第六章 抽样分布.ppt

总体与样本的统计分布统计量抽样分布定理 第六章统计量与抽样分布 返回主目录 从社会统计到数理统计总体的演化 实物总体 数字总体 分布总体 组成元素具体对象 组成元素重复数字 组成元素数字的取值及其概率 分布 研究的标志 数字的取值和重复的频率 第一节总体与样本的统计分布 样本 从总体X中抽取的容量为n的样本 是一个随机向量 表达为 样本点 样品 每一个Xi是一个随机变量样本观测值 抽出的n个样本 观察到的具体数字 是常数 没有随机性 用小写字母表达 总体和样本的关系 数理统计中 样品和总体具有相同的分布 取值1概率0 2 取值2 概率0 4 取值3 取值0 1 分布总体 样品X1 总体的分布 总体中重复数字取各值的概率 分布总体总体各个值的概率可以认为是有相应比重的个体取该值 随机样本由于每一个体都有均等被抽中的概率 因而样本取总体各个值的概率即样本分布与总体分布相同 样品X2 样品Xn 样品同分布样品之间相互独立即 样本独立同分布 称作简单随机样本因此 样本是由n个随机变量组成 它的分布是一个联合分布问题 根据概率论的知识 独立随机变量联合分布即是各随机变量边际分布的乘积 例6 1 6 2联合密度函数 似然函数 第二节统计量的定义和作用 总体参数未知 总体其他信息未知 总体分布未知 抽样得到随机样本 利用统计量推断总体信息 样本X1 X2 Xn 抽样和构造统计量的过程 样本统计量T T X1 X2 Xn 两个要点 1 是样本的函数2 不含未知的总体参数 抽样分布就是统计量的分布 判断下列是否为统计量 掌握了统计量的分布 就能根据概率论 利用统计量推断总体的数量特征 例6 1总体 服从两点分布 概率分布律如下 从总体中抽样容量为n 的样本 构造统计量 求此统计量的抽样分布 解 由于样本是独立的 服从两点分布 统计量 为随机变量 其取值是0到 之间的所有整数 其分布恰好是二项分布 其分布律为 从上面的例子中 可以看出总体的分布未必是抽样分布 抽样分布的影响因素 1 总体的分布2 统计量的构造形式 例6 2 总体 抽取容量为 的样本 构造如下三个统计量 求此三个统计量的抽样分布 解 由于样本是独立的 服从均值和方差都为1的正态分布 三个统计量都是样本的线性函数 由正态分布的性质 三个统计量仍服从正态分布 下面分别求解其均值和方差 服从均值和方差都为1的正态分布 这和总体的分布相同 服从均值和方差都为2的正态分布 服从均值为1 方差为 的正态分布 常用统计量 样本均值和方差样本矩样本相关系数顺序统计量 定义 为独立同分布于标准总体总体N 0 1 的随机变量列 则称随机变量 第三节抽样分布及抽样分布定理 服从分布为自由度是n的分布 记为 独立同分布的随机变量序列 随机变量服从标准正态分布 为原随机变量平方和 新随机变量服从自由度为n的卡方分布 1 分布的三个要点 例 设为来自正态总体N 0 1 的样本 则称统计量 说明 因为样本来自标准正态总体 所以是独立同分布于标准正态总体 满足第1 2两个条件 同时注意到统计量的构造为平方和形式 满足第3个条件 共是n个样本的平方和 故成立 问 设为来自正态总体的样本 如何构造服从卡方分布的随机变量 1 且 相互独立 则 证明 设 独立 则 独立 由卡方分布的定义 P134例6 5 证 所以 2 2 n 分布实质上就是参数为n 2 1 2的 分布 即 2 n 的密度函数为 上侧a分位数 二 t 分布 分子是标准正态随机变量 分母是自由度为n的卡方随机变量 分子分母相互独立 且满足构造公式 新随机变量服从自由度为n的t分布 t分布的三个要点 t分布的图像 基本性质 1 f t 关于t 0 纵轴 对称 2 f t 的极限为N 0 1 的密度函数 注 P136例6 6 三 F 分布 分子是自由度为n1的卡方随机变量 分母是自由度为n2的卡方随机变量 分子分母相互独立 且满足构造公式 新随机变量服从第一自由度为n1第二自由度为n2的F分布 F分布的三个要点 m 10 n 4 m 10 n 10 m 10 n 15 m 4 n 10 m 10 n 10 m 15 n 10 F分布密度函数图 2 F 分布性质特征 1 F分布的数学期望和方差 四 抽样分布定理 定理1 设总体X有E X D X X1 Xn为来自总体X的一个容量为n的样本 则 一个总体的统计量的分布 定理2 设总体 X1 Xn为来自总体X的一个容量为n的样本 则 中心极限定理 设从均值为 方差为的一个任意总体中抽取容量为n的样本 当n充分大时 样本均值的抽样分布近似服从均值为 方差为正态分布 林德伯格 列维 Lindeberg Levy 定理 讨论独立同分布随机变量序列的中心极限定理 它表明 独立同分布 且数学期望和方差有限的随机变量序列的标准化和以标准正态分布为极限 棣莫佛 拉普拉斯 deMovire Laplace 定理是中心极限定理的最初版本 讨论了服从二项分布的随机变量序列 它指出 参数为n p的二项分布以np为均值 np 1 p 为方差的正态分布为极限 定理3 设总体X N 2 X1 Xn为来自总体X的一个容量为n的样本 记 则 定理4 设总体X N 2 X1 Xn为来自总体X的一个容量为n的样本 则 证明略 例6 8P139 定理5 设