第三章静电场分析ppt.ppt

第3章静态电磁场及其边值问题分析 序 喷墨打印机工作原理 选矿器 静态场的工程应用 均匀电场中带电粒子的轨迹 阴极射线示波器原理 磁分离器 回旋加速器 磁悬浮列车 磁录音原理 静电场是一个无旋 有源场 静止电荷就是静电场的源 这两个重要特性用简洁的数学形式为 解 根据静电场的旋度恒等于零的性质 例3 1已知试判断它能否表示个静电场 对应静电场的基本方程 矢量A可以表示一个静电场 能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场 3 1 2电位函数 在静电场中可通过求解电位函数 Potential 再利用上式可方便地求得电场强度E 式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位 2 已知电荷分布 求电位 点电荷群 连续分布电荷 1 电位的引出 以点电荷为例推导电位 根据矢量恒等式 3 泊松方程与拉普拉斯方程 推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程 泊松方程 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性 线性的均匀媒质 例27列出求解区域的微分方程 三个不同媒质区域的静电场 4 E与的微分关系 在静电场中 任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向 其大小等于电位的最大变化率 在直角坐标系中 5 E与的积分关系 设P0为参考点 根据E与的微分关系 试问静电场中的某一点 图1E与的积分关系 6 电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参考点无关 同一个物理问题 只能选取一个参考点 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单 且要有意义 例如 点电荷产生的电场 表达式无意义 电荷分布在有限区域时 选择无穷远处为参考点 电荷分布在无穷远区时 选择有限远处为参考点 以分界面上点P作为观察点 作一小扁圆柱高斯面 2 电场强度E的衔接条件 以点P作为观察点 作一小矩形回路 分界面两侧E的切向分量连续 分界面两侧的D的法向分量不连续 当时 D的法向分量连续 图3在电介质分界面上应用环路定律 则有 根据 根据则有 图2在电介质分界面上应用高斯定律 表明 1 导体表面是一等位面 电力线与导体表面垂直 电场仅有法向分量 2 导体表面上任一点的D就等于该点的自由电荷密度 在交界面上不存在时 E D满足折射定律 折射定律 图5分界面上E线的折射 因此 表明 在介质分界面上 电位是连续的 3 用电位函数表示分界面上的衔接条件 设点1与点2分别位于分界面的两侧 其间距为d 则 表明 一般情况下 电位的导数是不连续的 图6电位的衔接条件 对于导体与理想介质分界面 用电位表示的衔接条件应是如何呢 解 忽略边缘效应 例1如图 a 与图 b 所示平行板电容器 已知和 图 a 已知极板间电压U0 图 b 已知极板上总电荷 试分别求其中的电场强度 3 1 4电容及部分电容 电容只与两导体的几何形状 尺寸 相互位置及导体周围的介质有关 电容的计算思路 工程上的实际电容 电力电容器 电子线路用的各种小电容器 1 电容 定义 单位 例2试求球形电容器的电容 解 设内导体的电荷为 则 同心导体间的电压 图8球形电容器 2多导体系统 部分电容 1 已知导体的电荷 求电位和电位系数 线性 多导体 三个以上导体 组成的系统 部分电容概念 以接地导体为电位参考点 导体的电位与各导体上的电荷的关系为 图9三导体静电独立系统 以此类推 n 1 个多导体系统只有n个电位线性独立方程 即 写成矩阵形式为 非独立方程 2 已知带电导体的电位 求电荷和感应系数 静电感应系数 表示导体电位对导体电荷的贡献 自有感应系数 表示导体电位对导体电荷的贡献 3 已知带电导体间的电压 求电荷和部分电容 矩阵形式 式中 C 部分电容 它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献 互有部分电容 自有部分电容 部分电容性质 所有部分电容都是正值 且仅与导体的形状 尺寸 相互位置及介质 的值有关 n 1 个导体静电独立系统中 共应有个部分电容 部分电容是否为零 