第二章 基本初等函数(Ⅰ)（规律方法与数学思想）.doc

第二章基本初等函数()2.1指数函数【入门向导】指数函数图象诗歌鉴赏多个图象像束花，(0,1)这点把它扎撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹x1为判底线，交点y标看小大重视数形结合法，横轴上面图象察此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心如图所示的就是上面举的指数函数的图象不难看出，它们就像一束花每个指数函数的图象都经过(0,1)这点，所以说“(0,1)这点把它扎”就顺理成章了对于指数函数的图象来说，“撇增捺减”就绝对是事实当a1时，从左往右看指数函数yax的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数yax是增函数；当0a1与0a10a0y1；x00y00y1；x1在R上是增函数在R上是减函数三、图象应用1比较大小例1 若a0，则2a，()a,0.2a的大小顺序是_解析分别作出函数y2x，y()x和y0.2x的图象，如图所示，从图象可以看出，当a()a2a.答案0.2a()a2a点评本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0,1)或特征线y1及指数函数图象的走向正确作图：当a1时，底数a越大图象越陡；当0a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_解析当a1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知12a2，即a1矛盾当0a1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象，则由图可知12a2，即a1，即为所求答案a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.注意点1：为什么要规定a0且a1呢？(1)若a0，则当x0时，ax0；当x0时，ax无意义(2)若a0且a1.在规定以后，对于任意xR，ax都有意义，且ax0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0，)注意点2：函数y3()x是指数函数吗？根据定义，指数函数的解析式yax中，ax的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如yaxk(a0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如yax(a0且a1)，因为它可以化为y()x，其中0，且1.学习根式和分数指数幂的运算三注意有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过的加、减、乘、除运算一样，是十分重要的，它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础由于这一部分内容的概念较多，初学时很容易出错，首先要注意以下三点(1)根式的运算中，有开方和乘方两种情况并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换如当a0时，()m，而当a0时，则不一定可换，应视m，n的情况而定(2)分数指数幂不能对指数随意约分(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数错例分析一、有关方根的概念不清与忽视方根的性质致错分析例4 设f(x)，且0a1，求f(a)的值错解f(a) a.剖析在开方运算中忽视根式的两个重要性质：(1)当n为奇数时，a；(2)当n为偶数时，|a|性质(2)在解题中是很容易被忽视的，因为此时的n为偶数，所以不论a取怎样的值，总有意义因此在上面的解答中应有：由00)；(3)aa；(4)(8)(8)2；(5).A0 B1 C2 D3请同学们给出答案后根据基础知识分析致错的原因剖析忽视运算性质致错：(1)应为(a3)2a6，比如，(23)28229；(2)应为aaaa.忽视字母的取值范围致错：(3)应为a|a|，比如(2)应是一个正数，而(2)却是一个负数在分数指数幂与根式的化简中致错：(4)显然应是一个正数，这里(8)(8)；(5)显然.故答案为A.教材中，规定了正分数指数幂的意义a(a0，m，nN*，且为既约分数)，从而指数的概念扩充到了有理数指数，继而又扩充到了实数指数这时底数、指数的范围发生了变化，这在解题中是很容易被忽视的，由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用到，这里就不再赘述三、忽视隐含条件致错例6 化简：(1x)(x1)2(x).错解(1x)(x1)2(x)(1x)(x1)1(x)(x).剖析题目中含有(x)，要注意考虑x0这个前提条件，即x0.正解由(x)可知x0，即x0，所以(1x)(x1)2(x)(1x)(1x)1(x)(x).