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第一章资金的时间价值理论 一 基本概念1 资金的时间价值 指初始货币在生产与流通中与劳动相结合 即作为资本或资金参与再生产和流通 随着时间的推移会得到货币增值 用于投资就会带来利润 用于储蓄会得到利息 资金的运动规律就是资金的价值随时间的变化而变化 其变化的主要原因有 1 通货膨胀 资金贬值 2 承担风险 3 投资增值 通常用货币单位来计量工程技术方案的得失 我们在经济分析时就主要着眼于方案在整个寿命期内的货币收入和支出的情况 这种货币的收入和支出称之为现金流量 CashFlow 例如 有一个总公司面临两个投资方案A B 寿命期都是4年 初始投资也相同 均为10000元 实现利润的总数也相同 但每年数字不同 具体数据见表1一1 如果其他条件都相同 我们应该选用那个方案呢 表1一1 另有两个方案C和D 其他条件相同 仅现金流量不同 300030003000 方案D 300030003000 6000 123456 方案C 0 123456 0 30003000 货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的大小有关 而且与发生的时间有关 由于货币的时间价值的存在 使不同时间上发生的现金流量无法直接加以比较 这就使方案的经济评价变得比较复杂了 以下图为例 从现金流量的绝对数看 方案E比方案F好 但从货币的时间价值看 方案F似乎有它的好处 如何比较这两个方案的优劣就构成了本课程要讨论的重要内容 这种考虑了货币时间价值的经济分析方法 使方案的评价和选择变得更现实和可靠 01234 400 01234 方案F 方案E 200200200 100 200200 300 300 400 2 现金流量图 cashflowdiagram 描述现金流量作为时间函数的图形 它能表示资金在不同时间点流入与流出的情况 是资金时间价值计算中常用的工具 大小 流向 时间点 现金流量图的三大要素 300 400 时间 200 200 200 1234 现金流入 现金流出 0 说明 1 水平线是时间标度 时间的推移是自左向右 每一格代表一个时间单位 年 月 日 2 箭头表示现金流动的方向 向上 现金的流入 向下 现金的流出 3 现金流量图与立脚点有关 注意 1 第一年年末的时刻点同时也表示第二年年初 2 立脚点不同 画法刚好相反 3 净现金流量 现金流入 现金流出4 现金流量只计算现金收支 包括现钞 转帐支票等凭证 不计算项目内部的现金转移 如折旧等 3 利息 一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值 用 I 表示 4 利率 利息递增的比率 用 i 表示 计息周期通常用年 月 日表示 也可用半年 季度来计算 用 n 表示 二 利息公式 一 利息的种类 设 I 利息P 本金n 计息期数i 利率F 本利和 单利 复利 1 单利 每期均按原始本金计息 利不生利 则有 例题1 假如以年利率6 借入资金1000元 共借4年 其偿还的情况如下表 年 年初欠款 年末应付利息 年末欠款 年末偿还 1 1000 1000 0 06 60 1060 0 2 1060 1000 0 06 60 1120 0 3 1120 1000 0 06 60 1180 0 4 1180 1000 0 06 60 1240 1240 2复利 利滚利 公式的推导如下 P 1 i 2 P 1 i n 1 P 1 i n 1 P P i P 1 i 2 P 1 i P 1 i i n 1 P 1 i n 2 P 1 i n 2 i n P 1 i n 1 P 1 i n 1 i 例题2 假如以年利率6 借入资金1000元 共借4年 其偿还的情况如下表 年 1000 1000 0 06 60 1060 0 1060 1060 0 06 63 60 1123 60 0 1123 60 1191 02 0 1191 02 1262 48 1262 48 1123 60 0 06 67 42 1191 02 0 06 71 46 二 复利计息利息公式以后采用的符号如下i 利率 n 计息期数 P 现在值 即相对于将来值的任何较早时间的价值 F 将来值 即相对于现在值的任何以后时间的价值 A n次等额支付系列中的一次支付 在各计息期末实现 G 等差额 或梯度 含义是当各期的支出或收入是均匀递增或均匀递减时 相临两期资金支出或收入的差额 1 一次支付复利公式 1 i n 一次支付复利系数 F P 1 i n P F P i n 例如在第一年年初 以年利率6 投资1000元 则到第四年年末可得之本利和F