取决于两导体之间有否电力线相连 例3试计算考虑大地影响时 二线传输线的各部分电容及二线输电线的等效电容 已知如图示 解 部分电容个数 如图 b 由对称性得 线电荷与电位的关系为 图10两线输电线及其电容网络 静电网络与等效电容 利用镜像法 输电线两导体的电位 联立解之得 二线间的等效电容 图12两线输电线及其电容网络 美国有一腿断的残废军人 用电子仪器驾驶汽车 有一次 路过高压输电线时 突然翻车了 为什么 3 1 5静电能量与力 1 带电体系统中的静电能量 静电能量是在电场的建立过程中 由外力作功转化而来的 1 连续分布电荷系统的静电能量 假设 电荷系统中的介质是线性的 1静电能量 电场的建立与充电过程无关 导体上电荷与电位的最终值为 在充电过程中 与的增长比例为m 建立电场过程缓慢 忽略动能与能量辐射 这个功转化为静电能量储存在电场中 体电荷系统的静电能量 t时刻 场中P点的电位为若将电荷增量从无穷远处移至该点 外力作功 t时刻电荷增量为 即 电位为 式中是元电荷所在处的电位 积分对源进行 点电荷的自有能为无穷大 自有能 互有能 自有能是将许多元电荷 压紧 构成q所需作的功 互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量 是所有导体 含K号导体 表面上的电荷在K号导体产生的电位 2 静电能量的分布及能量密度 V 扩大到无限空间 S 所有带电体表面 将式 2 代入式 1 得 应用散度定理 得 矢量恒等式 图13推导能量密度用图 能量密度 例4试求真空中体电荷密度为 半径为的介质球产生的静电能量 例5一个原子可以看成是由带正电荷的原子核和被总电量等于 解 表示将正负电荷从无穷远处移来置于原子中位置时外力必须做的功 图14原子结构模型 2静电力 2 虚位移法 VirtualDisplacementMethod 虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法 广义坐标 距离 面积 体积 角度 广义力 企图改变某一个广义坐标的力 广义力的正方向为广义坐标增加的方向 1 由电场强度E的定义求静电力 即 常电荷系统 K打开 它表示取消外源后 电场力做功必须靠减少电场中静电能量来实现 常电位系统 K合上 外源提供能量的增量 静电能量的增量 外源提供的能量有一半用于静电能量的增量 另一半用于电场力做功 图15多导体系统 上述两个公式所得结果是相等的 例6试求图示平行板电容器的电场力 解法一 常电位系统 解法二 常电荷系统 可见 两种方法计算结果相同 电场力有使d减小的趋势 即电容增大的趋势 两个公式所求得的广义力是代数量 还需根据 号判断其方向 图16平行板电容器 例7图示一球形薄膜带电表面 半径为 其上带电荷为 试求薄膜单位面积所受的电场力 解 图17球形薄膜 3 法拉第观点 法拉第认为 沿通量线作一通量管 沿其轴向受到纵张力 垂直于轴向方向受到侧压力 1 可定性分析 判断带电体的受力情况 图19根椐场图判断带电体受力情况 其大小为 图18a电位移管受力情况 图18b物体受力情况 2 对某些特殊情况可进行定量计算 例8试求图示 a b 平行板电容器中 两种介质分界面上每单位面积所受到的力 图20平行板电容器 答 气泡向E小的方向移动 气泡向哪个方向移动 电力电容 电力电容 高压冲击实验 电力电容 高压实验大厅 电力电缆 单芯电力电缆 三相电力电缆 中间地线 右侧测量线 电力电缆 屏蔽室门 屏蔽室门 电荷守恒定律 1 J的散度 恒定电场是无源无旋场 2 E的旋度 恒定电场是无旋场 所取积分路径不经过电源 则 斯托克斯定理 得 3 恒定电场 电源外 的基本方程 3 2 2分界面的衔接条件 说明分界面上电场强度的切向分量是连续的 电流密度法向分量是连续的 折射定律为 图21电流线的折射 分界面上的衔接条件 例9两种特殊情况分界面上的电场分布 它表明 只要 电流线垂直于良导体表面穿出 良导体表面近似为等位面 b 媒质1是导体 媒质2是理想介质情况 表明1导体表面是一条电流线 表明2导体与理想介质分界面上必有恒定 动态平衡下的 面电荷分布 表明3电场切向分量不为零 导体非等位体 导体表面非等位面 若 理想导体 导体内部电场为零 电流分布在导体表面 导体不损耗能量 导体周围介质中的电场 图22导体与理想介质分界面 图23载流导体表面的电场 3 2 3恒定电场的边值问题 分界面衔接条件 很多恒定电场问题的解决 都可以归结为一定条件下 