点评在指数运算过程中，一定要注意题目中隐含的一些特殊条件，只有充分挖掘这些隐含的特殊条件，才能为正确解答打下坚实的基础初学指数函数应当心一、指数函数概念出错例7 已知指数函数yax的底数a满足方程a2a60，求该指数函数错解由方程a2a60，解得a2或a3.所以该指数函数为y2x或y(3)x.剖析在解题过程中忽视了指数函数的定义中对底数a的限定，这个隐含条件对解题往往起到至关重要的作用正解由方程a2a60，解得a2或a3.由于指数函数yax的底数a满足a0且a1，故取a2.所以该指数函数为y2x.点评指数函数定义中的底数a满足a0且a1这个隐含条件，在解答过程中一定要加以注意二、指数函数值域出错例8 求函数y2的定义域和值域错解要使函数y2有意义，则x10，即x1.所以函数y2的定义域为x|x1因为x1，即0，所以21.所以函数y2的值域为y|y1剖析在解题过程中忽视了指数函数的值域y|y0这个隐含条件，而只是根据题目条件得出y1是不全面的正解要使函数有意义，则x10，即x1.所以函数y2的定义域为x|x1因为x1，即0，所以21.又20，所以函数y2的值域为y|y0，且y1点评指数函数yaf(x)(a0，且a1)的值域只能是R的子集，解题时一定要结合具体情况加以分析讨论三、指数函数图象出错例9 根据函数y|2x1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x1|m无解？有一解？有两解？错解由方程|2x1|m可得2x1m，结合指数函数的图象(如图)可知：当2x1m0，即m1或m1时，方程|2x1|m无解；当2x1m0，即1m1时，方程|2x1|m有一解；不存在实数m使方程|2x1|m有两解剖析不能充分理解函数图象的交点与方程解的关系没有充分结合指数函数的图象的变换加以解答可以把这个问题加以转换，将求方程|2x1|m的解的个数转化为求两个函数y|2x1|与ym的图象交点个数去理解，而不能结合运算加以分析，这样容易导致错误正解函数y|2x1|的图象可由指数函数y2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示函数ym的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x1|m无解；当m0或m1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x1|m有一解；当0m1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x1|m有两解点评由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点的个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以分析，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键.指数运算中的几种变形技巧常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，本文就这类问题的求解方法试作分析一、逆用公式例1 已知a，b，c，试比较a，b，c的大小解因为a，b，c，而121123cb.即.二、妙用公式变形引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新的活力，如：ab(ab)(aabb)，ab(ab)(ab)等等，运用这些公式新变形，可快速巧妙求解问题例2 (12).解原式a.aaaaaa.三、整体代换在指数运算中，若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解例3 已知a23a10，求aa的值分析若先求出a的值，再代入计算很繁琐，探寻条件与结论之间的关系，分析条件，把条件转化为与结论有明显关系的式子解a23a10，a0，a3.而(aa)2a1a2325，aa.四、化异为同例4 计算()2 008()2 009.分析注意到两个底数与互为有理化因式，且它们的指数相差不大，所以互化为同指数计算解原式()2 008()2 008()()()2 008()12 008().五、化负为正例5 化简.解方法一原式1.方法二原式1.点评对于式子，方法一是利用分子分母同时乘4x化简，而方法二是把2写成24x4x，通过约分化简，两种方法都是巧用4x4x1实现化简的指数函数常见题型解法探究一、指数函数的定义例6 已知指数函数f(x)的图象经过点(2,4)，试求f()的值解设指数函数f(x)ax(a0，a1)，由已知得f(2)4，即a24(a0，a1)，所以a2.故f()2.二、考查指数的运算性质例7 若f(x)，g(x)，则f(2x)等于()A2f(x) B2g(x)C2f(x)g(x) D2f(x)g(x)解析f(2x)22f(x)g(x)故选D.答案D三、指数函数的单调性例8 设y140.9，y280.48，y3()1.5，则()Ay3y1y2 By2y1y3Cy1y2y3 Dy1y3y2解析y140.921.8，y280.4821.44，y3()1.521.5.