P 1 i n 1000 1 6 4 1262 50元 例 某投资者购买了1000元的债券 限期3年 年利率10 到期一次还本付息 按照复利计算法 则3年后该投资者可获得的利息是多少 I P 1 i n 1 1000 1 10 3 1 331元 解 2 一次支付现值公式 例如年利率为6 如在第四年年末得到的本利和为1262 5元 则第一年年初的投资为多少 3 等额支付系列复利公式 A 1 累计本利和 终值 等额支付值 年末 2 3 A A n A A A A 1 i A A 1 i A 1 i 2 A 1 1 i 1 i 2 1 i n 1 F 即F A A 1 i A 1 i 2 A 1 i n 1 1 以 1 i 乘 1 式 得F 1 i A 1 i A 1 i 2 A 1 i n 1 A 1 i n 2 2 1 得F 1 i F A 1 i n A 例如连续5年每年年末借款1000元 按年利率6 计算 第5年年末积累的借款为多少 解 4 等额支付系列积累基金公式 5 等额支付系列资金恢复公式 根据 6 等额支付系列资金恢复公式 7 均匀梯度系列公式 图 2 的将来值F2为 F2 G F A i n 1 G F A i n 2 G F A i 2 G F A i 1 注 如支付系列为均匀减少 则有A A1 A2 等值计算公式表 运用利息公式应注意的问题 1 为了实施方案的初始投资 假定发生在方案的寿命期初 2 方案实施过程中的经常性支出 假定发生在计息期 年 末 3 本年的年末即是下一年的年初 4 P是在当前年度开始时发生 5 F是在当前以后的第n年年末发生 6 A是在考察期间各年年末发生 当问题包括P和A时 系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生 当问题包括F和A时 系列的最后一个A是和F同时发生 7 均匀梯度系列中 第一个G发生在系列的第二年年末 例 写出下图的复利现值和复利终值 若年利率为i 解 例 有如下图示现金流量 解法正确的有 LB 答案 AC A F A P A i 6 F P i 8 B F A P A i 5 F P i 7 C F A F A i 6 F P i 2 D F A F A i 5 F P i 2 E F A F A i 6 F P i 1 例 下列关于时间价值系数的关系式 表达正确的有 A F A i n P A i n F P i n B F P i n F P i n1 F P i n2 其中n1 n2 nC P F i n P F i n1 P F i n2 其中n1 n2 nD P A i n P F i n A F i n E 1 F A i n F A i 1 n 答案 AB 例 若i1 2i2 n1 n2 2 则当P相同时有 A F P i1 n1 F P i2 n2 C F P i1 n1 F P i2 n2 D无法确定两者的关系 答案 A 三 名义利率和有效利率 名义利率和有效利率的概念 当利率的时间单位与计息期不一致时 有效利率 资金在计息期发生的实际利率 例如 每半年计息一次 每半年计息期的利率为3 则3 半年 有效利率 如上例为3 2 6 年 名义利率 1 离散式复利 按期 年 季 月和日 计息的方法 如果名义利率为r 一年中计息n次 每次计息的利率为r n 根据一次支付复利系数公式 年末本利和为 F P 1 r n n一年末的利息为 P 1 r n n P按定义 利息与本金之比为利率 则年有效利率i为 例 某厂拟向两个银行贷款以扩大生产 甲银行年利率为16 计息每年一次 乙银行年利率为15 但每月计息一次 试比较哪家银行贷款条件优惠些 解 因为i乙 i甲 所以甲银行贷款条件优惠些 例 现投资1000元 时间为10年 年利率为8 每季度计息一次 求10年末的将来值 每季度的有效利率为8 4 2 用年实际利率求解 年有效利率i为 i 1 2 4 1 8 2432 F 1000 F P 8 2432 10 2208 元 用季度利率求解 F 1000 F P 2 40 1000 2 2080 2208 元 解 例 某企业向银行借款1000元 年利率为4 如按季度计息 则第3年应偿还本利和累计为 元 A 1125B 1120C 1127D 1172 F 1000 F P 1 4 3 1000 F P 1 12 1127元 答案 C 解 例 已知某项目的计息期为月 月利率为8 则项目的名义利率为 A 8 B 8 C 9 6 D 9 6 解 所以r 12 8 96 9 6 例 假如有人目前借入2000元 在今后2年中每月等额偿还 每次偿还99 80元 复利按月计算 试求月有效利率 名义利率和年有效利率 解 99 80 2000 