求出拉普拉斯方程的解答 边值问题 恒定电场中是否存在泊松方程 例10试用边值问题求解电弧片中电位 电场及面电荷的分布 区域 电位 解 选用圆柱坐标 边值问题为 区域 衔接条件 电场强度 电荷面密度 E 与无关 是的函数 图24不同媒质弧形导电片 两种场各物理量所满足的方程一样 若边界条件也相同 那么 通过对一个场的求解或实验研究 利用对应量关系便可得到另一个场的解 两种场的电极形状 尺寸与相对位置相同 相拟 相应电极的电压相同 2静电比拟的条件 若两种场中媒质分布片均匀 只要分界面具有相似的几何形状 且满足条件时 则这两种场在分界面处折射情况仍然一样 相拟关系仍成立 1 静电场便于计算 用静电比拟方法计算恒定电场 3静电比拟的应用 图25静电场与恒定电流场的镜像法比拟 2 恒定电场便于实验 某些静电场问题可用恒定电流场实验模拟 静电场 电极表面近似为等位面 工程上的实验模拟装置 工程近似在两种场的模拟实验中 工程上往往采用近拟的边界条件处理方法 图26静电场平行板造型 图示恒定电流场对应什么样的静电场 比拟条件 1电导的计算 1 直接用电流场计算 当恒定电场与静电场边界条件相同时 用静电比拟法 由电容计算电导 静电系统的部分电容可与多导体电极系统的部分电导相互比拟 自学 3 2 5电导与接地电阻 2 静电比拟法 即 例11求同轴电缆的绝缘电阻 设内外的半径分别为R1 R2 长度为 中间媒质的电导率为 介电常数为 解法一直接用电流场的计算方法 设 电导 绝缘电阻 解法二静电比拟法 由静电场解得 同轴电缆电导 绝缘电阻 图27同轴电缆横截面 例12求图示电导片的电导 已知给定 方程通解为 代入边界条件 可得 电流密度 电流 电导 电位函数 解 取圆柱坐标系 边值问题 图28弧形导电片 1 深埋球形接地器 解 深埋接地器可不考虑地面影响 其电流场可与无限大区域的孤立圆球的电流场相似 2接地电阻 图28深埋球形接地器 解法一直接用电流场的计算方法 解法二静电比拟法 接地电阻越大越好吗 2 直立管形接地器 解 考虑地面的影响 可用镜像法 由静电比拟法 3 非深埋的球形接地器 解 考虑地面的影响 可用镜像法处理 图30非深埋的球形接地器 在电力系统的接地体附近 要注意危险区 2 5 3跨步电压 图32半球形接地器的危险区 以浅埋半球接地器为例 实际电导 接地器接地电阻 4 浅埋半球形接地器 解 考虑地面的影响用镜像法处理 此时由静电比拟 图31浅埋半球形接地器 屏蔽室接地电阻 深度20米 高压大厅网状接地电阻 深度1米 3 3恒定磁场分析 3 3 1恒定磁场的基本方程 媒质的性能方程 例13试判断能否表示为一个恒定磁场 F2不可能表示恒定磁场 恒定磁场的基本方程表示为 磁通连续原理 安培环路定律 无源 有旋 恒定磁场是有旋无源场 电流是激发磁场的涡旋源 3 3 2分界面上的衔接条件 1 B的衔接条件 2 H的衔接条件 H的切向分量不连续 3 分界面上的折射定律 图33分界面上B的衔接条件 图34分界面上H的衔接条件 例14分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况 解 它表明只要铁磁物质侧的B不与分界面平行 在空气侧的B可认为近似与分界面垂直 图35铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射 解 图36含有K的分界面衔接条件 若面电流 答案有否变化 如何变 3 3 3磁矢位及其边值问题 1磁矢位A的引出 由 磁矢位A也可直接从BiotSavartLaw导出 2磁矢位A的边值问题 1 微分方程及其特解 泊松方程 A称磁矢位 Magneticvectorpotential 单位 wb m 韦伯 米 使得A唯一确定 A是否具有物理意义是一个仍在争论的问题 令无限远处A的量值为零 参考磁矢位 则各式的特解分别为 可见 每个电流元产生的磁矢位A与此元电流Idl KdS JdV具有相同的方向 矢量合成后 得 在直角坐标系下 可以展开为 面电流与线电流引起的磁矢位为 a 围绕P点作一矩形回路 则 当时 即 b 围绕P点作一扁圆柱 则 当时 即 综合两个结论 有 表明在媒质分界面上磁矢位A是连续的 根据有 根据 由于 3磁矢位A的应用 1 矢量积分求A 解 取圆柱坐标 例16空气中有一长度为 截面积为S 位于z轴上的短铜线 电流I沿z轴方向 试求离铜线较远处 R 的磁感应强度 能否用安培环路定律来求解此问题 