由于指数函数f(x)2x是R上的增函数，且1.81.51.44，所以y1y3y2，选D.答案D四、定义域和值域例9 已知函数yf(x)的定义域为(1,2)，则函数yf(2x)的定义域为_解析由函数的定义，得12x20x0，a1)的图象恒过定点(0,1)，而函数yax12的图象可由yax(a0，a1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)(1,1)(1，1)所以函数yax12的图象恒过定点(1，1)答案(1，1)六、图象依据：(1)指数函数yax(a0，a1)的图象；(2)函数yf(x)的图象与yf(xa)、yf(x)b、yf(x)、yf(x)、yf(x)、y|f(x)|、yf(|x|)的图象之间的关系例11 利用函数f(x)2x的图象，作出下列各函数的图象：(1)yf(x1)；(2)yf(|x|)；(3)yf(x)1；(4)yf(x)；(5)y|f(x)1|.解利用指数函数y2x的图象及变换作图法可作所要作的函数图象其图象如图所示：点评函数y2|x|，y2|x|，y|2x1|的值域和单调性如何？七、考查参数的取值范围例12 已知函数y(axax)(a0，a1)在(，)上递增，求a的取值范围解设任意x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)0，即(ax1ax1)(ax2ax2)(ax1ax2)(1)0，所以(a22)(ax1ax2)或0a1.异底指数比大小五法一、化同底例13 比较20.6，()0.7,80.3的大小解化同底得20.6，()0.720.7,80.320.9.因为函数y2x在R上是增函数，且0.60.70.9，所以20.620.720.9，即20.6()0.7()01，所以1.10.21.30.1.点评不同底但可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，这时要特别注意分母的正负三、取中间值例15 下列大小关系正确的是()A0.4330.40 B0.43030.4C30.40.430 D030.40.43解析因为01,0.43301，所以0.43030.4，故选B.答案B点评不同底也不同指数时比较大小，宜先与中间值0或1比较大小，再间接地得出所求解四、估算法例16 若3a0.618，ak，k1，则k_.解析因为kak1，所以3k3a3k1.把3a0.618代入得3k0.6183k1.估算得0.6181，即310.61830.解得k1.答案1点评估算法既可快速达到比较大小的目的，又可培养同学们的估算能力，它是同学们必备的一种技能，在考试中解答填空、选择题时可用五、图解法例17 已知实数a，b满足等式()a()b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个 B2个 C3个 D4个解析在同一坐标系中，分别画出函数y()a，y()b的图象由图观察可知，当ba0时，等式()a()b不可能成立；又当0a0时，f(a)2a,2a20无解；当a0时，f(a)a1，a120，a3.答案A2(全国高考)已知函数f(x)a.若f(x)为奇函数，则a_.解析定义域为R，且函数为奇函数，f(0)0，即a0，a.答案3(全国高考)函数yex的图象()A与yex的图象关于y轴对称B与yex的图象关于坐标原点对称C与yex的图象关于y轴对称D与yex的图象关于坐标原点对称解析函数yex与yex的自变量x取相反数时，函数值y也为相反数，所以其图象关于原点对称答案D4(湖北高考)若函数yaxb1 (a0且a1)的图象经过第二、三、四象限，则必有()Aa0，b1 B0a1，b0C0a0 Da1，b1即可得知答案B5(全国高考)设函数f(x)若f(x0)1，则x0的取值范围是()A(1,1)B(1，)C(，2)(0，)D(，1)(1，)解析当x0时，2x011，得x01，当x0时，x01，得x00，且a1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaabb；(2)alogaNN.例1 计算：log22log51log39log32.分析根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值解原式10log333(3log32)21342.点评解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数二、对数的运算法则常用的对数运算法则有：对于M0，N0.(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM.例2 计算：lg 142lg lg 7lg 18.分析运用对数的运算法则求解解由已知，得原式lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(322)lg 2lg 72lg 72lg 3lg 72lg 3lg 20.