A P i 24 A P i 24 99 8 2000 0 0499查表 上列数值相当于i 1 5 月有效利率则名义利率r 1 5 12 18 年有效利率i 1 1 5 12 1 19 56 2 连续式复利 按瞬时计息的方式 在这种情况下 复利可以在一年中按无限多次计算 年有效利率为 式中 e自然对数的底 其数值为2 71828 下表给出了名义利率为12 分别按不同计息期计算的实际利率 名义利率的实质 当计息期小于一年的利率化为年利率时 忽略了时间因素 没有计算利息的利息 4 名义利率和有效 年 利率的应用 计息期与支付期相同 可直接进行换算求得计息期短于支付期 运用多种方法求得计息期长于支付期 按财务原则进行计息 即现金流入额放在期初 现金流出额放在计息期末 计息期分界点处的支付保持不变 四 等值的计算 一 等值的概念 在某项经济活动中 如果两个方案的经济效果相同 就称这两个方案是等值的 例如 在年利率6 情况下 现在的300元等值于8年末的300 1 0 06 8 478 20元 这两个等值的现金流量如下图所示 同一利率下不同时间的货币等值 货币等值是考虑了货币的时间价值 即使金额相等 由于发生的时间不同 其价值并不一定相等 反之 不同时间上发生的金额不等 其货币的价值却可能相等 货币的等值包括三个因素 金额 金额发生的时间 利率 在经济活动中 等值是一个非常重要的概念 在方案评价 比较中广泛应用 从利息表上查到 当n 9 1 750落在6 和7 之间 6 的表上查到1 6897 的表上查到1 839 从 用直线内插法可得 二 计息期为一年的等值计算 相同 有效利率 名义利率 直接计算 例 当利率为多大时 现在的300元等值于第9年年末的525元 解 F P F P i n 525 300 F P i 9 F P i 9 525 300 1 750 计算表明 当利率为6 41 时 现在的300元等值于第9年年末的525元 例 当利率为8 时 从现在起连续6年的年末等额支付为多少时与第6年年末的10000等值 A F A F 8 6 10000 0 1363 1363元 年计算表明 当利率为8 时 从现在起连续6年1363元的年末等额支付与第6年年末的10000等值 解 例 当利率为10 时 从现在起连续5年的年末等额支付为600元 问与其等值的第0年的现值为多大 解 P A P A 10 5 2774 59元计算表明 当利率为10 时 从现在起连续5年的600元年末等额支付与第0年的现值2274 50元是等值的 三 计息期短于一年的等值计算如计息期短于一年 仍可利用以上的利息公式进行计算 这种计算通常可以出现下列三种情况 1 计息期和支付期相同例 年利率为12 每半年计息一次 从现在起 连续3年 每半年为100元的等额支付 问与其等值的第0年的现值为多大 解 每计息期的利率 每半年一期 n 3年 每年2期 6期P A P A 6 6 100 4 9173 491 73元计算表明 按年利率12 每半年计息一次计算利息 从现在起连续3年每半年支付100元的等额支付与第0年的现值491 73元的现值是等值的 例 求等值状况下的利率 假如有人目前借入2000元 在今后两年中分24次等额偿还 每次偿还99 80元 复利按月计算 试求月有效利率 名义利率和年有效利率 解 现在99 80 2000 A P i 24 A P i 24 99 80 2000 0 0499查表 上列数值相当于i 1 5 因为计息期是一个月 所以月有效利率为1 5 名义利率 r 每月1 5 12个月 18 年有效利率 2 计息期短于支付期例 按年利率为12 每季度计息一次计算利息 从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元 问与其等值的第3年年末的借款金额为多大 解 其现金流量如下图 第一种方法 取一个循环周期 使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列 其现金流量见下图 将年度支付转化为计息期末支付 单位 元 A F A F 3 4 1000 0 2390 239元 239 F 季度 0123456789101112 经转变后计息期与支付期重合 单位 元 F A F A 3 12 239 14 192 3392元 第二种方法 把等额支付的每一个支付看作为一次支付 求出每个支付的将来值 然后把将来值加起来 这个和就是等额支付的实际结果 F 1000 F P 3 8 1000 F P 3 4 1000 3392元 F A F A 12 55 3 1000 3 3923 3392元 第三种方法 将名义利率转化为年有效利率 以一年为基础进行计算 年有效利率是