图38位于坐标原点的短铜线 例17应用磁矢位A 求空气中一长直载流细导线的磁场 解 例18应用磁矢位分析两线输电线的磁场 解 这是一个平行平面磁场 由上例计算结果 两导线在P点的磁矢位 图39长直载流细导线的磁场 图40圆截面双线输电线 磁位仅适合于无自由电流区域 且无物理意义 磁位的特点 等磁位面 线 方程为常数 等磁位面 线 与磁场强度H线垂直 的多值性 由安培环路定律 得 推论多值性 图41磁位与积分路径的关系 为了克服多值性 规定积分路径不得穿过从电流回路为周界的S面 磁屏障面 这样 就成为单值函数 两点之间的磁压与积分路径无关 2磁位的边值问题 在直角坐标系中 2 分界面上的衔接条件 3 的应用 适用于无自由电流区域 磁位是否满足泊松方程 图3 5 8恒定磁场与恒定电流场的比拟 答 可以 下述两个场能进行磁电比拟吗 3 3 5电感 1自感 在线性各向同性媒质中 L仅与回路的几何尺寸 媒质参数有关 与回路的电流无关 自感又分为内自感Li和外自感L0 内自感是导体内部仅与部分电流交链的磁链与回路电流比值 外自感是导体外部闭合的磁链与回路电流的比值 图42内磁链与外磁链 解 总自感 设安培环路包围部分电流 则有 磁链中的匝数 可根据 因此 有 内自感 例19试求图示长为的同轴电缆的自感L 图44同轴电缆内导体纵截面 穿过宽度为 长度为的矩形面积的磁通为 图43同轴电缆截面 1 内导体的内自感 工程上视同轴电缆外导体为面分布的电流 故忽略此部分的内自感 3 内 外导体间的外自感 故 总电感为 2 外导体内自感 例20设传输线的长度为 试求图示两线传输线的自感 解 总自感 设 设 总自感为 内自感 解法一 解法二 图45两线传输线的自感计算 2互感 式中 M21为互感 单位 H 亨利 互感是研究一个回路电流在另一个回路所产生的磁效应 它不仅与两个回路的几何尺寸和周围媒质有关 还和两个回路之间的相对位置有关 在线性媒质中 回路1的电流产生与回路2相交链的磁链与成正比 同理 回路2对回路1的互感可表示为 可以证明 计算互感的一般步骤 设 图46电流I1产生与回路2交链的磁链 例21试求图示两对传输线的互感 解 根据互感定义 只需假设一对传输线的电流方向 另一对传输线的回路方向 导线B的作用 由于这两个部分磁通方向相同 导线A的作用 图47两对传输线的互感 若回路方向相反 互感会改变吗 它反映了什么物理意义 3聂以曼公式 应用磁矢位A计算互感与自感的一般公式 1 求两导线回路的互感 将式 1 代入式 2 得 则两细导线回路间的互感 若回路1 2分别由N1 N2细线密绕 互感为 设回路1通以电流I1 则空间任意点的磁矢位为 穿过回路2的磁通为 图48两个细导线电流回路 2 用聂以曼公式计算回路的外自感 外自感 总自感 电流I在上产生的磁矢位为 与交链的磁通为 设回路中有电流I 总磁通 外磁通 内磁通 计算外磁通时 可以认为电流是集中在导线的轴线上 而磁通则是穿过外表面轮廓所限定的面积 图49单回路的自感 3 3 6磁场能量与力 磁场作为一种特殊的物质 和电场一样具有能量 有专家预测 21世纪将是以磁力 磁能 作为能源代表的时代 高温超导体磁场特性的发现与利用 使梦想中之能源 受控热聚变 磁流体发电 太阳能卫星电站 逐步成为现实 利用磁能作为驱动力的超导体磁悬浮列车和超导磁动力船己向我们驰来 媒质为线性 磁场建立无限缓慢 不考虑涡流及辐射 系统能量仅与系统的最终状态有关 与能量的建立过程无关 假设 1恒定磁场中的能量 磁场能量的推导过程 是回路k独存在时的能量 称为自有能量 自有能量始终大于零 2磁场能量的分布及磁能密度 磁场能量是在建立回路电流的过程中形成的 分布于磁场所在的整个空间中 与两回路的电流及互感系数有关 称为互有能 当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的 互有能为正 反之为负 时 第一项为0 上式表明磁能是以磁能密度的形式储存在整个场域中 单位 J 焦耳 磁能密度 单位 式中为导电媒质体积元所占体积 为导电媒质的总体积 由矢量恒等式 利用的关系 例22长度为 内外导体半径分别为R1与R2的同轴电缆 通有电流I 试求电缆储存的磁场能量与自感 解 由安培环路定律 得 磁能为 自感 图50同轴电缆截面 3磁场力 磁场能量的宏观效应就是载流导体或运动的电荷在磁场中要受到力的作用 仿照静电场 磁场力的计算也有三种方法 1 安培力 