点评对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用三、对数换底公式根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式：logab(a0且a1，c0且c1，b0)由对数换底公式又可得到两个重要结论：(1)logablogba1；(2)loganbmlogab.例3 计算：(log25log4125).分析在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底解原式(log25log25)log25log52.点评对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界对数换底公式的证明及应用设a0，c0且a1，c1，N0，则有logaN，这个公式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中没有给出证明，现证明如下：证明记plogaN，则apN.*式两边同时取以c为底的对数(c0且c1)得logcaplogcN，即plogcalogcN.所以p，即logaN.推论1：logablogba1.推论2：loganbmlogab(a0且a1，b0)例4 (1)已知log189a,18b5，求log3645的值；(2)求log23log34log45log6364的值解(1)因为log189a,18b5，所以a.所以lg 9alg 18，lg 5blg 18.所以log3645.(2)log23log34log45log63646.点评对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数例5 已知log8alog4b，log8blog4a27，求ab的值解由已知可得即解得所以a26，b23.故ab2623512.点评发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决问题比较简单此外还有下面的关系式：logNM；logaMlogbNlogaNlogbM；logab；NlogaMMlogaN.对数函数图象及性质的简单应用对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想一、求函数的单调区间例6 画出函数ylog2x2的图象，并根据图象指出它的单调区间解当x0时，函数ylog2x2满足f(x)log2(x)2log2x2f(x)，所以ylog2x2是偶函数，它的图象关于y轴对称当x0时，ylog2x22log2x，因此先画出y2log2x(x0)的图象为C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2，C1与C2构成函数ylog2x2的图象，如图所示由图象可以知道函数ylog2x2的单调减区间是(，0)，单调增区间是(0，)点评作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题二、利用图象求参数的值例7 若函数f(x)loga(x1)(a0，a1)的定义域和值域都是0,1，则a等于()A. B. C. D2解析当a1时，f(x)loga(x1)的图象如图所示f(x)在0,1上是单调增函数，且值域为0,1，所以f(1)1，即loga(11)1，所以a2，当0a1时，其图象与题意不符，故a的值为2，故选D.答案D点评(1)当对数的底数不确定时要注意讨论；(2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域)三、利用图象比较实数的大小例8 已知logm21，试确定实数m和n的大小关系解在同一直角坐标系中作出函数ylogmx与ylognx的图象如图所示，再作x2的直线，可得mn.点评不同底的对数函数图象的规律是：(1)底都大于1时，底大图低(即在x1的部分底越大图象就越接近x轴)；(2)底都小于1时，底大图高(即在0x1的部分底越大图象就越远离x轴)四、利用图象判断方程根的个数例9 已知关于x的方程|log3x|a，讨论a的值来确定方程根的个数解因为y|log3x|在同一直角坐标系中作出函数与ya的图象，如图可知：(1)当a0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有2个点评利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出的题型，与利用图象解不等式一样，需要先将方程等价转化为两端对应的函数为基本函数(最好一端为一次函数)，再作图象若含有参数，要注意对参数的讨论，参数的取值不同，函数图象的位置也就不同，也就会引起根的个数不同三类对数大小的比较一、底相同，真数不同例10 比较loga与loga的大小分析底数相同，都是a，可借助于函数ylogax的单调性比较大小解由()68()69，得1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，故logaloga；当0aloga.