浙江专用2018版高考数学复习平面向量的应用第1课时平面向量在几何中的应用教师用书.docx

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.4 平面向量的应用 第1课时 平面向量在几何中的应用教师用书1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)3向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题【知识拓展】1若G是ABC的重心，则0.2若直线l的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与直线l平行【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线()(2)向量b在向量a方向上的投影是向量()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(4)在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形()(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：t()，tR，则点P的轨迹方程是xy10.()1(教材改编)已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(1，4)，则该三角形为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案B解析(2，2)，(4，8)，(6，6)，|2，|4，|6，|2|2|2，ABC为直角三角形2已知在ABC中，|10，16，D为边BC的中点，则|等于()A6 B5C4 D3答案D解析在ABC中，由余弦定理可得AB2AC22ABACcos ABC2，又|cos A16，所以AB2AC232100，AB2AC268.又D为边BC的中点，所以2，两边平方得4|2683236，解得|3，故选D.3(2017浙江名校协作体联考)若向量a，b满足|a|2ab|2，则a在b方向上投影的最大值是()A. BC. D答案B解析由题意得|2ab|24|a|24|a|b|cosa，b|b|2168|b|cosa，b|b|24，则cosa，b()2 ，当且仅当|b|2时等号成立，所以向量a在向量b方向上投影的最大值是|a|cosa，b.4(2016武汉模拟)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是_答案x2y40解析由4，得(x，y)(1,2)4，即x2y4.第1课时平面向量在几何中的应用题型一向量在平面几何中的应用命题点1向量和平面几何知识的综合例1(1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB_.(2)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_答案(1)(2)5解析(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPy.则D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，(2，y)，(1，ay)，则3(5,3a4y)，即|3|225(3a4y)2，由点P是腰DC上的动点，知0ya.因此当ya时，|3|2取最小值25.故|3|的最小值为5.命题点2三角形的“四心”例2已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心 B外心 C重心 D垂心答案C解析由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心引申探究1在本例中，若动点P满足，(0，)，则如何选择？答案A解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心2在本例中，若动点P满足()，(0，)，则如何选择？答案D解析由条件，得()，从而()0，所以 ，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心命题点3平面向量数量积与余弦定理例3(2016杭州二模)在ABC中，AB8，AC6，AD垂直BC于点D，E，F分别为AB，AC的中点，若6，则BC等于()A2 B10C2 D14答案A解析由题意，知DEAE，DFAF，|cosEDF|6，|，BC2.思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解(1)在ABC中，已知向量与满足()0，且，则ABC为()A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形(2)(2016宁波八校联考)在ABC中，(，)，(1，)，则ABC的面积为_答案(1)A(2)1解析(1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为BAC的角平分线因为()0，所以BAC的角平分线垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以cosBAC，又0BAC，故BAC，所以ABC为等边三角形(2)cosBAC，sinBAC，SABC|sinBAC1.题型二向量在解析几何中的应用命题点1向量与解析几何知识的综合例4(1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A，B，C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_(2)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则_.答案(1)2xy30(2)解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0，b0)的左，右焦点，点P在第一象限，且满足|a，()0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若5，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案(1)(2)B解析(1)圆心O是直径AB的中点，2，()2，与共线且方向相反，当大小相等时，最小由条件知，当POPC时，最小值为2.(2)由()0，可得|2c，则点P(x，y)(x0，y0)满足解得又5，解得Q(c，)，又Q在双曲线C上，代入双曲线方程化简得80c4168a2c285a40，则(4c25a2)(20c217a2)0，又ca，所以4c25a20,4(a2b2)5a20，则a2b，则双曲线C的渐近线方程为yxx，故选B.11函数与方程思想在向量中的应用典例(1)设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_(2)在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则_.思想方法指导求向量模的最值或范围问题往往将模表示成某一变量的函数，采用求函数值域的方法确定最值或范围；在向量分解问题中，经常需要用已知向量来表示其他向量，此时可通过三点共线建立向量之间的关系，比较基向量的系数建立方程组求解解析(1)因为b0，所以bxe1ye2，x0或y0.当x0，y0时，0；当x0时，|b|2(xe1ye2)2x2y2xy，不妨设t，则，当t时，t2t1取得最小值，此时取得最大值4，所以的最大值为2.综上，的最大值为2.(2)由，得()()，得(1)()0，得(1)()()0，得(1)()0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以.答案(1)2(2)1(2015安徽)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)答案D解析在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，故选D.2在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案C解析由()|2，得()0，即()0，20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形3. 如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则等于()AabB.abCabD.ab答案D解析连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且a，所以ba.4已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案D解析(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6，即点P的轨迹是抛物线5已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3 C. D.答案B解析设点A的坐标为(a2，a)，点B的坐标为(b2，b)，直线AB的方程为xtym，与抛物线y2x联立得y2tym0，故abm，由2得a2b2ab2，故ab2或ab1(舍去)，所以m2，所以ABO的面积等于m|ab|ab|a|，AFO的面积等于|a|，所以ABO与AFO的面积之和等于|a|2 3，当且仅当|a|，即|a|时“”成立，故选B.6. 在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2 B1C. D.答案D解析分别以AB，AC所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得ABC的重心D(，)，设APx，从而P(x,0)，x(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC，AC的对称点P1(4,4x)，P2(x,0)与ABC的重心D(，)共线，所以，解得x.7(2016杭州模拟)已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_答案解析|ab|2|ab|24ab4|a|b|cos 40，|ab|ab|，又|ab|2a2b22ab3，|ab|.8已知点D为ABC所在平面上一点，且满足，若ACD的面积为1，则ABD的面积为_答案4解析由，得54，所以4()，即4.所以点D在边BC上，且|4|，所以SABD4SACD4.9已知直线2xy20与x轴，y轴的交点分别为A，B，椭圆1(ab0)的左焦点F1和上顶点D，若0，则该椭圆的离心率e_.答案解析因为直线2xy20与x轴，y轴的交点分别为A，B，所以A(1,0)，B(0，2)，易知F1(c,0)，D(0，b)，所以(c,2)，(1，b)因为0，所以c2b0，所以，即 ，所以，所以该椭圆的离心率e.10若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_答案，解析如图，向量与在单位圆O内，因为|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，故以向量，为边的三角形的面积为，故的终点在如图的线段AB上(，且圆心O到线段AB的距离为)，因此夹角的取值范围为，11(2016嘉兴第二次教学测试) 如图，设正BCD的外接圆O的半径为R(R)，点A在BD下方的圆弧上，则()的最小值为_答案解析因为()()|2|(|1)2，因为R|2R，而R，所以当|1时，取到最小值.12. 如图，已知ABC的面积为14 cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且ADDBBEEC21，求APC的面积解设a，b为一组基底，则ab，ab.因为点A，P，E与D，P，C分别共