亲给了阿贝尔良好的教育 15岁上中学时 阿贝尔就显示出在学习和研究方面的才能 是一位数学老师激发了他一定要学好数学的强烈愿望 当时阿贝尔就自学了著名数学家泊松 高斯 拉格朗日等人的著作 16岁时 他证明了二项式定理在一般情况下都成立 此前欧拉只证明了有理指数的情况 1821年阿贝尔进入斯蒂安尼亚大学学习 他在边工作边学习的情况下 研究数学 尤其是潜心于4次以上的一般代数方程能否用根式求解的问题 功夫不负有心人 1824年他得到了4次以上的代数方程一般不可以用根式求解的结论 这一结论为以后法国伽罗瓦创立群论打下了坚实的基础 大学毕业后 阿贝尔又先后赴巴黎和柏林留学 1827年回到挪威 不幸的是阿贝尔已患上了肺结核病 1829年4月6日他在贫病交加之下于费罗兰德去世 年仅27岁 更令人伤感的是阿贝尔去世后两天 柏林大学聘他为教授的信函才寄到 阿贝尔却永远也看不到了 阿贝尔无论在代数学 还是在分析学方面的数学成就都达到当时国际一流的水平 但在当时并没有受到应有的注意 甚至他有一篇非常重要的著作 直到他去世12年才得以发表 法国数学家埃尔米特说 阿贝尔留下的工作 足以使以后的数学家忙碌150年 事实上 现在的数学家仍然在阿贝尔开辟的各个领域中忙碌 何止150年 为纪念这位数学英才 以阿贝尔的名字命名的数学名词达20多个 阿贝尔群的国际会议仍然定期召开 四 伽罗瓦 Galois Evarist1811 1832 工作要点 1 定义方程根的置换 简记为 定义置换的乘法 这个乘法是 封闭 的 四次方程4个根的所有置换共有4 个 构成一个 群 2 实例 其中 相互独立 它 们的有理表达式构成一个域 方程4个根的所有置换共有24个 构成一个群G 方程的4个根 在R中 关系成立 在G中只有8个置换使上述关系在R中保持不变 可以证明 仅有以上8个置换使根之间在R中的全部关系都保持不变 并构成群H 注意 1 方程对于它所属域的群 是其根的置换群或其子群 2 方程的群要使方程根的关系在所属域上保持不变 3 方程的群的元素多少是对根能否区分的一个尺度 在H中只有4个置换 E0E1E2E3 使上述关系在中不变 3 扩域缩群 1 添加预解式 于R 形成 在R 中 关系成立 在K中只有2个置换 E0E1 使上述关系在中不变 可以证明 仅有上述2个置换 使根之间在R 中的全部关系都保持不变 并构成群L 可以证明 仅有上述4个置换 使根之间在R 中的全部关系都保持不变 并构成群K 2 添加 3 添加 于R 中 形成 在R 中 关系成立 于R 中 形成 在R 中 关系成立 在L中只有1个置换 E0 使上述关系在R 中不变 可以证明 仅有上述1个置换 使根之间在R 中的全部关系都保持不变 并构成群E E L 4 合成序列及其指数 GHKLE合成序列248421阶24 8 3 8 4 2 4 2 2 2 1 2 指数 5 正规子群及结论 若H G g G 有gH Hg 则H为G的一个正规子群 若方程的合成序列中 每一项都是其前一项的极大正规子群 而且其合成序列的指数都为素数 则此方程可根式解 否则不可根式解 二次方程的合成序列的指数 2三次方程的合成序列的指数 2 3四次方程的合成序列的指数 3 2 2 2伽罗瓦给出了基本原理完全相同的理论 判定方程可否根式解 只是手续更复杂而已 伽罗瓦 1811年19月25日生于法国巴黎附近的布尔格 勒 雷思 家境富裕 从小受母亲的教育 12岁进入巴黎一所著名的公立中学学习 当时并不十分出色 1828年伽罗瓦遇到博学多才的 研究方程论的数学教师里沙 在里沙的指导下 伽罗瓦很快表现出杰出的数学天才 里沙称赞伽罗瓦是法国的阿贝尔 并认为应该把他免试保送到巴黎多科工艺学校学习数学 由于主考人的烦琐要求 他两次落榜 1829年 伽罗瓦进入巴黎高等师范学校学习 1830年法国七月革命期间 伽罗瓦因公开批评校方不支持革命而遭学校开除 又因参加革命活动两次被捕入狱 直到1832年4月最后出狱 出狱不久 便因政治和爱情的纠纷 于1832年5月31日在一场决斗中身亡 年仅21岁 伽罗瓦在学校学习的第一年 就发表了关于方程根式解的四篇论文 1829年 他把解方程的两篇论文呈送法国巴黎科学院 这些论文被托给柯西 结果论文被遗失了 1830年1月 伽罗瓦又把另外一篇仔细写成的论文交给法国巴黎科学院 论文送到傅立叶那里 不久傅立叶去世了 论文又被遗失 后来 在泊松的提议下 伽罗瓦于1831年写了一篇题为 关于用根式解方程的可解性条件 的论文 这是他仅有的一篇完成了的论文 但是这篇论文又被泊松作为难以理解而退回 并劝他写一份较为详细的说明材料 在去世的前夜 伽罗瓦匆匆写了一份说明 并托给了他的朋友谢瓦利埃 A Chevalier 就是这个说明被保存下来了 1846年 刘维尔在 数学教师学报 上介绍了伽罗瓦的部分论文 其中包括1831年论文的一个修订稿 1866年 塞雷特 Ser ret 在一本 高等代数教程 第三版中 