例23试求两块通有电流I的无限大平行导板间的相互作用力 B板产生的磁场 两板间的磁场 A板受力 图51两平行导板间的磁力 2 虚位移法 Methodoffalsedisplacement 电源提供的能量 磁场能量的增量 磁场力所做的功 常电流系统 常磁链系统 表明外源提供的能量 一半用于增加磁场能量 另一半提供磁场力作功 即 假设系统中n个载流回路分别通有电流I1 I2 In 仿照静电场 当回路仅有一个广义坐标发生位移 该系统中发生的功能过程是 由于各回路磁链保持不变 故各回路没有感应电动势 电源不提供 增加的 能量 即 所以 只有减少磁能来提供磁场力作功 故有 在实际问题中 若求相互作用力 只需求出互有磁能 并以相对位置为广义坐标 利用上式即可得到相应的广义力 本例的结果完全适用于磁偶极子 也是电磁式仪表的工作原理 两种假设结果相同 即 例24试求图示载流平面线圈在均匀磁场中受到的转距 设线圈中的电流I1 线圈的面积为S 其法线方向与外磁场B的夹角为 解 系统的相互作用能为 选为广义坐标 对应的广义力是转距 即 式中m IS为载流回路的磁偶极矩 表示广义力 转矩 企图使广义坐标减小 使该回路包围尽可能多的磁通 用矢量表示为 图54外磁场中的电流回路 解 设作用力为F 在这个力的作用下 试棒沿x方向移动dx 则磁场能量变化为 表示磁场对试棒的作用力为吸力 即F是从磁导率大的媒质指向磁导率小的方向 可与静电场的情况类比 图55磁路对磁导率为试棒的作用力 例25试求图示磁场对磁导率为的试棒的作用力 试棒的截面积为 要加多大的外力才能将试棒从磁场中拉出 3 法拉弟观点 应用法拉弟观点 有时能简便算出磁场力和分析回路受力情况 例26试判断置于铁板上方载流导体及电磁铁的受力情况 图56载流导体位于铁板上方 图57电磁铁 无感电阻 无感电阻 推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程 泊松方程 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性 线性的均匀媒质 3 4 2静电场的边值问题 为什么说第二类边界条件与导体上给定电荷分布或边界是电力线的条件是等价的 已知场域边界上各点电位值 边值问题研究方法 计算法 实验法 作图法 解析法 数值法 实测法 模拟法 定性 定量 积分法 分离变量法 镜像法 电轴法 微分方程法 保角变换法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法 数学模拟法 物理模拟法 图60边值问题研究方法框图 例28图示长直同轴电缆横截面 已知缆芯截面是一边长为2b的正方形 芯皮半径为a 内外导体之间电介质的介电常数为 并且在两导体之间接有电源U0 试写出该电缆中静电场的边值问题 解 根据场分布对称性 确定场域 阴影区域 场的边值问题 图61缆心为正方形的同轴电缆横截面 边界条件 积分之 得通解 例29设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中 电荷体密度为 试用解微分方程的方法求球体内 外的电位及电场 解 采用球坐标系 分区域建立方程 参考点电位 图62体电荷分布的球形域电场 解得 电场强度 球坐标梯度公式 对于一维场 场量仅仅是一个坐标变量的函数 只要对二阶常系数微分方程积分两次 得到通解 然后利用边界条件求得积分常数 得到电位的解 再由得到电场强度E的分布 电位 2 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性 例1 4 1图示平板电容器的电位 哪一个解答正确 答案 C 唯一性定理为静电场问题的多种解法 试探解 数值解 解析解等 提供了思路及理论根据 图63平板电容器外加电源U0 3 4 3唯一性定理 3 5镜像法与电轴法 3 5 1镜像法 边值问题 1 平面导体的镜像 镜像法 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布 虚设电荷的个数 大小与位置使场的解答满足唯一性定理 图64平面导体的镜像 上半场域边值问题 方向指向地面 整个地面上感应电荷的总量为 例30求空气中一个点电荷在地面引起的感应电荷分布情况 解 设点电荷离地面高度为h 则 图65点电荷在地面引起的感应电荷的分布 2 导体球面镜像 设在点电荷附近有一接地导体球 求导体球外空间的电位及电场分布 1 