点评本题需对底数a的范围进行分类讨论，以确定以a为底的对数函数的单调性，从而应用函数ylogax的单调性比较出两者的大小二、底不同，真数相同例11 比较log0.13与log0.53的大小分析底数不同但真数相同，可在同一坐标系中画出函数ylog0.1x与ylog0.5x的图象，借助于图象来比较大小；或应用换底公式将其转化为同底的对数大小问题解方法一在同一坐标系中作出函数ylog0.1x与ylog0.5x的图象，如右图在区间(1，)上函数ylog0.1x的图象在函数ylog0.5x图象的上方，故有log0.13log0.53.方法二log0.13，log0.53.因为31，故ylog3x是增函数，所以log30.1log30.5.即log0.13log0.53.方法三因为函数ylog0.1x与ylog0.5x在区间(0，)上都是减函数，故log0.13log0.1101，log0.53log0.53.点评方法一借助于对数函数的图象；方法二应用换底公式将问题转化为比较两个同底数的对数大小；方法三借助于中间值来传递大小关系三、底数、真数均不同例12 比较log3与log5的大小分析底数、真数均不相同，可通过考察两者的范围来确定中间值，进而比较大小解因为函数ylog3x与函数ylog5x在(0，)上都是增函数，故log3log510，所以log30，得x，所以定义域为x|x剖析当2x31时，log210，分母为0没有意义，上述解法忽视了这一点正解x|x且x1三、忽视底数的取值范围例15 已知log(2x5)(x2x1)1，则x的值是()A4 B2或3C3 D4或5错解由2x5x2x1，化简得x2x60，解得x2或x3.故选B.剖析忽视了底数有意义的条件：2x50且2x51.当x2时，2x51，应舍去，只能取x3.正解C四、忽视真数大于零例16 已知lg xlg y2lg(x2y)，求log的值错解因为lg xlg y2lg(x2y)，所以xy(x2y)2，即x25xy4y20，所以xy或x4y，即1或4，所以log0，或log4.剖析错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件，x0，y0，x2y0，所以x2y0，所以xy不成立正解因为lg xlg y2lg(x2y)，所以xy(x2y)2，即x25xy4y20，所以xy或x4y，因为x0，y0，x2y0，所以xy应舍去，所以x4y，即4，所以log4.五、对数运算性质混淆例17 下列运算：(1)log2；(2)log283log22；(3)log2(84)log28log24；(4)log2log23log2(3)其中正确的有()A4个 B3个C2个 D1个错解A剖析(1)真数8与4不能相除；(3)中log2(84)不能把log乘进去运算，没有这种运算的，运算log2log28log24才是对的；(4)错把log提出来运算了，也没有这种运算，正确的只有(2)正解D六、忽视对含参底数的讨论例18 已知函数ylogax(2x4)的最大值比最小值大1，求a的值错解由题意得loga4loga2loga21，所以a2.剖析对数函数的底数含有参数a，错在没有讨论a与1的大小关系而直接按a1解题正解(1)若a1，函数ylogax(2x4)为增函数，由题意得loga4loga2loga21，所以a2，又21，符合题意(2)若0a1，函数ylogax(2x4)为减函数，由题意得loga2loga4loga1，所以a，又01，符合题意，综上可知a2或a.巧借对数函数图象解题数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合通过对图形的认识、数形转化，来提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面一、利用数形结合判断方程解的范围方程解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化例1 方程lg xx3的解所在区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3，)答案C解在同一平面直角坐标系中，画出函数ylg x与yx3的图象(如图所示)它们的交点横坐标x0显然在区间(1,3)内，由此可排除选项A、D.实际上这是要比较x0与2的大小当x02时，lg x0lg 2，3x01.由于lg 22，从而判定x0(2,3)点评本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg xx3的解所在的区间数形结合，要在结合方面下功夫不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断二、利用数形结合求解的个数例2 已知函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x1,1)时，f(x)x，则方程f(x)lg x的根的个数是_解析构造函数g(x)lg x，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，易知有4个根答案4点评本题学生极易填3，其原因是学生作图不标准，尤其是在作对数函数的图象时没有考虑到当x10时，y1.