也曾经对伽罗瓦的思想方法作了一个叙述 1870年 法国数学家约当 Jordan Camil1838 1922 第一次全面而清楚地介绍了伽罗瓦理论 五 伽罗瓦之后伽罗瓦的工作基于拉格朗日 阿贝尔 高斯等先驱 他的创造性成果在于 1 把方程根的层次性结构的形成同域的扩张联系起来 2 把每一层次对应的域的形成要素归结为预解方程求解 3 把预解式的寻求归结为置换群各阶子群的结构分析 伽罗瓦的理论太深奥 远远走在同时代人的前面 加上全新的概念并未形成 直到19世纪60年代之后 才为人们逐步接受 从此 方程论宣告结束 代数学开启了新纪元 法国的约当 Jordan Camil1838 1922 于1870年第一次介绍伽罗瓦理论 挪威的李 Lie Sophus1842 1899 1874年发表微分方程连续群 英国的凯利 Cayley Arthur1821 1895 1878年发表四篇抽象群的文章 过早的抽象落到聋子的耳朵里 凯利1849年语 英国的冯 代克 vonDyck1856 1935 提出群论的3个来源 方程论 数论 无限变换群 并将它们统一起来 提出 生成元 概念 20世纪 集合论 公理化方法为群论找到了表示方式 一个具有二元运算的非空集合G 满足4条公理 1 a b G a b G 封闭性2 a b c G 有 a b c a b c 结合性3 a G I G 使a I I a a 单位元4 a G a 1 G 使a a 1 a 1 a I 逆元群论就是那屏弃其内容而化为纯粹形式结构的整个数学 HeriPoincare 1854 1912 诺特与抽象代数 一 域论 伽罗瓦为先驱 二 环论 诺特贡献突出 诺特与抽象代数一 域论 伽罗瓦为先驱库默 Kummer ErnstEdward1810 1893 代数数论 戴德金 Dedekind JuinsWilhelmRichard1831 1916 代数数论 希尔伯特 Hilbert David1862 1943 1897年 代数数域 亨塞尔 Hensel Kurt1861 1941 1908年 p adic域 施泰尼茨 Steinitz Ernst1871 1928 1910年发表 域的代数理论 抽象代数的重要里程碑 二 环论 诺特贡献突出一个具有两种运算 的非空集合R 满足 1 R是一个加群 对 定义的交换群 2 R对乘法 封闭 即 a b R a b R 3 适合结合律 a b c R 有 a b c a b c 4 两个分配律成立 a b c R 有a b c a b a c b c a b a b c 理想 子环 U R的一个非空子集 满足 1 a b U a b U 2 a U r R ar ra U 戴德金1879年创立了 理想 理论 提出 交换环 哈密尔顿 Hamilton WilliamRowan1805 1869 1843年创立了 超复数 四元数 皮尔斯 Peirce Benjamin1809 1880 1870年提出多种超复数 线性结合代数 结合环 韦德伯 Wedderburn JosephHenryMaclagen1882 1948 1907年发表 论超复数 超复数系结构定理 线性结合代数理论 诺特 Noether Emmy1882 1935 1920 1926年间 一般理想论 标志抽象代数创立 1927 1929年间 超复数系研究 线性结合代数研究 1932 1935年间 应用到数论的各种具体问题之中 诺特 Noether Emmy1882 1935 的故事1882年3月23日生于德国爱尔兰根市一个犹太人家庭 父亲Max Noether 1844 1921 研究代数函数 代数几何学家 弟弟Fritz Noether 1884 应用数学家 Weyl Hermanm说 这是 数学天才遗传性的一个十分引人注目的例子 12岁上爱尔兰根市立高级女子学校 1900年4月通过英 法语教师资格考试 同年秋 改学数学 在爱尔兰根大学旁听 1903年7月通过大学考试 当年冬到哥廷根大学 1904年回到爱尔兰根大学注册 1907年完成博士论文 三元双二次型的不变量的完全系 其中列出331个 完全组 导师戈丹 Gordan PaulAlbert1837 1912 1910年退休 施密特 费歇尔先后成为她的导师 逐步实现从戈丹的形式观念转向希尔伯特的研究方式 1913年偶尔替父亲上课 1915年应克莱因 希尔伯特邀请来到哥廷根大学 协助研究相对论 1916年定居哥廷根 受歧视 1919年当讲师 1922 1933年为编外副教授 1918年 发表两篇重要论文 黎曼几何和广义相对论中微分不变式问题化为代数不变式问题 物理守恒律与不变性的 诺特定理 1920年以后 独立创建 抽象代数 1920年与Schmeidler WernerJohann合作研究微分算子环 一般算子理论 1921年发表 环中的理想论 任何理想都可表为准素理想之交 1932年与布劳尔 哈塞合作解决了 代