边值问题 除q点外的导体球外空间 图66点电荷对接地导体球面的镜像 由叠加原理 接地导体球外任一点P的电位与电场分别为 图68点电荷位于接地导体球附近的场图 图67接地导体球外的电场计算 在接地球的基础上判断镜像电荷的个数 大小与位置 解 边值问题 除q点外的导体球外空间 S为球面面积 例31试计算不接地金属球附近放置一点电荷时的电场分布 任一点电位及电场强度为 图69点电荷对不接地金属球的镜像 感应电荷分布及球对称性 在球内有两个等效电荷 正负镜像电荷绝对值相等 正镜像电荷只能位于球心 试确定用镜像法求解下列问题时 其镜像电荷的个数 大小与位置 补充题 图71点电荷对导体球面的镜像 图70点电荷位于不接地导体球附近的场图 不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷吗 为什么 3 不同介质分界面的镜像 边值问题 图72点电荷对无限大介质分界面的镜像 中的电场是由决定 其有效区在下半空间 是等效替代自由电荷与极化电荷的作用 即 图73点电荷位于不同介质平面上方的场图 中的电场是由与共同产生 其有效区在上半空间 是等效替代极化电荷的影响 3 5 2电轴法 根据唯一性定理 寻找等效线电荷 电轴 1 问题提出 75长直平行圆柱导体传输线 能否用高斯定理求解 2 两根细导线产生的电场 以y轴为参考点 C 0 则 当K取不同数值时 就得到一族偏心圆 图76两根细导线的电场计算 a h b三者之间的关系满足 等位线方程为 应该注意到 线电荷所在的两个点 对每一个等位圆的圆心来说 互为反演 即 根据及E线的微分方程 得E线方程为 图77两细导线的场图 若在金属圆柱管内填充金属 重答上问 若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳 是否会影响电场分布 感应电荷是否均匀分布 3 电轴法 例32试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布 以轴为电位为参考点 用置于电轴上的等效线电荷 来代替圆柱导体面上分布电荷 从而求得电场的方法 称为电轴法 解 图78平行圆柱导体传输线电场的计算 例33已知两根不同半径 相互平行 轴线距离为d的带电长直圆柱导体 试决定电轴位置 注意 1 参考电位的位置 2 适用区域 例34试确定图示偏心电缆的电轴位置 图79不同半径传输线的电轴位置 图80偏心电缆电轴位置 例35已知一对半径为a 相距为d的长直圆柱导体传输线之间电压为 试求圆柱导体间电位的分布 解得 图81电压为U0的传输线电场的计算 a 确定电轴的位置 镜像法 电轴法 小结 镜像法 电轴法 的理论基础是静电场唯一性定理 镜像法 电轴法 的实质是用虚设的镜像电荷 电轴 替代未知电荷的分布 使计算场域为无限大均匀介质 镜像法 电轴法 的关键是确定镜像电荷 电轴 的个数 根数 大小及位置 应用镜像法 电轴法 解题时 注意 镜像电荷 电轴 只能放在待求场域以外的区域 叠加时 要注意场的适用区域 作业 3 25 3 26 3 6分离变量法 分离变量法是一种最经典的微分方程法 它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题 一般情况下 采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解 而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时 才可确定积分常数 得到边值问题的解 3 6 1解题的一般步骤 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系 写出对应的边值问题 微分方程和边界条件 分离变量 将一个偏微分方程 分离成几个常微分方程 解常微分方程 并叠加各特解得到通解 利用给定的边界条件确定积分常数 最终得到电位函数的解 3 6 2应用实例 1 直角坐标系中的分离变量法 二维场 例36图示一无限长金属槽 其三壁接地 另一壁与三壁绝缘且保持电位为 金属槽截面为正方形 边长为a 试求金属槽内电位的分布 解 选定直角坐标系 D域内 1 2 3 4 5 边值问题 2 分离变量 代入式 1 有 根据可能常微分方程的取值 可有6个 设 称为分离常数 可以取值 3 解常微分方程 将各特解线性叠加得通解 4 利用给定边界条件确定积分常数 最终得到