因此，在利用数形结合法解决问题时，要注意作图的准确性三、利用数形结合解不等式例3 使log2x0，a1)，由已知得loga(1)loga(1)1，即loga(1)(1)1a2.所以f(x)log2x(x0)从而得f(1)f(1)log2(1)(1)2.二、考查对数的运算性质例5 的值是()A. B1 C. D2解析原式.答案A三、考查指数式与对数式的互化例6 已知logax2，logbx3，logcx6，求logabcx的值解由已知，得a2x，b3x，c6x，所以ax，bx，cx.于是，有abcxx1，所以xabc，则logabcx1.四、考查对数函数定义域和值域(最值)例7 (江西高考)若f(x)，则f(x)的定义域为()A. B.C. D(0，)答案A解析要使f(x)有意义，需log(2x1)0log1，02x11，x0.例8 已知函数f(x)2log3x(1x9)，则函数g(x)f2(x)f(x2)的最大值为_，最小值为_解析由已知，得函数g(x)的定义域为1x3.且g(x)f2(x)f(x2)(2log3x)22log3x2logx6log3x6.则当log3x0，即x1时，g(x)有最小值g(1)6；当log3x1，即x3时，g(x)有最大值g(3)13.答案136五、考查单调性例9 若函数f(x)logax(0a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍，则a为()A. B. C. D.解析由于0a1，所以f(x)logax(0a1)在区间a,2a上递减，在区间a,2a上的最大值为f(a)，最小值为f(2a)，则f(a)3f(2a)，即logaa3loga(2a)a.答案A六、考查对数函数的图象例10 若不等式x2logax0在(0，)内恒成立，则a的取值范围是_解析由已知，不等式可化为x2logax.所以不等式x2logax在(0，)内恒成立，可转化为当x(0，)时，函数yx2的图象在函数ylogax图象的下方，如图所示答案，1)点评不等式x2C，CB，则AB.例11 比较大小：log9，log8.解由于log9log9log8log8，所以log90，则AB；(2)作商比较：若A，B0，且1，则AB.例12 比较大小：(1)log47，log1221；(2)log1.10.9，log0.91.1.解(1)log47log1221(log471)(log12211)log4log12，由于0log4，即log47log1221.(2)由于log1.10.9，log0.91.1都小于零，所以(log1.10.9)2(log1.10.9)2(log1.1)2(log1.1)21，故|log1.10.9|log0.91.1|，所以log1.10.9log0.91.1.点评将本例(1)推广延伸为：若1A0，则logABlogAC(BC)，进而可比较形如此类对数的大小三、减数法将对数值的大概范围确定后，两边同减去一个数，通过局部比较大小理论依据：若ACBC，则AB.例13 比较大小：logn2(n1)，logn1n(n1)解因为logn2(n1)1logn2logn2logn1logn1n1.所以logn2(n1)logn1n.点评将本例推广延伸为：若1A0，则logAC(BC)logAB，进而可比较形如此类对数的大小四、析整取微法将对数的整数部分分别析取出来，通过比较相应小数部分的大小使得问题获解理论依据：若AlogaMkx，BlogbNky，且xy，则AB.例14 比较大小：log3，log8.解令log32x，log82y，于是2(2x)3,3(2y)8，则2x3y0，故2xylg 3，则1，即xy，故log3log8.点评这种方法便于操作，容易掌握，并且所涉及的知识又都是通性通法，有利于“回归课本，夯实基础”，此法值得深思例15 对于函数yf(x)，xD，若存在一常数c，对任意x1D，存在惟一的x2D，使c，则称函数f(x)在D上的均值为c.已知f(x)lg x，x10,100，则函数f(x)lg x在10,100上的均值为()A. B. C. D10分析该题通过定义均值的方式命题，以定义给出题目信息，是当前的一种命题趋势其本质是考查关于对数和指数的运算性质和对定义的理解与转化解析首先从均值公式可得lg (x1x2)2c，所以x1x2102c100c.因为x1，x210,100，所以x1x2100,10 000所以100100c 10 000.所以1c2.从选项看可知成为均值的常数可为.故选A.答案A例16 函数y|log2x|的定义域为a，b，值域为0,2，则区间a，b的长度ba的最小值为()A3 B. C2 D.分析对函数的性质的分析研究一直是高中数学的重点，尤其是二次函数、指数函数和对数函数等重点函数的形态研究本题正是以函数ylog2x为基础而编制，从定性分析和定量的计算中刻划a，b的关系结合函数的图象(图象是函数性质的立体显示)数形结合易于寻找、确定二者的关系解析画出函数图象如图所示由log2a